Ο αντίστροφη συνάρτηση, όπως υποδηλώνει το όνομα, είναι το συνάρτηση f (x)-1, που κάνει ακριβώς το αντίστροφο της συνάρτησης f (x). Για μια συνάρτηση που υποστηρίζει ένα αντίστροφο, πρέπει να είναι διωστήρας, δηλαδή, εγχυτήρα και εκτοξευτή ταυτόχρονα. Ο νόμος σχηματισμού μιας αντίστροφης συνάρτησης κάνει το αντίθετο από αυτό που κάνει η συνάρτηση f (x).
Για παράδειγμα, εάν η συνάρτηση παίρνει μια τιμή από τομέα και προσθέτει 2, η αντίστροφη συνάρτηση, αντί να προσθέτει, αφαιρεί το 2. βρες το νόμος σχηματισμού αντίστροφης λειτουργίας Δεν είναι πάντα εύκολο έργο, καθώς είναι απαραίτητο να αντιστραφείς τα άγνωστα x και y, καθώς και να απομονωθεί το y στη νέα εξίσωση.
Διαβάστε επίσης:Λειτουργία - όλα όσα πρέπει να γνωρίζετε για να μάθετε το θέμα
Πότε μια λειτουργία υποστηρίζει αντίστροφη;
Ένας ρόλος είναι αναστρέψιμη, δηλαδή, έχει μια αντίστροφη συνάρτηση, εάν, και μόνο εάν, είναι διωστήρας. Είναι σημαντικό να θυμάστε τι α
συνάρτηση bijector, που είναι μια συνάρτηση εγχυνών, δηλαδή, κάθε στοιχείο της εικόνας έχει έναν ανταποκριτή τομέα. Αυτό σημαίνει ότι διαφορετικά στοιχεία στο σύνολο Α πρέπει να συσχετιστούν με διαφορετικά στοιχεία στο σύνολο Β, δηλαδή, δεν μπορεί να υπάρχουν δύο ή περισσότερα στοιχεία του συνόλου Α που έχουν το ίδιο αντίστοιχο στο σύνολο Β.Ένας ρόλος είναι επιθετικός αν η εικόνα είναι ίση με τον αντίθετο τομέα, δηλαδή, δεν υπάρχει κανένα στοιχείο στο σύνολο Β που δεν έχει ένα στοιχείο στο σύνολο Α που να σχετίζεται με αυτό.
Αφήστε τη συνάρτηση f: A → B, όπου A είναι domain και B είναι counterdomain, η αντίστροφη συνάρτηση του f θα είναι η συνάρτηση που περιγράφεται από το f-1 : B → A, δηλαδή, ο τομέας και ο αντίθετος τομέας είναι ανεστραμμένοι.
Παράδειγμα:
Η συνάρτηση f: A → B είναι bijective, καθώς είναι ενέσιμη (τελικά, σχετίζονται με διαφορετικά στοιχεία στο A διακριτά στοιχεία στο Β) και είναι επίσης εκθετικό, καθώς δεν υπάρχει κανένα στοιχείο στο σύνολο Β, δηλαδή, ο αντίθετος τομέας είναι ο ίδιος με τον σειρά Εικόνα.
Επομένως, αυτή η συνάρτηση είναι αναστρέψιμη και το αντίστροφο είναι:
Πώς καθορίζεται ο νόμος σχηματισμού αντίστροφης λειτουργίας;
Για να βρούμε τον αντίστροφο νόμο σχηματισμού συνάρτησης, χρειαζόμαστε αντιστρέψτε τα άγνωστα, δηλαδή, αντικαθιστώντας το x από το y και το y από το x, και στη συνέχεια απομονώνοντας το άγνωστο y. Γι 'αυτό, είναι σημαντικό η συνάρτηση να είναι αναστρέψιμη, δηλαδή, bijector.
→ Παράδειγμα 1
Βρείτε τον νόμο σχηματισμού της αντίστροφης συνάρτησης του f (x) = x + 5.
Ανάλυση:
Γνωρίζουμε ότι f (x) = y, έτσι y = x + 5. Εκτελώντας την αντιστροφή των x και y, θα βρούμε τα ακόλουθα εξίσωση:
x = y + 5
Τώρα, ας απομονώσουμε το y:
- 5 + x = ε
y = x - 5
Σαφώς, εάν το f (x) προσθέσει 5 στην τιμή του x, τότε το αντίστροφο f (x) - 1 θα κάνει το αντίστροφο, δηλαδή x μείον 5.
