Ιδιότητες που περιλαμβάνουν πολύπλοκους αριθμούς

Όλοι οι υπάρχοντες αριθμοί δημιουργήθηκαν σύμφωνα με τις ανθρώπινες ανάγκες κατά τη στιγμή της δημιουργίας, όπως συμβαίνει με τους φυσικούς αριθμούς, οι οποίοι δημιουργήθηκαν για να μετρήσουν και να ελέγξουν τα «αποθέματα», και παράλογους αριθμούς, που δημιουργήθηκαν για την επίλυση προβλημάτων σε σχέση με ρίζες. Ήταν ακριβώς τα προβλήματα που αφορούσαν τις ρίζες που ξεκίνησαν τη γνώση για το σύνθετοι αριθμοί.

Η τετραγωνική εξίσωση x² +4x + 5 = 0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. Αυτό σημαίνει ότι, εντός του συνόλου των πραγματικών αριθμών, είναι αδύνατο να βρεθούν τιμές για το x που ισούνται με τον πρώτο όρο αυτής της εξίσωσης με τον δεύτερο. Παρατηρούμε αυτό το φαινόμενο από την αρχή του τύπου της Bhaskara:

Δ = 4² – 4·1·5

Δ = 16 – 20

Δ = – 4

Μόλις βρεθεί μια αρνητική τιμή για το Δ, καθίσταται αδύνατο να προχωρήσουμε στον τύπο του Bhaskara, καθώς απαιτεί τον υπολογισμό του √Δ (ρίζα του δέλτα). Τώρα, γνωρίζουμε ότι το √– 4 δεν μπορεί να υπολογιστεί επειδή δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που, πολλαπλασιασμένος από μόνος του, θα είχε ως αποτέλεσμα - 4.

Δημιουργήθηκαν πολύπλοκοι αριθμοί για να καλύψουν αυτές τις ανάγκες. Από τη δημιουργία του, το √– 4 μπορεί να αναπτυχθεί ως εξής:

√– 4 = √(– 1·4) = √(– 1)·2² = 2√(– 1)

Το √ (- 1) νοείται ως νέος τύπος αριθμού. Το σύνολο όλων αυτών των αριθμών είναι γνωστό ως το σύνολο των σύνθετων αριθμών και κάθε αντιπρόσωπος αυτού του νέου συνόλου ορίζεται ως εξής: Ας είναι ένα σύνθετο αριθμό, τότε,

Α = ο + σιεγώ που οκαι σι είναι πραγματικοί αριθμοί και i = √ (- 1)

Σε αυτόν τον ορισμό, ο Είναι γνωστό ως πραγματικό μέρος του Α και σι Είναι γνωστό ως φανταστικό μέρος του A.

Ιδιότητες σύνθετων αριθμών

Οι πραγματικοί αριθμοί αντιπροσωπεύουν, στο σύνολό τους και γεωμετρικά, μια γραμμή. Οι σύνθετοι αριθμοί, με τη σειρά τους, αντιπροσωπεύουν ένα ολόκληρο επίπεδο. Το καρτεσιανό επίπεδο που χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των πολύπλοκων αριθμών είναι γνωστό ως επίπεδο Argand-Gauss.

Κάθε σύνθετος αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί στο επίπεδο Argand-Gauss ως σημείο συντεταγμένων (a, b). Η απόσταση από το σημείο που αντιπροσωπεύει έναν σύνθετο αριθμό έως το σημείο (0,0) ονομάζεται συντελεστής του αριθμού συμπλόκου., που ορίζεται:

Αφήστε το A = a + bi να είναι ένας πολύπλοκος αριθμός, ο συντελεστής του είναι | A | = α² + β²

Οι σύνθετοι αριθμοί έχουν επίσης ένα αντίστροφο στοιχείο, που ονομάζεται συζυγές. Ορίζεται ως:

Αφήστε το A = a + bi να είναι ένας πολύπλοκος αριθμός,

Ā = a - bi είναι το σύζευγμα αυτού του αριθμού.

Ιδιότητα 1: Το προϊόν ενός σύνθετου αριθμού και του συζυγούς του είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων του πραγματικού μέρους και του φανταστικού μέρους του σύνθετου αριθμού. Μαθηματικά:

AĀ = α² + β²

Παράδειγμα: Ποιο είναι το προϊόν του A = 2 + 5i από το συζυγές του;

Απλά κάντε τον υπολογισμό: α² + β² = 2² + 5² = 4 + 25 = 29. Εάν επιλέξαμε να γράψουμε το συζυγές του Α και, μετά από αυτό, να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό AĀ, θα έχουμε:

AĀ = (2 + 5i) (2 - 5i)

AĀ = 4 - 10i + 10i + 25

AĀ = 4 + 25

AĀ = 29

Δηλαδή, χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη ιδιότητα, είναι δυνατόν να αποφευχθεί ένας μακρύς υπολογισμός καθώς και σφάλματα κατά τη διάρκεια αυτών των υπολογισμών.

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)

Ακίνητο 2: Εάν ένας σύνθετος αριθμός Α είναι ίσος με το συζυγές του, τότε το Α είναι πραγματικός αριθμός.

Ας A = a + bi. Εάν A = Ā, τότε:

a + bi = a - bi

bi = - bi

b = - β

Επομένως, b = 0

Επομένως, είναι υποχρεωτικό κάθε σύνθετος αριθμός ίσος με το συζυγές του να είναι επίσης πραγματικός αριθμός.

Ακίνητο 3: Το σύζευγμα του αθροίσματος των δύο σύνθετων αριθμών είναι ίσο με το άθροισμα των συζυγών αυτών των αριθμών., αυτό είναι:

_____ _ _ 
Α + Β = Α + Β

Παράδειγμα: Ποιο είναι το συζυγές του αθροίσματος των 7 + 9i και 2 + 4i;

____ ____
7 + 9i + 2 + 4i = 7 - 9i + 2 - 4i = 9 - 13i

Μπορείτε να προσθέσετε πρώτα και στη συνέχεια να υπολογίσετε το συζυγές του αποτελέσματος, ή να κάνετε πρώτα τα συζυγή και στη συνέχεια να προσθέσετε τα αποτελέσματα αργότερα.

Ακίνητο 4: Το συζυγές του προϊόντος μεταξύ δύο πολύπλοκων αριθμών είναι ίσο με το προϊόν των συζυγών τους, δηλαδή:

__ _ _
AB = Α · Β

Παράδειγμα: Ποιο είναι το προϊόν των συζυγών A = 7i + 10 και B = 4 + 3i;

(10 + 7i) · (4 + 3i) = (10 - 7i) · (4 - 3i) = 40 - 30i - 28i - 21 = 19 - 58i

Ανάλογα με την ανάγκη για άσκηση, είναι δυνατό να πολλαπλασιαστεί πρώτα και να υπολογιστεί το συζυγές μετά, ή να εμφανιστούν τα συζυγή πριν εκτελέσετε τον πολλαπλασιασμό.

Ακίνητα 5: Το προϊόν ενός σύνθετου αριθμού Α και το συζυγές του είναι ίσο με το τετράγωνο του συντελεστή του Α, δηλαδή:

AĀ = | Α |²

Παράδειγμα: A = 2 + 6i και μετά AĀ = | A |² = (√α² + β²)² = (√2² + 6²)² = 2² + 6² = 4 + 16 = 20. Σημειώστε ότι δεν είναι απαραίτητο να βρείτε το συζυγές και να πραγματοποιήσετε πολλαπλασιασμό μέσω της ιδιότητας διανομής του πολλαπλασιασμού πέρα ​​από την προσθήκη (γνωστή ως μικρό ντους).

Ακίνητο 6: Ο συντελεστής ενός σύνθετου αριθμού είναι ίσος με τον συντελεστή του συζεύγματος του. Με άλλα λόγια:

| Α | = | Ā |

Παράδειγμα: Βρείτε το συντελεστή του συζεύγματος του συμπλόκου A = 3 + 4i.

Σημειώστε ότι δεν είναι απαραίτητο να βρείτε το συζυγές, καθώς οι μονάδες είναι ίδιες.

| Α | = √ (α² + β²)= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Εάν υπολογίστηκαν | Ā |, η μόνη αλλαγή θα ήταν α σι αρνητικό τετράγωνο, το οποίο έχει θετικό αποτέλεσμα. Έτσι, το αποτέλεσμα θα εξακολουθούσε να είναι η ρίζα των 25.

Ακίνητο 7: Εάν τα Α και Β είναι σύνθετοι αριθμοί, τότε το προϊόν συντελεστή των Α και Β είναι ίσο με το συντελεστή του προϊόντος των Α και Β., δηλαδή:

| AB | = | Α || Β |

Παράδειγμα: Ας A = 6 + 8i και B = 4 + 3i, πόσο είναι | AB |;

Σημειώστε ότι δεν είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε πολύπλοκους αριθμούς πριν από τον υπολογισμό του συντελεστή. Είναι δυνατός ο υπολογισμός του συντελεστή κάθε αριθμού συμπλέγματος ξεχωριστά και μετά πολλαπλασιάζουμε απλώς τα αποτελέσματα.

| Α | = √ (6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10

| Β | = √ (4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5

| AB | = | Α || Β | = 10 · 5 = 50

Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά

Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Ιδιότητες που περιλαμβάνουν πολύπλοκους αριθμούς". Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/propriedades-envolvendo-numeros-complexos.htm. Πρόσβαση στις 28 Ιουνίου 2021.