Número de raíces de una ecuación

Resolver ecuaciones es una actividad diaria. Intuitivamente resolvemos ecuaciones en nuestra vida diaria y ni siquiera nos damos cuenta. Haciendo la siguiente pregunta: "¿A qué hora debo levantarme para ir a la escuela para no ¿llegar tarde?" y obtenemos la respuesta, en realidad acabamos de resolver una ecuación donde la incógnita es la hora. Estas preguntas cotidianas siempre han instigado a los matemáticos de todos los tiempos en la búsqueda de soluciones y métodos para resolver ecuaciones.
La fórmula de Baskara es uno de los métodos más famosos para resolver una ecuación. Es una “receta”, un modelo matemático que proporciona, casi instantáneamente, las raíces de una ecuación de segundo grado. Curiosamente, no hay tantas fórmulas para resolver ecuaciones como podría pensar. Las ecuaciones de tercer y cuarto grado son muy complicadas de resolver y existen fórmulas de resolución para los casos más simples de este tipo de ecuaciones.
Es interesante saber que el grado de la ecuación determina cuántas raíces tiene. Sabemos que una ecuación de segundo grado tiene dos raíces. Por lo tanto, una ecuación de tercer grado tendrá tres raíces y así sucesivamente. Ahora veamos lo que sucede con algunas ecuaciones.

Ejemplo. Resuelve las ecuaciones:
a) x² + 3x - 4 = 0
Solución: Aplicando la fórmula de Baskara para resolver una ecuación de segundo grado, obtenemos:

Sabemos que a = 1, b = 3 y c = - 4. Así,

Como resolvemos una ecuación de segundo grado, tenemos dos raíces.

b) x³ – 8 = 0
Solución: En este caso, tenemos una ecuación de tercer grado incompleta con resolución simple.

Solución: En este caso, tenemos una ecuación de cuarto grado incompleta, también llamada ecuación de dos cuadrados. La solución a este tipo de ecuaciones también es sencilla. Vea:
la ecuación x⁴ + 3 veces² - 4 = 0 se puede reescribir de la siguiente manera:
(X²)² + 3 veces² – 4 =0
haciendo x² = ty sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos:
t² + 3t - 4 = 0 → que es una ecuación de segundo grado.
Podemos resolver esta ecuación usando la fórmula de Baskara.

Estos valores no son las raíces de la ecuación, ya que la incógnita es x y no t. Pero tenemos que:
X² = t
Luego,
X² = 1 o x² = – 4
de x² = 1, obtenemos que x = 1 o x = - 1.
de x² = - 4, obtenemos que no hay números reales que satisfagan la ecuación.
Por lo tanto, S = {- 1, 1}
Tenga en cuenta que en la alternativa La teníamos una ecuación de segundo grado y encontramos dos raíces. En la alternativa B resolvemos una ecuación de tercer grado y encontramos solo una raíz. Y la ecuación del artículo C, era una ecuación de cuarto grado y encontramos solo dos raíces.
Como se dijo anteriormente, el grado de la ecuación determina cuántas raíces tiene:
Grado 2 → dos raíces
Grado 3 → tres raíces
Grado 4 → cuatro raíces
Pero, ¿qué pasó con las ecuaciones alternativas? B y C?
Resulta que una ecuación de grado n ≥ 2 puede tener raíces reales y raíces complejas. En el caso de la ecuación de tercer grado del elemento b, encontramos solo una raíz real, las otras dos raíces son números complejos. Lo mismo ocurre con la ecuación del ítem c: encontramos dos raíces reales, las otras dos son complejas.
Acerca de las raíces complejas, tenemos el siguiente teorema.
Si el número complejo a + bi, b ≠ 0, es la raíz de la ecuación a₀X^No + el₁X^n-1+... + el_n-1x + a_No = 0, de coeficientes reales, por lo que su conjugado, a - bi, es también la raíz de la ecuación.
Las consecuencias del teorema son:
• Ecuación de segundo grado con coeficientes reales → solo tiene raíces reales o dos raíces complejas conjugadas.
• Ecuación de tercer grado con coeficientes reales → tiene solo raíces reales o una raíz real y dos raíces complejas conjugadas.
• Ecuación de 4º grado con coeficientes reales → tiene solo raíces reales o dos raíces conjugadas complejas y dos raíces conjugadas reales o solo cuatro complejas, de dos en dos.
• Ecuación de quinto grado con coeficientes reales → solo tiene raíces reales o dos raíces complejas conjugada y la otra real o al menos una raíz real y las otras raíces complejas, de dos en dos conjugado.
Lo mismo ocurre con las ecuaciones de grados superiores a 5.

Por Marcelo Rigonatto
Especialista en Estadística y Modelización Matemática
Equipo Escolar de Brasil

Números complejos - Matemáticas - Escuela Brasil

Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numero-raizes-uma-equacao.htm