La parábola es la gráfica de la función de segundo grado (f (x) = ax2 + bx + c), también llamada función cuadrática. Se dibuja en el plano cartesiano, que tiene coordenadas x (abscisas = eje x) e y (ordenadas = eje y).
Para rastrear el gráfica de una función cuadrática, necesitas averiguar cuántas raíces o ceros reales tiene la función con respecto al eje x. Entender raíces como la solución de la ecuación de segundo grado que pertenece al conjunto de numeros reales. Para conocer el número de raíces es necesario calcular el discriminante, que se llama delta y viene dado por la siguiente fórmula:
La fórmula discriminante / delta se realiza en relación a los coeficientes de la función de segundo grado. Siendo así, La, B y C son los coeficientes de la función f (x) = ax2 + bx + c.
Hay tres relaciones de la parábola con el delta de la función de segundo grado. Estas relaciones establecen lo siguiente condiciones:
Primera condición:Cuando Δ> 0, la función tiene dos raíces reales diferentes. La parábola cortará el eje x en dos puntos distintos.
Segunda condición: Cuando Δ = 0, la función tiene una única raíz real. La parábola tiene solo un punto en común, que es tangente al eje x.
Tercera condición: Cuando Δ <0, la función no tiene raíz real; por lo tanto, la parábola no interseca el eje x.
concavidad de la parábola
Qué determina la concavidad de la parábola es el coeficiente La de la función de segundo grado - f (x) = LaX2 + bx + c. La parábola tiene la concavidad hacia arriba cuando el coeficiente es positivo, es decir, La > 0. Si es negativo (La <0), la concavidad está hacia abajo. Para comprender mejor el condiciones establecido anteriormente, observe los bosquejos de las siguientes parábolas:
Para Δ> 0:
Para Δ = 0:
Para Δ <0.
Practiquemos los conceptos aprendidos, vea los ejemplos a continuación:
Ejemplo: Encuentre el discriminante de cada función de segundo grado y determine el número de raíces, la concavidad de la parábola y grafique la función contra el eje x.
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La) f (x) = 2x2 – 18
B) f (x) = x2 - 4x + 10
C) f (x) = - 2x2 + 20x - 50
Resolución
La) f (x) = x2 – 16
Inicialmente debemos comprobar los coeficientes de la función de segundo grado:
a = 2, b = 0, c = - 18
Reemplace los valores de los coeficientes en la fórmula discriminante / delta:
Dado que delta es igual a 144, es mayor que cero. Por lo tanto, se aplica la primera condición, es decir, la parábola cortará el eje x en dos puntos distintos, es decir, la función tiene dos raíces reales diferentes. Dado que el coeficiente es mayor que cero, la concavidad aumenta. El esquema gráfico está a continuación:
B) f (x) = x2 - 4x + 10
Inicialmente debemos comprobar los coeficientes de la función de segundo grado:
a = 1, b = - 4, c = 10
Reemplace los valores de los coeficientes en la fórmula discriminante / delta:
El valor discriminante es - 24 (menor que cero). Con eso, aplicamos la tercera condición, es decir, la parábola no interseca el eje x, por lo que la función no tiene raíz real. Como a> 0, la concavidad de la parábola es hacia arriba. Mira el esquema gráfico:
C) f (x) = - 2x2 + 20x - 50
Inicialmente, debemos verificar los coeficientes de la función de segundo grado.
a = - 2, b = 20, c = - 50
Reemplace los valores de los coeficientes en la fórmula discriminante / delta:
El valor de delta es 0, por lo que se aplica la segunda condición, es decir, la función tiene una única raíz real y la parábola es tangente al eje x. Dado que a <0, la concavidad de la parábola está hacia abajo. Vea el esquema gráfico:
Por Naysa Oliveira
Licenciada en Matemáticas
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OLIVEIRA, Naysa Crystine Nogueira. "Relación de la parábola con el delta de la función de segundo grado"; Escuela Brasil. Disponible: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/relacao-parabola-com-delta-funcao-segundo-grau.htm. Consultado el 28 de junio de 2021.
