LA geometríaDepartamento es el campo de estudio que se centra en los objetos pertenecientes al Departamento, es decir, todos sus elementos (punto, línea y polígonos) están "en" el plano. La geometría tuvo sus inicios en la antigua Grecia y también se la conoce como geometríaEuclidianaDepartamento, en honor a un gran erudito en el campo llamado Euclides. El matemático alejandrino Euclides es conocido como el "padre de la geometría".
Lea también: Geometría espacial: estudio de figuras tridimensionales
Conceptos de geometría plana
Algunos conceptos son fundamentales para comprender la geometría plana, pero no son demostrables, por lo que se denominan conceptos primitivos. Son ellos:
Punto
El punto no tiene dimensión y representémoslo con una letra mayúscula.
derecho
La línea tiene una dimensión, la longitud, y está representada por una letra minúscula. La linea es infinita.
A partir del concepto de línea recta, podemos definir otros tres conceptos: segmento de línea recta, línea semirecta y ángulo.
– segmento recto
El segmento de línea está definido por una línea delimitada por dos puntos distintos, es decir, una línea con un comienzo y un final.
– semirrectal
Un rayo se define como una línea recta con principio y sin fin, es decir, será infinito en una de las direcciones.
– Ángulo
O ángulo se utiliza para medir el espacio entre dos segmentos rectos, de rayos o de líneas rectas. Cuando medimos un ángulo, estamos determinando su amplitud.
Departamento
El plano tiene dos dimensiones y está representado por una letra griega (α, β, γ,…).
Vea también: Punto, línea, plano y espacio: conceptos básicos de la geometría plana
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Fórmulas y figuras principales de la geometría plana.
Ahora veremos las fórmulas principales para calcular áreas de figuras planas.
triángulo
Para calcular el área de un triángulo, simplemente multiplique la medida base (b) con la medida de la altura (h) y divida el resultado por dos.
Cuadrado
Conocemos los lados del cuadrado son todos iguales. Para calcular su área, multiplicamos la medida de la base por la medida de la altura. Dado que las medidas son las mismas, multiplicarlas es lo mismo que cuadrar el lado.
Rectángulo
El área de rectángulo se obtiene multiplicando la base por la altura.
Diamante
El área de diamante viene dada por el producto de la diagonal mayor (D) y la diagonal menor (d) dividida por dos.
trapecio
El área de trapecio viene dado por el producto de la altura y la suma de la base mayor (B) y la base menor (b) dividida por dos.
Circulo
El área de circulo de radio r viene dado por el producto del radio al cuadrado con el número irracional ℼ (usualmente usamos el valor ℼ = 3.14).
Vea también: Área de sólidos geométricos: fórmulas y ejemplos
Geometría plana y espacial
LA geometria plana se caracteriza por tener todos sus elementos contenidos en el plano. Por lo tanto, ningún objeto en geometría plana tiene volumen, sino área. Pero el mundo real no solo tiene dos dimensiones, ¿verdad? Usted, ahora mismo, puede moverse hacia adelante y hacia atrás (una dimensión), hacia la derecha y hacia la izquierda (una dimensión más) y, finalmente, rotar en una silla de oficina (una dimensión más), es decir, tres dimensiones.
LA geometría espacial se trata de estudiar objetos que están en la tercera dimensión. Algunas de las estructuras estudiadas en geometría espacial están presentes en nuestra vida diaria, como esferas, conos, cilindros y adoquines.
Geometría plana en Enem
La geometría plana tiene muchas aplicaciones en nuestra vida diaria. Debido a su amplia aplicabilidad, existe un abanico de problemas que se pueden explorar y, en consecuencia, este tema aparece con frecuencia en las preguntas sobre exámenes de ingreso y Enem.
Las preguntas de geometría plana exigen un razonamiento lógico y constructivo del estudiante. La gran dificultad de las preguntas no radica en los conceptos geométricos en sí, sino en la implicación de temas como ecuación de primer grado, ecuación de segundo grado, operaciones con fracciones, porcentaje y Proporción. Veamos algunos ejemplos.
