Sabemos cómo repetir el arreglo o completar el arreglo, todos los reagrupamientos ordenados que podemos formar con k elementos de un conjunto con No elementos, con un elemento de No puede aparecer más de una vez. LA análisis combinatorio es el área de las matemáticas la que desarrolla técnicas de conteo para encontrar el número de posibles agrupaciones en determinadas situaciones.
Entre estos agrupamientos, está el arreglo con repetición, presente, por ejemplo, en el creando contraseñas, matrículas, entre otros. Para resolver estas situaciones, aplicamos la fórmula del arreglo con la repetición como técnica de conteo. Existen diferentes fórmulas para calcular la disposición repetitiva y la disposición no repetitiva, por lo que es importante saber diferenciar cada una de estas situaciones para poder aplicar la técnica de conteo correcta.
Lea también: Principio fundamental del conteo: concepto principal del análisis combinatorio
¿Qué es el arreglo con repetición?
![Existe un arreglo con repetición en la producción de placas de vehículos. [1]](/f/46a11aed3d571c029896ad4272473301.jpg)
En nuestra vida diaria, nos encontramos con situaciones que involucran secuencias y agrupaciones, que aparecen en el elegir contraseñas de redes sociales o bancarias, y también en números de teléfono o situaciones que involucren colas. De todos modos, estamos rodeados de situaciones que involucran a estos agrupamientos.
Por ejemplo, en las placas de matrícula, que se componen de tres letras y cuatro números, hay un cadena única por estado que identifica a cada uno de los coches, en este caso estamos trabajando con preparativos. Cuando es posible repetir los elementos, estamos trabajando con el arreglo completo o arreglo con repetición.
Dado un juego con No elementos, que conocemos como arreglo con repetición todas las agrupaciones que podemos formar con k elementos de esto colocar, donde un elemento puede repetirse más de una vez. En las placas de los vehículos, por ejemplo, es el número de posibles placas que podemos formar, tomando teniendo en cuenta que tienen tres letras y cuatro números y que las letras y los números se pueden repetir.
Para calcular el número de posibles arreglos repetidos, usamos una fórmula muy simple.
Fórmula de arreglo con repetición
Para encontrar el monto total del arreglo de No elementos distintos tomados de k en
Oh, en una situación dada que permite la repetición de un elemento, usamos la siguiente fórmula:
AIRENo,k = Nok
AR → arreglo con repetición
No → número de elementos en el conjunto
k → número de elementos que se elegirán
Vea también: Combinación simple: cuente todos los subconjuntos de un conjunto dado
Cómo calcular el número de arreglo repetido
Para comprender mejor cómo aplicar la fórmula de disposición de repetición, consulte el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1:
Una contraseña bancaria tiene cinco dígitos compuestos exclusivamente por números, ¿cuál es la cantidad de contraseñas posibles?
Sabemos que la contraseña es una cadena de cinco dígitos y que no hay restricción de repeticiones, por lo que aplicaremos la fórmula de disposición con repetición. El usuario tiene que elegir, entre 10 dígitos, que compondrán cada uno de los cinco dígitos de esta contraseña, es decir, queremos calcular la disposición con repetición de 10 elementos tomados cada cinco.
AIRE10,5 = 105 = 10.000
Entonces hay 10,000 posibilidades de contraseña.
Ejemplo 2:
Sabiendo que las placas de los vehículos se componen de tres letras y cuatro números, ¿cuántas placas se pueden formar?
Nuestro alfabeto consta de 26 letras y hay 10 números posibles, así que dividámonos en dos matrices completas y encontremos la cantidad de matrices posibles para las letras y los números.
AIRE26,3 = 26³ = 17.576
AIRE10,4 = 104 = 10.000
Por tanto, el total de arreglos posibles es:
17.576 · 10.000 = 1.757.600.000
Diferencia entre arreglo simple y arreglo repetido
Diferenciar el arreglo simple del arreglo con repetición es esencial para resolver problemas sobre el tema. Lo importante para la diferenciación es darse cuenta de que cuando se trata de una situación en la que hay reagrupamientos cuyo orden es importante, es de un arreglo, y si estos reagrupamientos admiten la repetición entre términos, es un arreglo con repetición, también conocido como arreglo completo. Cuando la reagrupación no permite la repetición, se trata de un arreglo simple.
