Matriz triangular: tipos, determinante, ejercicios

Una matriz es triangular cuando los elementos por encima de la diagonal principal o los elementos por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Hay dos clasificaciones posibles para este tipo de matriz: la primera es cuando los elementos por encima de la diagonal principal son nulos, lo que configura una matriz triangular inferior; el segundo es cuando los elementos debajo de la diagonal principal son nulos, creando una matriz triangular superior.

Para calcular el determinante de una matriz triangular por la regla de Sarrus, simplemente realice la multiplicación diagonal principal, ya que las otras multiplicaciones serán todas iguales a cero.

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La matriz triangular es un caso particular de matriz.

Tipos de matrices triangulares

Para entender qué es una matriz triangular, es importante recordar cuál es la diagonal principal de una matriz cuadrada, que es la matriz que tiene el mismo número de filas y columnas. La diagonal principal de la matriz son los términos a.

_ij, donde i = j, es decir, son los términos en los que el número de fila es igual al número de columna.

Ejemplo:

Los términos de la diagonal principal están resaltados en rojo.

Entendiendo qué es una matriz cuadrada y cuál es su diagonal principal, sepamos qué es una matriz triangular y sus clasificaciones. Hay dos clasificaciones posibles para la matriz triangular: Lamatriz triangular inferior y matriz triangular superior.

• Matriz triangular inferior: ocurre cuando todos los términos por encima de la diagonal principal son iguales a cero y los términos por debajo de la diagonal principal son numeros reales.

Ejemplo numérico:

• Matriz triangular superior: ocurre cuando todos los términos por debajo de la diagonal principal son iguales a cero y los términos por encima de la diagonal principal son números reales.

Ejemplo numérico:

matriz diagonal

La matriz diagonal es una caso particular de matriz triangular. En él, los únicos términos que son distintos de cero son los que están contenidos en la diagonal principal. Los términos por encima o por debajo de la diagonal principal son todos iguales a cero.

Ejemplos numéricos de matriz diagonal:

Determinante de una matriz triangular

Dada una matriz triangular, al calcular el determinante de esta matriz por La regla de Sarrus, puede ver que todas las multiplicaciones son iguales a cero, excepto la multiplicación del término de la diagonal principal.

det (A) = a₁₁ · a₂₂· a₃₃ + el₁₂ · a₂₃ · 0 + el₁₃ · 0 · 0 - ( La₁₃ ·La₂₃ ·0 + el₁₁ · a₂₃ · 0 + el₁₂ · 0· a₃₃)

Tenga en cuenta que en todos los términos, excepto el primero, cero es uno de los factores, y todos multiplicación por cero es igual a cero, entonces:

det (A) = a₁₁ · a₂₂· a₃₃

Tenga en cuenta que este es el producto entre los términos de la diagonal principal.

Independientemente del número de filas y columnas que tenga una matriz triangular, su El determinante siempre será igual al producto de los términos de la diagonal principal..

Vea también: Determinante: característica aplicada a matrices cuadradas

Propiedades de la matriz triangular

La matriz triangular tiene algunas propiedades específicas.

• 1ra propiedad: el determinante de una matriz triangular es igual al producto de los términos de la diagonal principal.
• 2da propiedad: el producto entre dos matrices triangulares es una matriz triangular.
• 3ra propiedad: si uno de los términos de la diagonal principal de la matriz triangular es igual a cero, entonces su determinante será igual a cero y, en consecuencia, no será invertible.
• 4ta propiedad: la matriz inversa de una matriz triangular también es una matriz triangular.
• Quinta propiedad: la suma de dos matrices triangulares superiores es una matriz triangular superior; de manera similar, la suma de dos matrices triangulares inferiores es una matriz triangular inferior.

ejercicios resueltos

1) Dada la matriz A, el valor del determinante de A es:

a) 2

b) 0

c) 9

d) 45

e) 25

Resolución

Alternativa d.

Esta matriz es triangular inferior, por lo que su determinante es la multiplicación de términos en la diagonal principal.

det (A) = 1 · 3 · 3 · 1 · 5 = 45

2) Juzgue las siguientes declaraciones.

I → Toda matriz cuadrada es triangular.

II → La suma de una matriz triangular superior con una matriz triangular inferior es siempre una matriz triangular.

III → Toda matriz identidad diagonal es una matriz triangular.

El orden correcto es:

a) V, V, V.

b) F, F, F.

c) F, V, F.

d) F, F, V.

e) V, V, F.

Resolución

Alternativa d.

I → Falso, porque toda matriz triangular es cuadrada, pero no toda matriz cuadrada es triangular.

II → Falso, ya que la suma entre una matriz triangular superior e inferior no siempre resulta en una matriz triangular.

III → Verdadero, ya que los términos diferentes de la diagonal son iguales a cero.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/matriz-triangular.htm