→ Ejemplo 1
(Enem / 2012) El 20 de febrero de 2011, el volcán Bulusan entró en erupción en Filipinas. Su ubicación geográfica en el mundo viene dada por GPS con una longitud de 124 ° 3 ’0’ ’al este del meridiano de Greenwich. (Dado: 1 ° es igual a 60 'y 1 es igual a 60 ″.)
PAVARIN, G. Galileo, feb. 2012 (adaptado)
La representación angular de la ubicación del volcán con respecto a su longitud en forma decimal es:
a) 124,02 °
b) 124,05 °
c) 124,20 °
d) 124,30 °
e) 124,50 °
Solución
Para resolver el ejercicio, debemos transformar 124 ° 3 'y 0 ″ (léase: ciento veinticuatro grados, tres minutos y cero segundos) en grados. Para ello, simplemente escribimos los 3 minutos en grados y, como la ubicación tiene 0 ″, no hay nada que hacer.
El ejercicio proporcionó que 1 ° es equivalente a 60 '. Usemos un simple regla de tres para determinar cuántos grados tenemos en 3 minutos.
1° – – – 60’
xx - - - 3 '
60x = 3
x = 3 ÷ 60
x = 0,05 °
Por lo tanto, 124 ° 3 'y 0 ″ es equivalente a escribir:
124° + 0,05° + 0°
124,05°
Respuesta: alternativa b.
→ Ejemplo 2
(Enem / 2011) Una escuela tiene un terreno vacío de forma rectangular con un perímetro de 40 m, donde la intención es realizar una única construcción que aproveche la mayor superficie posible. Luego de un análisis realizado por un ingeniero, concluyó que, para alcanzar la superficie máxima del terreno con una sola construcción, el trabajo ideal sería:
a) un baño de 8 m2.
b) un aula de 16 m2.
c) un auditorio con 36 m2.
d) un patio con 100 m2.
e) un bloque de 160 m2.
Solución
Como no conocemos las dimensiones del terreno rectangular, llamémoslas x e y.
Según el enunciado, el perímetro es igual a 40 m, es decir, la suma de todos los lados es igual a 40 m, por lo tanto:
x + x + y + y = 40
2x + 2y = 40
2 (x + y) = 40
x + y = 20
y = 20 - x
También sabemos que el área de un rectángulo viene dada por el producto de la base y la altura, así:
A = x · y
Sustituyendo el valor de y, aislado arriba, tenemos:
A = x · (20 - x)
A = - x2 + 20x
Ahora, para saber cuál es el área máxima, simplemente determine el valor función máxima A, es decir, determina el vértice de la parábola. el valor de xv Está dado por:
Para determinar el valor de yv, reemplacemos el valor de xv en la función A.
A = - x2 + 20x
A = - (10)2 + 20(10)
A = - 100 + 200
A = 100 m2
Por lo tanto, el área máxima es de 100 m.2.
Respuesta: alternativa d.
ejercicios resueltos
Pregunta 1 - Sabiendo que el área del trapecio por debajo es de 18 m2, determina el valor de x.
Resolución
Como el área es igual a 18 m2, podemos sustituirlo en la fórmula del área del trapecio, así como los valores de las medidas dadas por el problema. Vea:
Resolviendo ahora la ecuación de segundo grado, tenemos:
Tenga en cuenta que el valor de x en el problema representa una medida de longitud, por lo que solo puede asumir un valor positivo, por lo que:
x = 3
Pregunta 2 - Calcula el área del diamante que tiene la diagonal más grande como el doble de la más pequeña.
Resolución
Como no conocemos los valores de las diagonales, llamémoslas por x.
Diagonal menor (d) → x
Diagonal más grande (D) → 2x
Y reemplazando esta información en la fórmula, tenemos:
por Robson Luiz
Profesor de matemáticas
