LA Proporción se define como el igualdad entre dos razones, si esta igualdad es cierta, entonces decimos que los números que fueron las razones en el orden dado son proporcionales.
El estudio de las proporciones es fundamental para el desarrollo matemático, ya que nos permiten listagrandezas, resolviendo así los problemas de nuestra vida diaria. Ejemplos de proporciones son: escala de un mapa, velocidad promedio de un móvil y densidad de una solución.
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¿Qué es razón y proporción?
LA razón entre dos números es elcocienteentre ellos en el orden en que se dan. Sean ayb dos números racionales, donde b es diferente de 0, la razón entre ayb viene dada por:
cuando tengas dos razones y ambos son siendo comparado por una igualdad, entonces tenemos una proporción. Si la igualdad es verdadera, los números serán proporcionales; de lo contrario, no serán proporcionales.
Tú numeros racionalesLa, B, C y D son proporcionales si y solo si la siguiente igualdad es verdadera.
De manera equivalente, podemos decir que la igualdad será verdadera solo cuando la multiplicación cruzada sea verdadera.
a · d = b · c |
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Propiedades proporcionales
Considere la siguiente relación entre números La, B, C y D:
Entonces las siguientes propiedades son válidas:
Propiedad 1 - El producto de las medias es igual al producto de los extremos (multiplicación cruzada).
Propiedad 2 - La razón entre la suma (o diferencia) de los dos primeros términos y el primer término es igual a la razón de la suma (o diferencia) de los dos últimos términos y el tercer término.
Lea también: Propiedades de las proporciones: ¿qué son y cómo calcularlas?
Cómo calcular proporciones
Para verificar o calcular si, de hecho, los números son proporcionales, simplemente aplique la primera propiedad, si la igualdad es verdadera, entonces los números son proporcionales. Vea los ejemplos:
Ejemplo 1
Comprueba que los números 15, 30, 45 y 90 sean proporcionales.
Debemos, en ese orden, ensamblar las proporciones y luego multiplicarlas de forma cruzada.
Tenga en cuenta que la igualdad es verdadera, por lo que los números forman, en ese orden, una proporción.
Ejemplo 2
Se sabe que los números 2, 4, x y 32 son proporcionales. Determina el valor de x.
Por hipótesis, tenemos que los números, en el orden en que fueron presentados, son proporcionales, por lo que podemos igualar las razones entre ellos y aplicar la propiedad 1, ver:
Cantidades directa e inversamente proporcionales
Grandeza, en matemáticas, es todo lo que es posible medir o medir, por ejemplo, cantidad, distancia, masa, volumen, etc. Las cantidades pueden ser directamente proporcionales (PIB) o inversamente proporcionales (GIP), veamos la diferencia entre ellas:
Cantidades directamente proporcionales
Decimos que dos o más cantidades son directamente proporcionales si la razón de los valores de la primera cantidad es igual a los valores de la segunda cantidad, y así sucesivamente. Por ejemplo, la cantidad de masa es proporcional a la Peso de un objeto, consulte la tabla:
Masa (kilogramo) |
Peso (N) |
30 |
300 |
60 |
600 |
80 |
800 |
Tenga en cuenta que la relación entre las cantidades es siempre la misma:
Lo mismo ocurrirá si nos damos cuenta de la relación entre los otros valores.
Otra forma de saber si dos o más cantidades son directamente proporcionales es comprobar la crecimiento o disminución de ambos. Por ejemplo, si una cantidad aumenta, la otra también debe aumentar si son directamente proporcionales. Veamos el ejemplo:
En la tabla de masa x peso, observe que cuanto mayor es la masa del objeto (↑), mayor es su peso (↑), por lo que las cantidades son directamente proporcionales.
Ejemplo
Los números x, t y 2 son directamente proporcionales a los números 5, 6 y 10. Determine los valores de x y t.
Como el ejemplo nos dijo que los números son directamente proporcionales, la razón entre ellos es igual, así:
Multiplicando cada una de las igualdades, tenemos:
5x = 5
x = 1
y
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1,2
Por lo tanto, x = 1 y t = 1.2.
Cantidades inversamente proporcionales
Dos o más cantidades serán inversamente proporcionales si la relación entre los valores de la primera es igual a la inversa de la relación de los valores de la segunda. Podemos interpretarlo de otra manera, si una cantidad aumenta (↑) y la otra cantidad disminuye (↓), entonces son inversamente proporcionales. Vea el ejemplo:
La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales.
Velocidad (km / h) |
Tiempo (horas) |
50 |
2 |
100 |
1 |
150 |
0 |
Tenga en cuenta que cuanto más rápida sea la velocidad de un viaje dado (↑), menor será el tiempo para ese viaje (↓). Vea también que si tomamos la razón entre dos valores de la primera cantidad y la inversa de la razón de dos valores de la segunda cantidad, la igualdad será verdadera.
Ejemplo
Divide el número 120 en partes inversamente proporcionales a los números 4 y 6.
Como queremos dividir el número 120 en dos partes y no las conocemos, llamémoslas La y 120 - a. Por definición de inversamente proporcional, la relación entre los primeros valores es igual a la inversa de la relación de los dos últimos valores. Así:
Como la otra parte es 120 - a, entonces:
120 - el
120 – 72
48
Por lo tanto, al dividir el número 120 en partes inversamente proporcionales a los números 4 y 6, obtenemos 72 y 48.
Ejercicio resuelto
Pregunta 1 - (Fuvest) En la siguiente tabla, y es inversamente proporcional al cuadrado de x. Calcule los valores de py m.
X |
y |
1 |
2 |
2 |
0 |
metro |
8 |
Resolución
Tenga en cuenta que el enunciado establece que los valores de y son inversamente proporcionales al cuadrado de x, es decir, la razón de los valores de y será igual a la inversa de los valores de x al cuadrado.
Usando la misma lógica, determinemos el valor de m.
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
