Σε αντίθεση με τα γεωμετρικά σχήματα που σχηματίζει ο ίδιος, το Σκορ δεν έχει ορισμό. Αυτό σημαίνει ότι, στη Γεωμετρία, ένα σημείο είναι ένα απροσδιόριστο αντικείμενο που χρησιμοποιείται για τον ορισμό άλλων αντικειμένων. Οι γραμμές, για παράδειγμα, είναι σύνολα σημείων. Αν και φαίνονται καλά καθορισμένες, οι γραμμές δεν έχουν κανένα ορισμό, καθώς οποιοδήποτε σύνολο που περιέχει δύο ή περισσότερα σημεία θεωρείται ευθύ.
Από την άλλη πλευρά, στην Αναλυτική Γεωμετρία, το σημείο λαμβάνεται ως τοποθεσία. Οποιαδήποτε τοποθεσία μπορεί να αντιπροσωπεύεται από ένα σημείο και, επιπλέον, η «διεύθυνση» αυτού του σημείου δίνεται μέσω συντεταγμένων.
Ωστόσο, στην αναλυτική γεωμετρία, τα σημεία μπορούν να υποδείξουν μόνο τοποθεσίες. Απαιτούνται άλλα αντικείμενα για να δείξουν τροχιά, κατεύθυνση, κατεύθυνση και ένταση. Στην περίπτωση αυτών των τριών τελευταίων, το αντικείμενο που επιλέχθηκε να τα αντιπροσωπεύσει στο Καρτεσιανό επίπεδο είναι το διάνυσμα.
→ Τι είναι ένα διάνυσμα;
Διανύσματα, επομένως, είναι αντικείμενα που δείχνουν κατεύθυνση, αίσθηση και ένταση. Συνήθως αντιπροσωπεύονται από βέλη, τα οποία ξεκινούν από την προέλευση και χρησιμοποιούνται οι συντεταγμένες του τελευταίου τους σημείου.
Στην παραπάνω εικόνα, τα διανύσματα απεικονίζονται με αυτόν τον τρόπο, δηλαδή βέλη των οποίων οι συντεταγμένες αντιστοιχούν στο τελικό τους σημείο. Το διάνυσμα u έχει συντεταγμένες (2,2) και το διάνυσμα v έχει συντεταγμένες (4,2). Επίσης, το βέλος χρησιμοποιείται για να δείξει κατεύθυνση και κατεύθυνση, και το μέγεθός του δείχνει ένταση.
→ Διάνυσμα πολλαπλασιασμός με αριθμό
Δεδομένου του διανύσματος v = (a, b), το προϊόν του πραγματικού αριθμού k by v δίνεται από την έκφραση:
k · v = k · (a, b) = (k · a, k · b)
Με άλλα λόγια, για να πολλαπλασιάσετε έναν πραγματικό αριθμό με ένα διάνυσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον πραγματικό αριθμό με καθεμία από τις συντεταγμένες του.
Γεωμετρικά, ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν πραγματικό αριθμό αυξάνει γραμμικά το μέγεθος του διανύσματος:
Σημειώστε ότι, στο παραπάνω παράδειγμα, το διάνυσμα u έχει συντεταγμένες (2.2) και το διάνυσμα u · k έχει συντεταγμένες (4.4). Επίλυση της εξίσωσης (4.4) = k (2.2), μπορούμε να συμπεράνουμε ότι k = 2.
→ Προσθήκη διανυσμάτων
Δεδομένων δύο διανυσμάτων u = (a, b) και v = (c, d), το άθροισμα μεταξύ τους θα ληφθεί μέσω της έκφρασης:
u + v = (a + c, b + d)
Με άλλα λόγια, απλώς προσθέστε τις αντίστοιχες συντεταγμένες κάθε διανύσματος. Αυτή η λειτουργία μπορεί να επεκταθεί σε άθροισμα 3 ή περισσότερων διανυσμάτων με 3 ή περισσότερες διαστάσεις.
Γεωμετρικά, ξεκινώντας από το τελικό σημείο του διανύσματος u, ένα διάνυσμα v 'σχεδιάζεται παράλληλα με το διάνυσμα v. Ξεκινώντας από το διάνυσμα v, ένα διάνυσμα u 'σχεδιάζεται παράλληλα με το διάνυσμα u. Αυτοί οι τέσσερις φορείς σχηματίζουν ένα παραλληλόγραμμο. Το διάνυσμα u + v είναι η ακόλουθη διαγώνιος αυτού του παραλληλόγραμμου:
Για αφαίρεση διανυσμάτων, θεωρήστε την αφαίρεση ως το άθροισμα ενός διανύσματος και το αντίθετο ενός άλλου. Για παράδειγμα, για να αφαιρέσετε το διάνυσμα v από το διάνυσμα u, γράψτε: u - v = u + (-v). Ο φορέας -v είναι ο φορέας v, αλλά με αντίστροφα τα σημεία συντεταγμένων.
Κοιτάζοντας προσεκτικά, οι πράξεις "πολλαπλασιάζοντας ένα διάνυσμα με έναν αριθμό" και "προσθέτοντας διανύσματα" Κάντε χρήση λειτουργιών πολλαπλασιασμού και προσθήκης σε πραγματικούς αριθμούς, αλλά σε κάθε στοιχείο του διάνυσμα. Επομένως, για τα διανύσματα, όλες οι ιδιότητες προσθήκης και πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών είναι έγκυρες, δηλαδή:
Δεδομένων των διανυσμάτων u, v και w και των πραγματικών αριθμών k και l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) υπάρχει ένας φορέας 0 = (0.0) έτσι ώστε v + 0 = v
iv) Υπάρχει ένα διάνυσμα -v έτσι ώστε v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Πρότυπο διανύσματος
Ο κανόνας ενός διανύσματος είναι το ισοδύναμο του μεγέθους ενός πραγματικού αριθμού, δηλαδή της απόστασης μεταξύ ενός διανύσματος και του σημείου (0,0) ή, ανάλογα με το πλαίσιο αναφοράς, το μήκος του διανύσματος.
Ο κανόνας του διανύσματος v = (a, b) δηλώνεται με || v || και μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας την έκφραση:
|| v || = √ (α2 + β2)
→ Εσωτερικό προϊόν
Το εσωτερικό προϊόν είναι συγκρίσιμο με το προϊόν μεταξύ διανυσμάτων. Σημειώστε ότι το προϊόν που αναφέρεται παραπάνω είναι το προϊόν μεταξύ ενός διανύσματος και ενός πραγματικού αριθμού. Τώρα, το εν λόγω «προϊόν» βρίσκεται μεταξύ δύο διανυσμάτων. Ωστόσο, δεν πρέπει να λέμε «προϊόν μεταξύ δύο διανυσμάτων», αλλά «εσωτερικό προϊόν μεταξύ δύο διανυσμάτων». Το εσωτερικό προϊόν μεταξύ των διανυσμάτων v = (a, b) και u = (c, d) υποδηλώνεται με
Είναι επίσης συνηθισμένο να χρησιμοποιείτε την ακόλουθη σημειογραφία:
Σημειώστε ότι, χρησιμοποιώντας τον κανόνα του διανύσματος v = (a, b), μπορούμε να συσχετίσουμε τον κανόνα και το προϊόν κουκκίδων.
|| v || = √ (α2 + β2) = √ (a · a + b · b) = √ (
Του Luiz Paulo Moreira
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/operacoes-com-vetores-representacoes-geometricas.htm