O Diagrama de Venn, también conocido como diagrama de Venn-Euler, es un forma de graficar un conjunto, para esto usamos una línea cerrada que no tiene auto-intersección y representamos los elementos del conjunto dentro de esta línea. La idea del diagrama es facilitar la comprensión en el operaciones básicas del set, tales como: inclusión y relación de pertenencia, unión e intersección, diferencia y conjunto complementario.
Leer tambien: Operaciones entre enteros: conoce las propiedades
Representaciones del diagrama de Venn
Como se muestra, el diagrama de Venn consiste en una línea cerrada (no entrelazada) en la que "colocamos" los elementos del conjunto en cuestión, para que podamos representar uno o varios conjuntos simultaneamente. Vea los ejemplos:
• Un conjunto único
Podemos representarlo usando una sola línea cerrada, por ejemplo, representemos el conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}:
• Entre dos conjuntos
Debemos hacer dos gráficos como el de la representación del conjunto único. Sin embargo, de las operaciones con conjuntos sabemos que: dados dos conjuntos, pueden o no cruzarse. Si los dos conjuntos no se cruzan, se nombran
conjuntos disjuntos.Ejemplo 1
Grafique, usando el diagrama de Venn, los conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} y B = {d, e f, g, h, i}.
Tenga en cuenta que la intersección es la parte del diagrama que pertenece a los dos conjuntos, al igual que en la definición.
A ∩ B = {d, e, f}
Ejemplo 2
Grafique los conjuntos C = {a, b, c, d} y D = {e, f, g, h}.
Nótese que la intersección de estos conjuntos está vacía, ya que no tiene ningún elemento que pertenezca simultáneamente a ambos, es decir:
C ∩ D = {}
• Entre tres conjuntos
La idea detrás de la representación usando el diagrama de Venn para tres conjuntos es similar a la representación entre dos conjuntos. En este sentido, los conjuntos pueden desarticularse uno a uno, es decir, no tienen intersección; o pueden ser dos por dos disjuntos, es decir, solo dos de ellos se cruzan; o todos se cruzan.
Ejemplo
Representación, usando el diagrama de Venn, de conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} y C = {d, e, c, h}.
Vea también: Notaciones de conjuntos importantes
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relación de membresía
La relación de pertenencia nos permite decir si un elemento pertenece o no a un determinado conjunto. Para ello usamos los símbolos:
Considere el conjunto A = {a, b, c, d}. Analizándolo, nos damos cuenta de que gramo, por ejemplo, no le pertenece, por lo que en el diagrama de Venn tenemos:
Relación de inclusión
La relación de inclusión nos permite decir si un conjunto está o no contenido en otro conjunto. Cuando un conjunto está contenido en otro, decimos que es un subconjunto. Para ello usamos los símbolos:
Un ejemplo de esto es la relación entre el conjunto de números naturales y conjunto de números enteros. Sabemos que el conjunto de números naturales es un subconjunto del conjunto de números enteros, es decir, el conjunto de naturales está contenido en el conjunto de enteros.
Operaciones entre conjuntos
Las operaciones básicas entre dos o más conjuntos son: unidad, intersección y diferencia entre dos conjuntos.
• Unión
La unión entre dos conjuntos se forma uniendo los elementos contenidos en cada conjunto, es decir: se consideran todos los elementos de los dos conjuntos. Vea:
Considere los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7}. La unión entre ellos viene dada por:
A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
En el diagrama de Venn, sombreamos la parte de unión, es decir, ambos conjuntos, verifique:
• Intersección
La intersección es un nuevo conjunto numérico formado por elementos que pertenecen, simultáneamente, a otros conjuntos. En términos generales, la intersección entre conjuntos en el diagrama de Venn viene dada por la parte común a los gráficos involucrados. Vea:
Considerando nuevamente los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6, 7}, tenemos que los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B, simultáneamente, son :
A ∩ B = {3,4}
• Diferencia entre dos conjuntos
Considere dos conjuntos C y D, la diferencia entre ellos (C - D) será un nuevo conjunto formado por elementos pertenecientes a C y no pertenecientes a D. En general, podemos representar esta diferencia, usando el diagrama de Venn, de la siguiente manera:
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - (Ufal) En la siguiente figura, se han representado los conjuntos A, B y C no disjuntos. La región coloreada representa el conjunto:
a) C - (A ∩ B)
b) (A ∩ B) - C
c) (A U B) - C
d) A U B U C
e) A ∩ B ∩ C
Solución
Alternativa b.
Recordando las operaciones con conjuntos, sabemos que la intersección entre dos conjuntos en el diagrama de Venn viene dada por la parte común a ellos. Considerando los conjuntos A, B y C y coloreando la intersección del conjunto A ∩ B, tenemos:
Título: Pregunta de solución 1 - parte 1
Nótese que si quitamos los elementos del conjunto C, obtenemos la parte coloreada solicitada por el ejercicio, es decir, primero debemos resaltar la intersección y luego quitar los elementos de C.
(A ∩ B) - C
Pregunta 2 - (Uerj) Los niños de una escuela participaron en una campaña de vacunación contra la parálisis infantil y el sarampión. Después de la campaña, se encontró que el 80% de los niños recibió la vacuna contra la parálisis, el 90% recibió la vacuna contra el sarampión y el 5% no recibió ninguna.
Determine el porcentaje de niños en esta escuela que recibieron ambas vacunas.
Solución
Como se desconoce el porcentaje de niños que recibieron ambas vacunas, llamémoslo inicialmente x. Recuerde que no debemos operar con el símbolo%, sino escribir los porcentajes del ejercicio en su forma decimal o fraccionaria.
80 % → 0,8
90% → 0,9
5% → 0,05
100% → 1
Para averiguar el número total de niños que tomaron solo la vacuna contra la parálisis, restamos el porcentaje verificado (80%) del porcentaje de los que tomaron ambos (x), y lo mismo debe hacerse con los niños que solo tomaron la vacuna contra el sarampión. Así:
Uniendo a todos los niños, el porcentaje será del 100%, por tanto:
0,9 - x + x + 0,8 - x + 0,05 = 1
1,75 - x = 1
- x = 1 - 1,75
(–1) · - x = - 0,75 · (–1)
x = 0,75
x = 75%
Por tanto, el 75% de los niños de la escuela tenía ambas vacunas.
Por L.do Robson Luiz
Profesor de matemáticas