La fórmula para el arreglo simple es diferente de la que usamos para el arreglo repetido.
Hemos visto ejemplos de arreglos repetidos anteriormente, ahora vea un ejemplo de arreglo simple
Ejemplo:
Paulo quiere poner en su estante tres de sus 10 libros escolares, todos diferentes entre sí, ¿de cuántas formas puede organizar estos libros?
Tenga en cuenta que, en este caso, el orden es importante, pero no hay repeticiones, ya que es un arreglo simple. Para encontrar el número de agrupaciones posibles, tenemos que:
Para obtener más información sobre esta otra forma de agrupación utilizada en el análisis combinatorio, lea el texto: LAarreglo simple.
Ejercicios resueltos:
Pregunta 1 - (Enem) Un banco pidió a sus clientes que crearan una contraseña personal de seis dígitos, que constaba únicamente de números del 0 al 9, para acceder a la cuenta corriente a través de Internet. Sin embargo, un especialista en sistemas de seguridad electrónica recomendó que la dirección del banco reinscribiera a sus usuarios, solicitando cada uno de ellos, la creación de una nueva contraseña de seis dígitos, permitiendo ahora el uso de las 26 letras del alfabeto, además de los dígitos del 0 al 9. En este nuevo sistema, cada letra mayúscula se consideró distinta de su versión en minúsculas. Además, se prohibió el uso de otro tipo de caracteres.
Una forma de evaluar un cambio en el sistema de contraseñas es comprobar el coeficiente de mejora, que es la razón del nuevo número de posibilidades de contraseñas en relación con el anterior. El coeficiente de mejora de cambio recomendado es:
Resolución
Alternativa A
La contraseña anterior es una matriz con repetición, ya que puede estar formada por todos los números, por lo que es una matriz de 10 elementos tomados cada seis.
AIRE10,6 = 106
La nueva contraseña puede constar de 10 dígitos y también de letras mayúsculas (26 letras) y minúsculas (26 letras), por lo que la contraseña tiene, para cada dígito, un total de 10 + 26 + 26 = 62 posibilidades. Como hay seis dígitos, calcularemos la disposición con repetición de 62 elementos tomados cada seis.
AIRE62,6 = 626
LA razón de la nueva cantidad de posibilidades de contraseña en comparación con la anterior es igual a 626/106.
Pregunta 2 - (Enem 2017) Una empresa construirá su sitio web y espera atraer a una audiencia de aproximadamente un millón de clientes. Para acceder a esta página, necesitará una contraseña con un formato a definir por la empresa. Hay cinco opciones de formato ofrecidas por el programador, descritas en la tabla, donde “L” y “D” representan, respectivamente, letra mayúscula y dígito.
Las letras del alfabeto, entre las 26 posibles, así como los dígitos, entre las 10 posibles, se pueden repetir en cualquiera de las opciones.
La empresa quiere elegir una opción de formato cuyo número de posibles contraseñas distintas sea mayor que número esperado de clientes, pero que este número no exceda el doble del número esperado de clientes.
Resolución
Alternativa E
Calculando cada una de las posibilidades, queremos encontrar la contraseña que tiene más de un millón de posibilidades y menos de dos millones de posibilidades.
I → LDDDDD
26 ·105 es superior a dos millones, por lo que no satisface la solicitud de la empresa.
II → DDDDDD
106 es igual a un millón, por lo que no satisface la solicitud de la empresa.
III → LLDDDD
26² · 104 es superior a dos millones, por lo que no satisface la solicitud de la empresa.
IV → DDDDD
105 es menos de un millón, por lo que no satisface la solicitud de la empresa.
V → LLLDD
26³ · 10² está entre un millón y dos millones, por lo que esta plantilla de contraseña es ideal.
Credito de imagen
[1] Rafael Berlandi / Shutterstock
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matemáticas
Fuente: Escuela Brasil - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/arranjo-com-repeticao.htm
