τον τριγωνομετρικό κύκλο είναι ένας κύκλος ακτίνας 1 που αντιπροσωπεύεται στο Καρτεσιανό αεροπλάνο. Σε αυτόν, ο οριζόντιος άξονας είναι ο άξονας συνημίτονος και ο κατακόρυφος άξονας είναι ο ημιτονοειδής άξονας. Μπορεί επίσης να ονομαστεί τριγωνομετρικός κύκλος.
Χρησιμοποιείται για τη διεξαγωγή της μελέτης των τριγωνομετρικών αναλογιών. Με αυτό, είναι δυνατόν να κατανοήσουμε καλύτερα τους κύριους τριγωνομετρικούς λόγους γωνίες μεγαλύτερη από 180º, δηλαδή: το ημίτονο, το συνημίτονο και η εφαπτομένη.
Διαβάστε επίσης: 4 πιο κοινά λάθη στη Βασική τριγωνομετρία
Βήμα προς βήμα για τη δημιουργία του τριγωνομετρικού κύκλου
Για την κατασκευή του τριγωνομετρικού κύκλου, χρησιμοποιούμε δύο άξονες, ένα κάθετο και ένα οριζόντιο, όπως ένα καρτεσιανό επίπεδο. Ο οριζόντιος άξονας είναι γνωστός ως άξονας συνημίτονος, και ο κάθετος άξονας είναι γνωστός ως ημιτονοειδής άξονας.
Με την κατασκευή των αξόνων, ας σχεδιάσουμε το γράφημα ενός κύκλου που έχει ακτίνα 1.
Τριγωνομετρικές αναλογίες στον κύκλο
Μην σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη διαφήμιση;)
Χρησιμοποιούμε τον κύκλο για να βρούμε την τιμή του ημιτονοειδές, συνημίτονο και εφαπτομενικό, σύμφωνα με την τιμή γωνίας. έχοντας μέσα κατακόρυφος άξονας η ημιτονοειδής τιμή και στον οριζόντιο άξονα η τιμή συνημίτονου, καθορίζοντας μια γωνία στον τριγωνομετρικό κύκλο, είναι δυνατόν να βρεθεί η τιμή του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου αναλύοντας την συντεταγμένες του σημείου όπου το τμήμα γραμμής συνδέει το κέντρο του κύκλου και την περιφέρεια, που αντιπροσωπεύεται από το P στην εικόνα α ακολουθηστε. Εάν τραβήξουμε την εφαπτομενική γραμμή στον κύκλο στο σημείο (1.0), μπορούμε επίσης να υπολογίσουμε την εφαπτομένη αυτής της γωνίας αναλυτικά σύμφωνα με την εικόνα:
Διαβάστε επίσης: Τι είναι η μάζα, η κοκκομετρική και η ομοιόμορφη;
Ακτίνια τριγωνομετρικού κύκλου
Γνωρίζουμε ότι ένα τόξο μπορεί να μετρηθεί χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικές μονάδες μέτρησης: το μέτρο σε μοίρες και το μέτρο σε ακτίνια. Ξέρουμε ότι η περιφέρεια είναι 360º και ότι το μήκος του τόξου σας είναι 2π:
Τεταρτημόρια του τριγωνομετρικού κύκλου
Είτε σε ακτίνια είτε σε μοίρες, είναι δυνατό να καθοριστεί το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται ένα δεδομένο τόξο σύμφωνα με τη μέτρησή του.
Αναλύοντας τον κύκλο, πρέπει:
πρώτο τεταρτημόριο: γωνίες μεταξύ 0 έως 90 ° ή 0 και π / 2 ακτίνια.
δεύτερο τεταρτημόριο: γωνίες μεταξύ 90 ° και 180 ° ή π / 2 και π ακτίνια.
τρίτο τεταρτημόριο: γωνίες μεταξύ 180 between και 270º ή π και 3 π / 2 ακτίνια.
τέταρτο τεταρτημόριο: γωνίες μεταξύ 270 ° και 360 ° ή 3π / 2 και 2π ακτίνια.
Διαβάστε επίσης: Σχεδιάστε τα χαρακτηριστικά και τις ιδιότητες
Αξιοσημείωτες γωνίες στον τριγωνομετρικό κύκλο
Στην αρχή της μελέτης του τριγωνομετρία, μάθαμε ότι οι αξιοσημείωτες γωνίες είναι οι γωνίες 30º, 45º και 60º, οι οποίες έχουν την τιμή του γνωστού ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου. Ωστόσο, λόγω της συμμετρίας του τριγωνομετρικού κύκλου, είναι δυνατόν να βρεθούν οι τιμές ημιτονοειδούς και συνημίτονου για αυτές τις γωνίες και τις συμμετρικές γωνίες σε αυτόν σε κάθε τεταρτημόριο.
Τριγωνομετρικά σημάδια κύκλου
Για να καταλάβετε ποιο είναι το σημάδι κάθε τριγωνομετρικής αναλογίας στον κύκλο, αρκεί να αναλύσετε τις αξίες του άξονα στο Καρτεσιανό επίπεδο.
Ας ξεκινήσουμε με το συνημίτονο. Δεδομένου ότι είναι ο οριζόντιος άξονας, το συνημίτονο των γωνιών που περιλαμβάνονται στα δεξιά του κάθετου άξονα είναι θετικό και το συνημίτονο των γωνιών που περιλαμβάνονται στα αριστερά του κατακόρυφου άξονα είναι αρνητικό.
Τώρα, για να κατανοήσετε το ημιτονοειδές σημείο μιας γωνίας, απλώς θυμηθείτε ότι ο κάθετος άξονας είναι ο ημιτονοειδής άξονας, οπότε το ημιτονοειδές μιας γωνίας που βρίσκεται πάνω από τον οριζόντιο άξονα είναι θετικό αλλά αν η γωνία είναι κάτω από τον οριζόντιο άξονα, το ημίτονο αυτής της γωνίας είναι αρνητικό, όπως φαίνεται στην ακόλουθη εικόνα:
Ξέρουμε ότι η εφαπτομένη είναι η αναλογία μεταξύ του ημιτονοειδούς και του συνημίτονου, στη συνέχεια, για να βρούμε το σύμβολο της εφαπτομένης για καθένα από τα τεταρτημόρια, παίζουμε το παιχνίδι σημαδιών, το οποίο καθιστά την εφαπτομένη θετική στα περίεργα τεταρτημόρια και αρνητική στα ζυγά τεταρτημόρια:
Διαβάστε επίσης: Τι είναι ημι-ευθεία, ημιεπίπεδα και ημι-διαστήματα;
συμμετρία στον κύκλο
Αναλύοντας τον τριγωνομετρικό κύκλο, είναι δυνατόν να κατασκευαστεί ένας τρόπος μείωσης του ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου στο πρώτο τεταρτημόριο. Αυτή η μείωση σημαίνει εύρεση στο πρώτο τεταρτημόριο μιας γωνίας που είναι συμμετρική με μια γωνία των άλλων τεταρτημορίων, γιατί, όταν δουλεύουμε με συμμετρική γωνία, η τιμή των τριγωνομετρικών αναλογιών είναι η ίδια, αλλάζοντας μόνο σήμα.
Μείωση μιας γωνίας που βρίσκεται στο 2ο τεταρτημόριο στο 1ο τεταρτημόριο
Ξεκινώντας με τις γωνίες που βρίσκονται στο 2ο τεταρτημόριο, πρέπει:
Όπως γνωρίζουμε, στο 1ο και στο 2ο τεταρτημόριο, το ημίτονο είναι θετικό. Έτσι, για να υπολογίσουμε τη μείωση του ημιτονοειδούς από το 2ο τεταρτημόριο στο 1ο τεταρτημόριο, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
sin x = sin (180º - x)
Το συνημίτονο και η εφαπτομένη στο 2ο τεταρτημόριο είναι αρνητικά. Για να μειώσουμε το συνημίτονο από το 2ο τεταρτημόριο στο 1ο τεταρτημόριο, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
cosx = - cos (180º - x)
tg x = - tg (180º - x)
Παράδειγμα:
Ποια είναι η τιμή του ημιτονοειδούς και συνημίτονου με γωνία 120 °;
Η γωνία 120 ° είναι μια δεύτερη γωνία τεταρτημόριο καθώς είναι μεταξύ 90 ° και 180 °. Για να μειώσουμε αυτήν τη γωνία στο 1ο τεταρτημόριο, υπολογίζουμε:
sin 120 ° = sin (180 ° - 120 °)
sin 120º = αμαρτία 60º
Η γωνία 60 ° είναι μια αξιοσημείωτη γωνία, οπότε η ημιτονοειδής του τιμή είναι γνωστή, οπότε:
Τώρα ας υπολογίσουμε το συνημίτονό σας:
cos 120º = - cos (180 - 120)
cos 120º = - cos 60º
Όπως γνωρίζουμε το συνημίτονο των 60º, πρέπει:
Μείωση μιας γωνίας που βρίσκεται στο 3ο τεταρτημόριο στο 1ο τεταρτημόριο
Όπως στο 2ο τεταρτημόριο, υπάρχει συμμετρία μεταξύ γωνιών στο 3ο τεταρτημόριο και γωνιών στο 1ο τεταρτημόριο.
Το ημίτονο και το συνημίτονο στο τρίτο τεταρτημόριο είναι αρνητικά. Έτσι, για να μειώσουμε το ημίτονο και το συνημίτονο από το 3ο τεταρτημόριο στο 1ο τεταρτημόριο, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
sin x = - sin (x - 180º)
cosx = - cos (x - 180º)
Η εφαπτομένη στο 3ο τεταρτημόριο είναι θετική. Για να το μειώσουμε, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
tg x = tg (x - 180º)
Παράδειγμα:
Υπολογίστε το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη των 225º.
sin 225º = - αμαρτία (225º - 180º)
sin 225º = - αμαρτία 45º
Καθώς το 45º είναι μια αξιοσημείωτη γωνία, όταν συμβουλευόμαστε τον πίνακα, πρέπει:
Τώρα, υπολογίζοντας το συνημίτονο, πρέπει:
tg 225º = tg (225º - 180º)
tg 225º = tg 45º
Γνωρίζουμε ότι tg45º = 1, έτσι:
tg 225º = 1
Μείωση μιας γωνίας που βρίσκεται στο 4ο τεταρτημόριο στο 1ο τεταρτημόριο
Με την ίδια συλλογιστική με τις προηγούμενες μειώσεις, υπάρχει μια συμμετρία μεταξύ του 4ου και του 1ου τεταρτημορίου:
Οι τιμές ημιτονοειδούς και εφαπτομένου στο 4ο τεταρτημόριο είναι αρνητικές. Έτσι, για να κάνουμε τη μείωση από το 4ο στο 1ο τεταρτημόριο, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
sin x = - sin (360º - x)
tg x = - tg (360º - x)
Το συνημίτονο στο 4ο τεταρτημόριο είναι θετικό. Έτσι, για να μειωθεί στο 1ο τεταρτημόριο, ο τύπος είναι:
cos x = cos (360º - x)
Παράδειγμα:
Υπολογίστε την τιμή του ημιτονοειδούς και συνημίτονου των 330º.
Ξεκινώντας με το ημίτονο:
Τώρα υπολογίζει το συνημίτονο:
Διαβάστε επίσης: Πώς να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο διάστημα;
Λύσεις τριγωνομετρικών κύκλων
ερώτηση 1 - Κατά τη διάρκεια της μελέτης της κυκλικής ροπής, ένας φυσικός ανέλυσε ένα αντικείμενο που περιστρέφεται γύρω του, σχηματίζοντας μια γωνία 15.240º. Αναλύοντας αυτή τη γωνία, το τόξο που σχηματίζεται είναι:
Α) τεταρτημόριο Ι.
Β) τεταρτημόριο II.
Γ) τεταρτημόριο III.
Δ) τεταρτημόριο IV.
Ε) πάνω από έναν από τους άξονες.
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Γνωρίζουμε ότι κάθε 360 ° αυτό το αντικείμενο ολοκληρώνει έναν κύκλο γύρω του. Κατά την εκτέλεση του διαίρεση από 15.240 επί 360, θα βρούμε πόσες πλήρεις στροφές έχει κάνει αυτό το αντικείμενο γύρω του, αλλά το κύριο ενδιαφέρον μας είναι το υπόλοιπο, το οποίο αντιπροσωπεύει τη γωνία με την οποία σταμάτησε.
15.240: 360 = 42,333…
Το αποτέλεσμα δείχνει ότι έκανε 42 στροφές γύρω του, αλλά 360 · 42 = 15,20, οπότε άφησε μια γωνία:
15.240 – 15.120 = 120º
Γνωρίζουμε ότι οι 120 ° είναι μια δεύτερη γωνία τεταρτημορίου.
Ερώτηση 2 - Παρακαλώ κρίνετε τις ακόλουθες δηλώσεις:
I → Κατά τον υπολογισμό tg 140º, η τιμή θα είναι αρνητική.
II → Η γωνία 200 ° είναι μια γωνία του 2ου τεταρτημορίου.
III → Sen 130º = αμαρτία 50º.
Σημειώστε τη σωστή εναλλακτική λύση:
Α) Μόνο εγώ είμαι ψευδής.
Β) Μόνο το II είναι ψευδές.
Γ) Μόνο το III είναι ψευδές.
Δ) Όλα είναι αλήθεια.
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
I → True, καθώς η γωνία 140º ανήκει στο 2ο τεταρτημόριο, στο οποίο η εφαπτομένη είναι πάντα αρνητική.
II → False, καθώς η γωνία 200º είναι μια γωνία του 3ου τεταρτημορίου.
III → Αληθές, επειδή για να μειώσετε μια γωνία από το 2ο στο 1ο τεταρτημόριο, απλώς υπολογίστε τη διαφορά 180 ° - x, και στη συνέχεια:
sin 130 ° = sin (180 ° - 130 °)
sin 130th = sin 50η
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
