Εσείς παράλογοι αριθμοί προκάλεσε μεγάλη ανησυχία στους μαθηματικούς για μεγάλο χρονικό διάστημα. Σήμερα, ήδη καλά καθορισμένο, γνωρίζουμε ως παράλογο αριθμό του οποίου η δεκαδική αναπαράσταση είναι πάντα μη περιοδική δεκαδική. Το κύριο χαρακτηριστικό των παράλογων, και αυτό που τους κάνει διαφορετικούς από τους λογικούς αριθμούς, είναι ότι αυτοί δεν μπορεί να εκπροσωπηθεί από ένα κλάσμα.
Η μελέτη των παράλογων αριθμών εμβαθύνθηκε όταν, κατά τον υπολογισμό προβλημάτων που αφορούσαν το Πυθαγόρειο θεώρημα, βρέθηκαν μη ακριβείς ρίζες. Η πράξη της αναζήτησης λύσης σε αυτές τις ανακριβείς ρίζες έκανε την ύπαρξη μη ακριβών δεκάτων αξιοσημείωτη. περιοδικά, δηλαδή αριθμών των οποίων το δεκαδικό μέρος είναι άπειρο και δεν έχει καλή ακολουθία. ορίζεται. Οι κύριοι παράλογοι αριθμοί είναι μη περιοδικά δεκαδικά, μη ακριβείς ρίζες και π.
Διαβάστε επίσης: Τετραγωνική ρίζα - περίπτωση ριζοβολίας όπου ο ριζικός δείκτης είναι 2
Σύνολο παράλογων αριθμών
Πριν από τη μελέτη των παράλογων αριθμών, μελετήθηκαν σύνολα αριθμών
φυσικός, ακέραιοι και λογικοί. Όταν ερευνήσαμε βαθύτερα τη μελέτη του ορθογωνίου τριγώνου, έγινε σαφές ότι υπάρχουν κάποιες ρίζες που δεν έχουν ακριβή λύση, συγκεκριμένα, ήταν δυνατό να δούμε ότι οι μη ακριβείς ριζικές λύσεις είναι αριθμοί γνωστά ως μη περιοδικά δέκατα.Στη μέση αυτής της αναταραχής, πολλοί μαθηματικοί προσπάθησαν να αποδείξουν, ανεπιτυχώς, ότι οι ανακριβείς ρίζες είναι λογικοί αριθμοί και που μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα, αλλά αυτό που συνειδητοποιήθηκε ήταν ότι αυτοί οι αριθμοί δεν μπορούσαν να αναπαρασταθούν σε αυτό μορφή. Καθώς, μέχρι τώρα, το σύνολο των λογικών αριθμών δεν περιλάμβανε αυτούς τους αριθμούς, προέκυψε η ανάγκη να δημιουργηθεί ένα νέο σύνολο, γνωστό ως το σύνολο των παράλογων αριθμών.
Ένας αριθμός είναι παράλογος όταν η δεκαδική αναπαράστασή του είναι μη περιοδικό δεκαδικό. |
Τι είναι οι παράλογοι αριθμοί;
Για να είναι παράλογος αριθμός, πρέπει να πληροί τον ορισμό, δηλαδή, το Η δεκαδική αναπαράστασή του είναι μη περιοδική δεκαδική. Το κύριο χαρακτηριστικό των μη περιοδικών δεκαδικών είναι ότι δεν μπορούν να αναπαρασταθούν μέσω ενός κλάσματος, το οποίο δείχνει ότι οι παράλογοι αριθμοί είναι το αντίθετο των λογικών αριθμών.
Οι κύριοι αριθμοί με αυτό το χαρακτηριστικό είναι το οι ρίζες δεν είναι ακριβείς.
Παραδείγματα:
α) √2
β) √5
γ) √7
δ) √13
Όταν αναζητάτε μη ακριβείς ριζικές λύσεις, δηλαδή, εκτελώντας πάντα την δεκαδική αναπαράσταση αυτών των αριθμών θα βρούμε ένα μη περιοδικό δεκαδικό, το οποίο κάνει αυτούς τους αριθμούς στοιχεία του συνόλου του παράλογος.
Εκτός από τις μη ακριβείς ρίζες, υπάρχουν οι ίδιοι μη περιοδικά δεκαδικά, για παράδειγμα, εάν υπολογίσουμε τις μη ακριβείς ρίζες, θα βρούμε ένα μη περιοδικό δεκαδικό.
√2 = 1,41421356...
√5= 2,23606797...
Οι παράλογοι αριθμοί αντιπροσωπεύονται συνήθως από ελληνικά γράμματα, επειδή δεν είναι δυνατόν να γράψουμε όλα τα δεκαδικά ψηφία του.
Το πρώτο είναι το π (διαβάστε: pi), υπάρχει στον υπολογισμό της περιοχής και της περιμέτρου των κύκλων. Έχει τιμή ίση με 3,1415926535…
Εκτός από το π, ένας άλλος πολύ κοινός αριθμός είναι ϕ (διαβάστε: fi). Βρίσκεται σε προβλήματα που αφορούν το ποσοστό χρυσαφένιος. Έχει τιμή ίση με 1,618033 ...
Δείτε επίσης: Τι είναι οι πρώτοι αριθμοί;
λογικός και παράλογος αριθμός
Κατά την ανάλυση των αριθμών, Είναι σημαντικό να γίνει διάκριση μεταξύ λογικών αριθμών και παράλογων αριθμών. Η ένωση αυτών των δύο συνόλων αποτελεί ένα από τα πιο μελετημένα σύνολα στα μαθηματικά, το σύνολο των πραγματικών, δηλαδή το σύνολο των πραγματικοί αριθμοί Είναι η ένωση αριθμών που μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσματα (λογική) με αριθμούς που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσματα (παράλογες).
