Πολυέδρα (από λατινικά πολυ - πολλά - και έδρα - το πρόσωπο) είναι αριθμοίτρισδιάστατο σχηματίζεται από την ένωση των κανονικών πολυγώνων, όπου οι πολυεδρικές γωνίες είναι όλες σύμφωνες. Η ένωση αυτών των πολυγώνων σχηματίζει στοιχεία που απαρτίζουν τον πολυέδρο, είναι: κορυφές, άκρες και πρόσωπα. Ωστόσο, δεν είναι κάθε τρισδιάστατη φιγούρα ένας πολυέδρος, ένα παράδειγμα αυτού είναι μορφές με καμμμένες όψεις στρογγυλά σώματα.
Υπάρχει ένας μαθηματικός τύπος που σχετίζεται με τα στοιχεία ενός πολυεδρού που ονομάζεται Η σχέση του Έυλερ. Επιπλέον, η πολυέδρα χωρίζεται σε δύο ομάδες: τη λεγόμενη πολυέδρα κυρτός και το όχι κυρτό. Ορισμένες πολυέδρες αξίζουν ιδιαίτερη προσοχή, λέγονται Η πολυέδρα του Πλάτωνα: τετράεδρο, εξάχρον, οκτάεδρο, δωδεκαέδρα και icosahedron.
Διαβάστε επίσης: Διαφορές μεταξύ επίπεδων και χωρικών μορφών
κυρτή πολυέδρα
Ένα πολυέδρον θα είναι κυρτό όταν σχηματίζεται από πολύγωνα κυρτός, έτσι ώστε να γίνονται αποδεκτές οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
- δύο από τα πολύγωνα Ποτέ είναι συμπαγή, δηλαδή δεν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.
- Κάθε πλευρά ενός από αυτά τα πολύγωνα ανήκει μόνο σε δύο πολύγωνα.
- Το επίπεδο που περιέχει οποιοδήποτε από αυτά τα πολύγωνα αφήνει τα άλλα πολύγωνα στον ίδιο μισό χώρο.
Διαβάστε επίσης:Άθροισμα εσωτερικών και εξωτερικών γωνιών ενός κυρτού πολυγώνου
Στοιχεία κυρτού πολυέδρου
Εξετάστε αυτό το κυρτό πολυέδρα:
Εσείς τετράπλευρα στο σχήμα καλούνται πρόσωπα του πολυέδρου.
Εσείς Πεντάγωνα είναι τα πρόσωπα και η βάση του πολυέδρου, που ονομάζεται πενταγωνική βάση πολυέδρων.
Τα τμήματα που σχηματίζουν καθένα από τα πρόσωπα ονομάζονται άκρες του πολυέδρου.
Τα σημεία όπου συναντώνται τα άκρα ονομάζονται κορυφές.
Θα καλείται το τμήμα γραμμής JC διαγώνιος του πολυέδρου, που συμβολίζεται με:
Το JC είναι μία από τις διαγώνιες, καταλαβαίνουμε διαγώνιος του πολυέδρου ως ον το τμήμα γραμμής που ενώνει δύο κορυφές που δεν ανήκουν στην ίδια όψη.
Έχουμε επίσης την πολυεδρική γωνία, που σχηματίζεται μεταξύ των άκρων, που υποδηλώνεται από:
Μια πολυεδρική γωνία ονομάζεται α τρίεδρος Πότε τρία τα άκρα προέρχονται από μια κορυφή. Ομοίως, ονομάζεται τετράεδρος, υπόθεση τέσσερα οι άκρες προέρχονται από μια κορυφή, και ούτω καθεξής.
Από τώρα και στο εξής, θα δημιουργήσουμε κάποιους συμβολισμούς, είναι:
Μάθετε περισσότερα: Σχεδιασμός γεωμετρικών στερεών
Ιδιότητες ενός κυρτού πολυέδρου
Ιδιότητα 1
Το άθροισμα των άκρων όλων των προσώπων είναι ίσο με το διπλάσιο του αριθμού των άκρων του πολυέδρου.
Παράδειγμα
Ένα πολυέδρον έχει 6 τετραγωνικές όψεις. Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό των άκρων.
Σύμφωνα με την ιδιότητα, πολλαπλασιάστε τον αριθμό των άκρων ενός προσώπου με τον αριθμό των προσώπων και αυτό είναι ίσο με το διπλάσιο του αριθμού των άκρων. Ετσι:
Ακίνητα 2
Το άθροισμα των κορυφών όλων των προσώπων είναι ίσο με το άθροισμα των άκρων όλων των προσώπων, το οποίο είναι ίσο με το διπλάσιο του αριθμού των άκρων.
Παράδειγμα
Πολύεδρο με 5 τετραεδρικές γωνίες και 4 εξαεδρικές γωνίες. Ας προσδιορίσουμε τον αριθμό των άκρων.
