Εσωτερικό προϊόν μεταξύ δύο φορέων

Ο κουκκίδα μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι ένας πραγματικός αριθμός που σχετίζεται με το μέγεθος αυτών των διανυσμάτων, δηλαδή το μήκος τους και τη γωνία μεταξύ τους. Για τον υπολογισμό του, είναι επομένως απαραίτητο να γνωρίζουμε τα μήκη τους και τη γωνία που σχηματίζουν.

Χρησιμοποιώντας το επίπεδο ως βάση, ένα διάνυσμα δείχνει μια θέση, μια ένταση, μια κατεύθυνση και μια κατεύθυνση. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται στις μελέτες της Μηχανικής (Φυσική) ως εκπρόσωπος μιας δύναμης που εφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο.

Η συνήθης αναπαράσταση του διανύσματος είναι ένα βέλος που τελειώνει σε ένα σημείο. Οι συντεταγμένες αυτού του σημείου λέγεται ότι είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος ξεκινώντας από το σημείο O (0,0). Γράφουμε v = (a, b) για να το αντιπροσωπεύσουμε. Έτσι, ο φορέας v = (1,2) σχεδιάζεται ως εξής:

Διανυσματικό παράδειγμα που ξεκινά από την προέλευση

Για να υπολογίσετε το μήκος αυτού του διανύσματος, σκεφτείτε το δεξί τρίγωνο που σχηματίζεται από αυτόν και την προβολή του στον άξονα x (ή στον άξονα y), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Μήκος διανύσματος v

Το μήκος ενός διανύσματος v ονομάζεται v διάνυσμα κανόνα ή διανυσματική ενότητα v και αντιπροσωπεύεται από | v |. Σημειώστε ότι ο κανόνας του διανύσματος v = (a, b) είναι ακριβώς το μέτρο της υπότασης του τριγώνου που αντιπροσωπεύεται στο παραπάνω σχήμα. Για να υπολογίσουμε αυτό το μέτρο, χρησιμοποιούμε το Πυθαγόρειο Θεώρημα:

| v |² = το² + β²

| v | = √ (α² + β² )

Προϊόν δύο κουκκίδων φορέα

Δεδομένων δύο διανυσμάτων u και v, το εσωτερικό προϊόν μεταξύ τους αντιπροσωπεύεται από και ορίζεται ως:

= | u || v | · cosθ

Αυτό είναι ένα είδος πολλαπλασιασμού μεταξύ δύο διανυσμάτων, ωστόσο, δεν ονομάζεται προϊόν καθώς δεν είναι ένας κοινός πολλαπλασιασμός, καθώς περιλαμβάνει τη γωνία που σχηματίζεται από αυτούς τους δύο φορείς.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Το πρώτο αποτέλεσμα που προκύπτει από τον παραπάνω ορισμό είναι η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων. Με τους πραγματικούς αριθμούς "dot product", "u vector norm" και "v vector norm", μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων u και v. Για να το κάνετε αυτό, απλώς εκτελέστε τους υπολογισμούς:

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)

= | u || v | · cosθ

= cosθ
| u || v |

Επομένως, διαιρώντας το εσωτερικό προϊόν με τους κανόνες των διανυσμάτων u και v, βρίσκουμε τον πραγματικό αριθμό που αναφέρεται στο συνημίτονο μεταξύ αυτών των δύο φορέων και, συνεπώς, τη γωνία μεταξύ τους.

Σημειώστε ότι εάν η γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων είναι ευθεία, το cosθ είναι ίσο με μηδέν. Επομένως, το παραπάνω προϊόν θα έχει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

= 0

Από αυτό, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι, δεδομένου των δύο διανυσμάτων u και v, θα είναι ορθογώνια εάν = 0.

Το εσωτερικό προϊόν υπολογίζεται από συντεταγμένες φορέα

Λαμβάνοντας υπόψη τα δύο διανύσματα u = (a, b) και v = (c, d), το τελικό προϊόν μεταξύ u και v δίνεται από:

= = a · c + b · d

Εσωτερικές ιδιότητες προϊόντος

Λαμβάνοντας υπόψη τα διανύσματα u, v και w και τον πραγματικό αριθμό α, σημειώστε:

Εγώ) =

Αυτό σημαίνει ότι το εσωτερικό προϊόν των διανυσμάτων είναι «υπολογιστικό».

ii) = +

Αυτή η ιδιότητα είναι συγκρίσιμη με τη διανομή του πολλαπλασιασμού έναντι της προσθήκης.

iii) = = α

Ο υπολογισμός του εσωτερικού προϊόντος μεταξύ u και v πολλαπλασιασμένος με τον πραγματικό αριθμό α είναι ο ίδιος με τον υπολογισμό του εσωτερικού προϊόντος μεταξύ αv και u ή μεταξύ v και αu.

iv) = 0 <=> v = 0

Το εσωτερικό προϊόν του v με v είναι μόνο μηδέν εάν το v είναι το μηδέν διάνυσμα.

β) ≥ 0 για όλα τα v.

Το εσωτερικό προϊόν του v με v θα είναι πάντα μεγαλύτερο ή ίσο με το μηδέν.

Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά