Γραμμικά συστήματα: τι είναι, πώς να λύσουν, τύποι

Λύσει συστήματαγραμμικός Είναι μια πολύ επαναλαμβανόμενη εργασία για μελέτες στους τομείς των φυσικών επιστημών και των μαθηματικών. Η αναζήτηση για άγνωστες τιμές οδήγησε στην ανάπτυξη μεθόδων για την επίλυση γραμμικών συστημάτων, όπως η μέθοδος προσθήκης, ισότητας και υποκατάστασης για συστήματα που έχουν δύο εξισώσεις και δύο άγνωστα, και ο κανόνας και η κλιμάκωση του Crammer, που επιλύουν γραμμικά συστήματα δύο εξισώσεων, αλλά τα οποία είναι πιο βολικά για συστήματα με περισσότερες εξισώσεις. Ένα γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο δύο ή περισσότερων εξισώσεων με ένα ή περισσότερα άγνωστα.

Διαβάστε επίσης:Ποια είναι η σχέση μεταξύ πινάκων και γραμμικών συστημάτων;

Γραμμικά συστήματα.

γραμμική εξίσωση

Η εργασία με εξισώσεις υπάρχει λόγω του πρέπει να βρείτε άγνωστες άγνωστες τιμές. Το ονομάζουμε εξίσωση όταν έχουμε μια αλγεβρική έκφραση με ισότητα και ταξινομείται ως γραμμική όταν ο μεγαλύτερος εκθέτης των άγνωστων της είναι 1, όπως φαίνεται στα ακόλουθα παραδείγματα:

2x + y = 7 → γραμμική εξίσωση με δύο άγνωστα

a + 4 = -3 → γραμμική εξίσωση με ένα άγνωστο

Γενικά, μια γραμμική εξίσωση μπορεί να περιγραφεί από:

ο₁Χ₁ + το₂Χ₂ + a3x3... + α_όχιΧ_όχι = γ

Γνωρίζουμε ως σύστημα εξισώσεων όταν υπάρχουν περισσότερες από μία γραμμικές εξισώσεις. Θα ξεκινήσουμε με γραμμικά συστήματα δύο άγνωστων.

Επίλυση γραμμικών συστημάτων

• Γραμμικά συστήματα με δύο εξισώσεις 1ου βαθμού και δύο άγνωστα

Για την επίλυση ενός συστήματος δύο εξισώσεων και δύο άγνωστων, υπάρχουν πολλές μεθόδους, οι τρεις πιο γνωστοί είναι:

• μέθοδος σύγκρισης
• μέθοδος προσθήκης
• μέθοδος υποκατάστασης

Οποιοδήποτε από τα τρία μπορεί να λύσει ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων και δύο άγνωστων. Αυτές οι μέθοδοι δεν είναι τόσο αποτελεσματικά για συστήματα με περισσότερες εξισώσεις, καθώς υπάρχουν άλλες συγκεκριμένες μέθοδοι για την επίλυσή τους.

• Μέθοδος αντικατάστασης

Η μέθοδος αντικατάστασης αποτελείται από απομονώστε ένα από τα άγνωστα σε μία από τις εξισώσεις και εκτελέστε την αντικατάσταση στην άλλη εξίσωση.

Παράδειγμα:

1ο βήμα: απομονώστε ένα από τα άγνωστα.

Καλούμε I την πρώτη εξίσωση και II τη δεύτερη εξίσωση. Αναλύοντας τα δύο, ας επιλέξτε το άγνωστο που είναι πιο εύκολο να απομονωθεί. Σημειώστε ότι στο εξίσωση I → x + 2y = 5, το x δεν έχει συντελεστή, γεγονός που καθιστά ευκολότερη την απομόνωση, οπότε θα ξαναγράψουμε την εξίσωση μου αρέσει αυτό:

I → x + 2y = 5

I → x = 5 - 2y

2ο βήμα: αντικαταστήστε το I στο II.

Τώρα που έχουμε την εξίσωση I με x μόνο, στην εξίσωση II, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το x με 5 - 2y.

II → 3x - 5y = 4

Αντικατάσταση x από 5 - 2y:

3 (5 - 2y) - 5y = 4

Τώρα που η εξίσωση έχει μόνο ένα άγνωστο, είναι δυνατόν να το λύσουμε για να βρούμε την τιμή του y.

Γνωρίζοντας την τιμή του y, θα βρούμε την τιμή του x αντικαθιστώντας την τιμή του y στην εξίσωση Ι.

I → x = 5 - 2y

x = 5 - 2 · 1

x = 5 - 2

x = 3

Έτσι, η λύση του συστήματος είναι S = {3,1}.

• Μέθοδος σύγκρισης

Η μέθοδος σύγκρισης αποτελείται από απομονώστε ένα άγνωστο στις δύο εξισώσεις και εξισώστε αυτές τις τιμές.

Παράδειγμα:

1ο βήμα: ας είμαι η πρώτη εξίσωση και II η δεύτερη, ας απομονώσουμε ένα από τα άγνωστα στα I και II. Επιλέγοντας να απομονώσουμε το άγνωστο x, πρέπει:

2ο βήμα: εξισώστε τις δύο νέες εξισώσεις, αφού x = x.

3ο βήμα: αντικαταστήστε την τιμή του y με -2 σε μία από τις εξισώσεις.

x = -4 - 3y

x = -4 - 3 (-2)

x = -4 + 6

x = 2

Έτσι, η λύση αυτού του συστήματος είναι το σύνολο S = {2, -2}.

Δείτε επίσης: Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ λειτουργίας και εξίσωσης;

• μέθοδος προσθήκης

Η μέθοδος προσθήκης συνίσταται στην εκτέλεση του πολλαπλασιασμού όλων των όρων μιας από τις εξισώσεις, με τέτοιο τρόπο ώστε, όταν προσθέτοντας την εξίσωση I στην εξίσωση II, ένα από τα άγνωστα είναι ίση με το μηδέν.

Παράδειγμα:

1ο βήμα: πολλαπλασιάστε μία από τις εξισώσεις έτσι ώστε οι συντελεστές να είναι αντίθετοι.

Σημειώστε ότι αν πολλαπλασιάσουμε την εξίσωση II με 2, έχουμε 4y στην εξίσωση II και -4y στην εξίσωση I, και ότι με προσθέτουμε το I + II, παίρνουμε 0y, οπότε ας πολλαπλασιάσουμε όλους τους όρους στην εξίσωση II με 2 έτσι ώστε αυτό συμβεί.

I → 5x - 4y = -5

2 · II → 2x + 4y = 26

2ο βήμα: εκτελέστε το άθροισμα I + 2 · II.

3ο βήμα: αντικαταστήστε την τιμή του x = 3 σε μία από τις εξισώσεις.

• Γραμμικά συστήματα με τρεις εξισώσεις 1ου βαθμού και τρία άγνωστα

Όταν το σύστημα έχει τρία άγνωστα, υιοθετούμε άλλες μεθόδους επίλυσης. Όλες αυτές οι μέθοδοι σχετίζονται συντελεστές με πίνακες και οι πιο χρησιμοποιούμενες μέθοδοι είναι ο κανόνας ή η κλιμάκωση του Crammer. Για την ανάλυση και στις δύο μεθόδους, είναι απαραίτητη η αναπαράσταση της μήτρας του συστήματος, ακόμη και το σύστημα 2x2 μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω μιας μήτρας. Υπάρχουν δύο πιθανές αναπαραστάσεις, η πλήρης μήτρα και η ατελής μήτρα:

Παράδειγμα:

Το σύστημα 

Μπορεί να εκπροσωπηθεί από πλήρης μήτρας

Και για ελλιπής μήτρα

• Κανόνας του Crammer

Για να βρείτε λύσεις για ένα σύστημα 3x3, με άγνωστα x, y και z, χρησιμοποιώντας το Ο κανόνας του Crammer, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί ο καθοριστής της ατελούς μήτρας και οι παραλλαγές της. Πρέπει λοιπόν:

D → καθοριστικός παράγοντας της ατελούς μήτρας του συστήματος.

ρε_Χ → καθοριστικός παράγοντας του ατελούς πίνακα του συστήματος, αντικαθιστώντας τη στήλη του x από τη στήλη ανεξάρτητων όρων.

ρε_γ → καθοριστικός παράγοντας της ατελούς μήτρας του συστήματος, αντικαθιστώντας τη στήλη του y από τη στήλη ανεξάρτητων όρων.

ρε_ζ → καθοριστικός παράγοντας του ατελούς πίνακα του συστήματος, αντικαθιστώντας τη στήλη του z από τη στήλη ανεξάρτητων όρων.

Έτσι, για να βρούμε την αξία των αγνώστων στοιχείων σας, πρέπει πρώτα να υπολογίσουμε το καθοριστικός Δ, Δ_Χ, Δ_γ σχετίζεται με το σύστημα.

Παράδειγμα:

1ο βήμα: υπολογίστε D.

2ο βήμα: υπολογίστε D_Χ.

3ο βήμα: τότε μπορούμε να βρούμε την τιμή του x, επειδή:

4ο βήμα: υπολογισμός D_γ.

5ο βήμα: τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του y:

6ο βήμα: τώρα που γνωρίζουμε την τιμή των x και y, και στις δύο γραμμές μπορούμε να βρούμε την τιμή του z αντικαθιστώντας την τιμή των x και y και απομονώνοντας το z. Μια άλλη επιλογή είναι ο υπολογισμός του D_ζ.