Στο σύνολο των ρητοί αριθμοί, υπάρχουν οι ακέραιοι, οι φυσικοί, οι ακριβείς δεκαδικοί και οι περιοδικοί δεκαδικοί.
Παραδείγματα λογικών αριθμών:
-60 → ακέραιος
2.5 → ακριβές δεκαδικό
5.1111111… → περιοδικό δεκαδικό
Οι παράλογοι αριθμοί είναι μη περιοδικά δεκαδικά, οπότε δεν υπάρχει αριθμός που να είναι λογικός και παράλογος ταυτόχρονα.
Παράδειγμα παράλογων αριθμών:
1.123149… → μη περιοδικά δέκατα
2.769235… → μη περιοδικά δέκατα
Λειτουργίες με παράλογους αριθμούς
πρόσθεση και αφαίρεση
Ο πρόσθεση και το αφαίρεση δύο παράλογων αριθμών είναι συνήθως μόλις εκπροσωπήθηκε, εκτός εάν χρησιμοποιείται δεκαδική προσέγγιση αυτών των αριθμών, για παράδειγμα:
α) √6 + √5
β) √6 - √5
γ) 1.414213… + 3.1415926535…
Δεν μπορούμε να προσθέσουμε ή να αφαιρέσουμε τις τιμές λόγω των ριζών, γι 'αυτό αφήσαμε την υποδεικνυόμενη λειτουργία.
Σε δεκαδικές αναπαραστάσεις, δεν είναι επίσης δυνατό να εκτελέσετε το ακριβές άθροισμα, έτσι για να προσθέσουμε δύο παράλογους αριθμούς, χρειαζόμαστε μια λογική προσέγγιση., και αυτή η αναπαράσταση επιλέγεται ανάλογα με την ανάγκη για ακρίβεια αυτών των δεδομένων. Όσο περισσότερα δεκαδικά ψηφία θεωρούμε, τόσο πιο κοντά στο ακριβές ποσό που παίρνουμε.
Παρατήρηση:Το σύνολο των παράλογων αριθμών δεν είναι κλειστό για προσθήκη ή αφαίρεση, αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα δύο παράλογων αριθμών μπορεί να οδηγήσει σε έναν αριθμό που δεν είναι λογικός. Για παράδειγμα, αν υπολογίσουμε τη διαφορά ενός παράλογου αριθμού από το αντίθετό του, πρέπει:
α) √2 - √2 = 0
b) π + (-π) = 0
Γνωρίζουμε ότι το 0 δεν είναι παράλογος αριθμός.
Πολλαπλασιασμός και διαίρεση
Ο πολλαπλασιασμός και διαίρεση παράλογων αριθμών μπορεί να γίνει εάν η αναπαράσταση είναι α ακτινοβολίαΩστόσο, όπως η προσθήκη, σε δεκαδική αναπαράσταση, δηλαδή πολλαπλασιασμός ή διαίρεση δύο δεκαδικών, απαιτείται ορθολογική προσέγγιση αυτού του αριθμού.
α) √7 · √5 = √35
β) √32: √2 = √16 = 4
Σημειώστε επίσης ότι, στο παράδειγμα b, 4 είναι ένας λογικός αριθμός, που σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός και η διαίρεση δύο παράλογων αριθμών δεν είναι κλειστές, δηλαδή, μπορούν να έχουν ορθολογικό αποτέλεσμα.
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Ελέγξτε τους ακόλουθους αριθμούς:
Ι) 3.1415926535
II) 4.1234510….
III) 2π
IV) 1.123123123 ...
V) √36
VI) √12
Αυτοί είναι παράλογοι αριθμοί:
Α) Μόνο I, IV και V
Β) Μόνο II, III και VI
Γ) Μόνο II, IV και VI
Δ) Μόνο I, II, III και VI
Ε) Μόνο III, IV, V και VI
Ανάλυση
Εναλλακτική Β
I → ο αριθμός είναι ακριβής δεκαδικός, λογικός.
II → ο αριθμός είναι ένα μη περιοδικό, παράλογο δεκαδικό.
III → π είναι παράλογο, και το διπλό του, δηλαδή 2π, είναι επίσης παράλογο.
IV → ο αριθμός είναι ένα περιοδικό, λογικό δεκαδικό.
V → ακριβής, λογική ρίζα.
VI → η ρίζα δεν είναι ακριβής, παράλογη.
Ερώτηση 2 - Παρακαλώ κρίνετε τις ακόλουθες δηλώσεις:
I - Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι η ένωση ορθολογικών και παράλογων.
II - Το άθροισμα δύο παράλογων αριθμών μπορεί να είναι λογικός αριθμός.
III - Τα δέκατα είναι παράλογοι αριθμοί.
Αναλύοντας τις δηλώσεις, μπορούμε να πούμε ότι:
Α) Μόνο η δήλωση I είναι αλήθεια.
Β) Αληθεύει μόνο η δήλωση II.
Γ) Αληθεύει μόνο η δήλωση III.
Δ) Μόνο οι δηλώσεις I και II είναι αληθείς.
Ε) Όλες οι δηλώσεις είναι αληθείς.
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ
I → True, επειδή ο ορισμός του συνόλου των πραγματικών αριθμών είναι η ένωση μεταξύ ορθολογικού και παράλογου.
II → Αλήθεια, όταν προσθέτουμε έναν αριθμό στο αντίθετο από αυτόν, θα έχουμε ως αποτέλεσμα τον αριθμό 0, ο οποίος είναι λογικός.
III → Τα ψεύτικα, μη περιοδικά δέκατα είναι παράλογα.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-irracionais.htm