¿Qué es la ley del coseno?

LA ley del coseno es una relación trigonométrica utilizado para relacionar lados y anglos de un triángulo any, es decir, ese triángulo que no necesariamente tiene un ángulo recto. Tenga en cuenta el siguiente triángulo ABC con las medidas resaltadas:

LA leyDecosenos puede ser dado por uno de los siguientes expresiones:

La2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα

B2 = el2 + c2 - 2 · a · c · cosβ

C2 = b2 + el2 - 2 · b · a · cosθ

Observación: No es necesario memorizar estas tres fórmulas. Solo se que el leyDecosenos siempre se puede construir. Observe, en la primera expresión, que α es el ángulo opuesto al lado cuya medida está dada por La. Comenzamos la fórmula con el cuadrado del lado opuesto del ángulo que se utilizará en los cálculos. Será igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble del producto de los dos lados que no son opuestos a este ángulo por el coseno de α.

De esta forma, las tres fórmulas anteriores se pueden reducir a:

La2 = b2 + c2 - 2 · b · c · cosα

Siempre que sepamos que "

La" es la medida en el lado opuesto de "α", y que "b" y "c" son las medidas de los otros dos lados de la triángulo.

Demostración

Dado que triángulo Cualquier ABC, con las medidas resaltadas en la siguiente figura:

Considere los triángulos ABD y BCD formados por la altura BD del triángulo ABC. Utilizando la Teorema de pitágoras en ABD tendremos:

C2 = x2 + h2

H2 = c2 - X2

Usando el mismo teorema para triángulo BCD, tendremos:

La2 = y2 + h2

H2 = el2 - y2

Sabiendo que hay2 = c2 - X2, tendremos:

C2 - X2 = el2 - y2

C2 - X2 + y2 = el2

La2 = c2 - X2 + y2

Nota en la imagen de triángulo donde b = x + y, donde y = b - x. Sustituyendo este valor en el resultado obtenido anteriormente, tendremos:

La2 = c2 - X2 + y2

La2 = c2 - X2 + (b - x)2

La2 = c2 - X2 + b2 - 2bx + x2

La2 = c2 + b2 - 2bx

Sin dejar de mirar la figura, observe que:

cosα = X
C

c · cosα = x

x = c · cosα

Sustituyendo este resultado en la expresión anterior, tendremos:

La2 = c2 + b2 - 2bx

La2 = c2 + b2 - 2b · c · cosα

Esta es exactamente la primera de las tres expresiones presentadas anteriormente. Los otros dos se pueden obtener de forma análoga a este.

Ejemplo - En el triángulo luego calcula la medida de x.

Solución:

Utilizando la leyDecosenos, tenga en cuenta que x es la medida del lado opuesto al ángulo de 60 °. Por lo tanto, el primer "número" que aparezca en la solución debería ser:

X2 = 102 + 102 - 2 · 10 · 10 · cos60 °

X2 = 100 + 100 - 2 · 100 · cos60 °

X2 = 200-200 · cos60 °

X2 = 200 – 200·1
2

X2 = 200 – 100

X2 = 100

x = ± √100

x = ± 10

Como no hay longitudes negativas, el resultado solo debe ser el valor positivo, es decir, x = 10 cm.


de Luiz Moreira
Licenciada en Matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-lei-dos-cossenos.htm

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