Ανάλογο με το προηγούμενο παράδειγμα, η δεύτερη ιδιότητα λέει ότι το άθροισμα των άκρων όλων των προσώπων είναι ίσο με το διπλάσιο του αριθμού των άκρων. Ο αριθμός των άκρων δίνεται από το προϊόν των 5 επί 4 και 4 επί 6, καθώς είναι 5 τετραεδρικές και 4 εξαεδρικές γωνίες. Ετσι:
Κοίλη (μη κυρτή) πολυέδρα
Ένα πολυέδρον είναι μη κυρτό ή κοίλο, όταν παίρνουμε δύο σημεία σε διαφορετικές όψεις και την ευθεία ρ που περιέχει αυτά τα σημεία δεν περιέχονται όλα στο πολύεδρο.
Σημειώστε ότι η ευθεία γραμμή (με μπλε χρώμα) δεν είναι πλήρης στο πολυέδρον, οπότε το πολύεδρο (σε ροζ χρώμα) είναι κοίλο ή μη κυρτό.
κανονική πολυέδρα
Λέμε ότι ένα πολύεδρο είναι κανονικό όταν τα πρόσωπα σας είναι κανονικά πολύγωνα ίση μεταξύ τους και με τις πολυεδρικές γωνίες όλες τις ίδιες.
Δείτε μερικά παραδείγματα:
Παρατηρήστε ότι όλα τα πρόσωπά σας είναι κανονικά πολύγωνα. Τα πρόσωπά του σχηματίζονται από τετράγωνα και οι άκρες είναι όλες ομοιόμορφες, δηλαδή έχουν το ίδιο μέτρο.
ανάγνωσηεπίσης: Τι είναι τα κανονικά και κυρτά πολύγωνα;
Η σχέση του Έυλερ
Επίσης γνωστός ως Το θεώρημα του Euler, το αποτέλεσμα αποδείχθηκε από τον Leonhard Euler (1707 - 1783) και το εγγυάται ότι όλα κλειστά κυρτά πολυέδρα ισχύει η ακόλουθη σχέση:
Η Πολυέδρα του Πλάτωνα
Οποιοδήποτε πολυέδρον πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις ονομάζεται πολυεδρό του Πλάτωνα:
Η σχέση Euler είναι έγκυρη
Όλα τα πρόσωπα έχουν τον ίδιο αριθμό άκρων
Όλες οι πολυεδρικές γωνίες έχουν τον ίδιο αριθμό ακμών
Είναι αποδεδειγμένο ότι υπάρχουν μόνο πέντε κανονικές και κυρτές πολυέδρες, ή η πολυέδρα του Πλάτωνα, είναι:
κανονικό τετράεδρο
έχει το τετράεδρο 4 τριγωνικά πρόσωπα σύμφωνη και 4 τριγωνικές γωνίες σύμφωνος.
κανονικό εξάχρον
έχει το εξάχρον 6 τετραγωνικά πρόσωπα σύμφωνη και 8 τριγωνικές γωνίες σύμφωνος.
κανονικό οκταέδρα
έχει το οκτάεδρο 8 τριγωνικά πρόσωπα σύμφωνη και 6 τετραεδρικές γωνίες σύμφωνος.
κανονικό δωδεκάεδρο
έχει το δωδεκάεδρο 12 πενταγωνικά πρόσωπα σύμφωνη και 20 γωνίεςτρίεδρος σύμφωνος.
κανονικό icosahedron
Το icosahedron έχει 20 τριγωνικά πρόσωπα σύμφωνη και 12 πενταεδρικές γωνίες σύμφωνος.
λύσεις ασκήσεις
1) (Enem) Ένα κόσμημα κόπηκε με τη μορφή κυρτού πολυέδρου 32 προσώπων, 20 εκ των οποίων είναι εξαέδρα και τα υπόλοιπα είναι πενταγωνικά. Αυτό το κόσμημα θα είναι ένα δώρο για μια κυρία που γιορτάζει τα γενέθλιά της, συμπληρώνοντας μια ηλικία της οποίας ο αριθμός είναι ο αριθμός των κορυφών αυτού του πολυέδρου. Αυτή η κυρία ολοκληρώνει:
α) 90 χρόνια
β) 72 ετών
γ) 60 ετών
δ) 56 ετών
ε) 52 ετών
Λύση:
Δίνει ιδιοκτησία 1 της κυρτής πολυέδρας γνωρίζουμε ότι:
Τώρα πως γνωρίζουμε τον αριθμό των άκρων είναι το αριθμός προσώπων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση Euler.
Καθώς η ηλικία που συμπληρώνετε είναι ίση με τον αριθμό των κορυφών, έτσι είναι 60 χρόνια. Εναλλακτική γ.
2) (PUC-SP) Πόσες ακμές κάνει ένα κυρτό πολυέδρον με τριγωνικές όψεις όπου ο αριθμός των κορυφών είναι τα τρία πέμπτα του αριθμού των προσώπων;
α) 60
β) 30
γ) 25
δ) 20
ε) 15
Λύση:
Από τις ιδιότητες ενός κυρτού πολυέδρου και της δήλωσης άσκησης έχουμε:
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στη σχέση Euler, έχουμε τα εξής:
Οργάνωση της προηγούμενης εξίσωσης και επίλυση της εξίσωσης στο F, προκύπτει ότι:
Αντικαθιστώντας την τιμή του αριθμού των προσώπων που βρίσκονται στην εξίσωση των άκρων, θα έχουμε:
Εναλλακτική β
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών