Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Διανύσματα είναι μαθηματικά αντικείμενα υπεύθυνα για την περιγραφή της τροχιάς των σημείων. Πολλές φορές, αυτά τα σημεία αντιπροσωπεύουν συγκεκριμένα αντικείμενα σε κίνηση, τα οποία μελετά λεπτομερώς η Φυσική. Όταν εξετάζουμε τις δυνάμεις που εμπλέκονται στην κίνηση (στην πραγματικότητα ή στο δυναμικό) ενός αντικειμένου, η Φυσική χρησιμοποιεί διανύσματα για να τα αντιπροσωπεύσει. Η γωνία που σχηματίζουν αυτά τα διανύσματα είναι ένα κρίσιμο μέρος των υπολογισμών, ως μια μικρή διακύμανση της γωνίας μπορεί να απαιτήσει περισσότερη δύναμη για να ξεκινήσει ή να παραμείνει μέσα σε ένα αντικείμενο κίνηση.

Τα διανύσματα αντιπροσωπεύονται γεωμετρικά από βέλη, τα οποία είναι προσανατολισμένα ευθείες γραμμές. Έτσι, το ένα άκρο του τμήματος υποδεικνύει την τελική θέση του κινούμενου σημείου και το άλλο άκρο είναι χωρίς σήμανση, υποδεικνύοντας ότι η κίνηση ξεκίνησε εκεί. Το σημείο θέσης του τελικού σημείου χρησιμοποιείται γενικά για τον προσδιορισμό ενός διανύσματος που ξεκινά από την αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων. Θεωρώντας το καρτεσιανό επίπεδο ως σύστημα συντεταγμένων, ένα διάνυσμα v, ξεκινώντας από το σημείο (0,0) και τελειώνει στο σημείο (a, b), αντιπροσωπεύεται μόνο ως

διάνυσμα v = (a, b). Εάν το διάνυσμα ξεκινά σε άλλο σημείο, απλώς μετακινήστε το στο κατάλληλο μέρος.

Διάνυσμα στο καρτεσιανό αεροπλάνο

Δεδομένου ότι αυτές είναι προσανατολισμένες ευθείες γραμμές, είναι δυνατόν να υπολογιστεί το μήκος τους, το οποίο ονομάζεται διάνυσμα κανόνας. Ο υπολογισμός του κανόνα ενός διανύσματος δίνεται με τον ίδιο τρόπο όπως το απόσταση μεταξύ δύο σημείων και ισοδυναμεί με τον υπολογισμό του συντελεστή ενός πραγματικού αριθμού. Με αυτόν τον τρόπο, ο κανόνας του διανύσματος v = (a, b) δηλώνεται με | v | και μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:

Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)

Λαμβάνοντας υπόψη δύο διανύσματα v = (a, b) και u = (a ', b'), το εγχώριο προϊόν ανάμεσά τους συμβολίζεται με και δίνεται από την ακόλουθη έκφραση:

= α · α '+ β · β'

Το προϊόν κουκίδων μεταξύ δύο διανυσμάτων ορίζεται επίσης μέσω της γωνίας μεταξύ τους. Αυτός ο ορισμός επιτρέπει τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων

Έτσι, λαμβάνοντας τα ίδια διανύσματα v και u, το συνημίτονο της γωνίας θ μεταξύ τους δίνεται από την ακόλουθη έκφραση:

cosθ =
| v | · | u |

Με αυτά τα δεδομένα, τους ορισμούς και, κατά κάποιον τρόπο, τους τύπους, είναι δυνατόν να σχεδιάσουμε μια στρατηγική για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ δύο διανυσμάτων.

Δεδομένων των διανυσμάτων v = (2,2) και u = (0,2), θα υπολογίσουμε τη γωνία μεταξύ τους. Για να το κάνετε αυτό, πρώτα υπολογίστε τον κανόνα κάθε διανύσματος και το προϊόν μεταξύ αυτών των προτύπων:

| v | = √ (2² + 2²)
| v | = √ (4 + 4)
| v | = √8

| u | = √ (0² + 2²)
| u | = √ (0 + 4)
| u | = √4

| v | · | u | = √8 · √4
| v | · | u | = 4√2

Στη συνέχεια, υπολογίστε το εσωτερικό προϊόν μεταξύ v και u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Τέλος, χρησιμοποιήστε τον τύπο γωνίας μεταξύ διανυσμάτων για τον υπολογισμό των cosθ και a πίνακας τιμών συνημίτονο για να βρείτε την τιμή του θ.

cosθ =
| v | · | u |

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά

Θα θέλατε να αναφέρετε αυτό το κείμενο σε σχολείο ή ακαδημαϊκό έργο; Κοίτα:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. "Γωνία μεταξύ δύο διανυσμάτων". Σχολείο της Βραζιλίας. Διαθέσιμο σε: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Πρόσβαση στις 27 Ιουνίου 2021.