→ Παράδειγμα 2
Δεδομένης της συνάρτησης της οποίας ο νόμος σχηματισμού είναι f (x) = 2x - 3, ποιος θα είναι ο νόμος σχηματισμού του αντίστροφου του;
→ Παράδειγμα 3
Υπολογίστε τον νόμο σχηματισμού του αντίστροφου της συνάρτησης y = 2Χ.
Ανάλυση:
y = 2Χ
Αλλαγή x για y:
x = 2ε
εφαρμογή λογάριθμος και στις δύο πλευρές:
κούτσουρο2x = αρχείο καταγραφής22ε
κούτσουρο2x = ylog22
κούτσουρο2x = y · 1
κούτσουρο2x = ε
y = ημερολόγιο2Χ
Διαβάστε επίσης: Διαφορές μεταξύ συνάρτησης και εξίσωσης
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Γράφημα αντίστροφης λειτουργίας
Το γράφημα της αντίστροφης συνάρτησης f -1 θα είναι πάντα συμμετρικό στο γράφημα της συνάρτησης f σε σχέση με τη γραμμή y = x, η οποία επιτρέπει την ανάλυση της συμπεριφοράς αυτών συναρτήσεις, αν και δεν μπορούμε να περιγράψουμε τον αντίστροφο νόμο σχηματισμού συνάρτησης σε ορισμένες περιπτώσεις, λόγω του περίπλοκο.
Διαβάστε επίσης: Πώς να γράφετε μια συνάρτηση;
λύσεις ασκήσεις
1) Εάν f-1 είναι η αντίστροφη συνάρτηση του f, η οποία πηγαίνει από το R στο R, του οποίου ο νόμος σχηματισμού f (x) = 2x - 10, η αριθμητική τιμή του f -1(2) é:
έως 1
β) 3
γ) 6
δ) -4
ε) -6
Ανάλυση:
→ 1ο βήμα: βρείτε το αντίστροφο του f.
→ 2ο βήμα: αντικαταστήστε το 2 στη θέση του x σε f -1(Χ).
Εναλλακτική Γ.
2) Αφήστε f: A → B να είναι μια συνάρτηση της οποίας ο νόμος σχηματισμού είναι f (x) = x² + 1, όπου A {-2, -1, 0, 1, 2} και B = {1,2,5}, είναι σωστό να πούμε ότι:
a) η συνάρτηση είναι αναστρέψιμη, καθώς είναι αμφίδρομη.
β) η λειτουργία δεν είναι αναστρέψιμη, καθώς δεν είναι ενέσιμη.
γ) η συνάρτηση δεν είναι αναστρέψιμη, καθώς δεν είναι εκθετική
δ) η λειτουργία δεν είναι αναστρέψιμη, καθώς δεν είναι ούτε εκθετική ούτε ενέσιμη.
ε) η συνάρτηση δεν είναι αναστρέψιμη, καθώς είναι αμφίδρομη.
Ανάλυση:
Για να είναι η συνάρτηση αναστρέψιμη, πρέπει να είναι αμφίδρομη, δηλαδή εθετική και ενέσιμη. Πρώτα ας αναλύσουμε εάν είναι εθελοντική.
Για να είναι η συνάρτηση επιθετική, όλα τα στοιχεία του Β πρέπει να έχουν αντίστοιχο στο A. Για να το μάθουμε, ας υπολογίσουμε καθεμία από τις αριθμητικές τιμές.
f (-2) = (-2) ² +1 = 4 + 1 = 5
f (-1) = (-1) ² +1 = 1 + 1 = 2
f (0) = 0² +1 = 0 + 1 = 1
f (1) = 1² +1 = 1 + 1 = 2
f (2) = 2² +1 = 4 + 1 = 5
Σημειώστε ότι όλα τα στοιχεία του B {1,2,5} έχουν αντίστοιχο στο A, το οποίο κάνει τη λειτουργία επιθετικός.
Για να είναι αυτή η λειτουργία ενέσιμη, στοιχεία που είναι διαφορετικά από το Α πρέπει να έχουν ξεχωριστές εικόνες στο Β, κάτι που δεν συμβαίνει. Σημειώστε ότι f (-2) = f (2) και επίσης f (-1) = f (1), που κάνει τη συνάρτηση μην κάνετε ένεση. Δεδομένου ότι δεν είναι εγχυτήρας, δεν είναι επίσης αναστρέψιμος. ως εκ τούτου, εναλλακτική β.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