Αντικατάσταση x = 0 και y = 2 στην πρώτη εξίσωση:

2x + y - z = 3

2 · 0 + 2 - z = 3

0 + 2 - z = 3

-z = 3 - 2

-z = -1 (-1)

 z = -1

Επομένως, η λύση του συστήματος είναι η προσφορά (0,2, -1).

Επίσης πρόσβαση: Επίλυση προβλημάτων από συστήματα εξισώσεων

• απολέπιση

Μια άλλη μέθοδος επίλυσης γραμμικών συστημάτων είναι η κλιμάκωση, στην οποία χρησιμοποιούμε μόνο τον πλήρη πίνακα και τις λειτουργίες μεταξύ των γραμμών για να απομονώσουμε τα άγνωστα. Ας κλιμακώσουμε το παρακάτω σύστημα.

1ο βήμα: γράψτε τον πλήρη πίνακα που αντιπροσωπεύει το σύστημα.

να είσαι Λ₁Λ₂ και εγώ₃ αντίστοιχα οι γραμμές 1, 2 και 3 του πίνακα, θα εκτελέσουμε λειτουργίες μεταξύ L₁ και εγώ₂ και εγώ₁ και εγώ₃, έτσι ώστε το αποτέλεσμα να κάνει τους όρους που βρίσκονται στην πρώτη στήλη της δεύτερης και τρίτης σειράς μηδέν.

Αναλύοντας τη δεύτερη γραμμή του πίνακα, ας το αντικαταστήσουμε με το αποτέλεσμα L2 → -2 · L1 + L2, προκειμένου να μηδενιστεί ο όρος a21.

ο₂₁ = -2 · 1 + 2 = 0

ο₂₂ = -2 · 2 + 1 = -3

ο₂₃ = -2 · (-3) + 1 = 7

ο₂₄ =-2 · 10 + 3 = -17

Έτσι το L₂ θα είναι 0 -3 7 -17.

Αναλύοντας την τρίτη σειρά του πίνακα, ας το αντικαταστήσουμε με το αποτέλεσμα L3 → 3L1 + L_2, για να επαναφέρετε τον όρο σε_31.

ο₃₁ = 3 · 1 – 3 = 0

ο₃₂ = 3 · 2 + 2 = 8

ο₃₃ = 3 · (-3) +1 = -8

ο₃₄ = 3 · 10 – 6 = 24

Έτσι το L₃ θα είναι 0 8 -8 24.

Σημειώστε ότι όλα διαιρούνται με 8, έτσι η γραμμή L₃ κρατήστε το απλό, ας το διαιρέσουμε με το 8.

μεγάλο₃ → Λ₃ : 8 θα είναι: 0 1-1 3.

Έτσι, ο νέος πίνακας της εξισωμένης κλίμακας θα είναι:

Τώρα ο στόχος είναι να επαναφέρετε τη στήλη y στην τρίτη σειρά, θα εκτελέσουμε λειτουργίες μεταξύ L₂ και εγώ₃, με στόχο την επαναφορά της δεύτερης στήλης ενός από αυτά.

Θα αντικαταστήσουμε το L3 με το L3 → L₂ + 3 λίτρα₃.

ο₃₁ = 0 + 3 · 0 = 0

ο₃₂ = -3 + 3 · 1 = 0

ο₃₃ = 7 + 3 · (-1) = 4

ο₃₄ = -17 + 3 · 3 = -8

Λοιπόν, Λ₃ θα είναι: 0 0 4 -8.

Η νέα κλίμακα θα είναι:

Τώρα, όταν αντιπροσωπεύουμε ξανά αυτόν τον πίνακα ως σύστημα, προσθέτοντας x, y και z στις στήλες, θα βρούμε τα εξής:

Στη συνέχεια μπορούμε να βρούμε την αξία καθενός από τα άγνωστα. Αναλύοντας την εξίσωση III, πρέπει:

Εάν z = -2, ας αντικαταστήσουμε την τιμή του z στη δεύτερη εξίσωση:

Τέλος, στην πρώτη εξίσωση, ας αντικαταστήσουμε την τιμή των y και z για να βρούμε την τιμή του x.

Δείτε επίσης: Σύστημα ανισοτήτων 1ου βαθμού - πώς να το λύσετε;

γραμμική ταξινόμηση συστήματος

Ένα γραμμικό σύστημα είναι ένα σύνολο γραμμικών εξισώσεων, οι οποίες μπορεί να έχουν πολλά άγνωστα και πολλές εξισώσεις. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι για την επίλυσή του, ανεξάρτητα από τον αριθμό των εξισώσεων. υπάρχουν τρία ακροαματικότητα για ένα γραμμικό σύστημα.

• Καθορισμένο πιθανό σύστημα (SPD): όταν έχετε μια μόνο λύση.
• Απροσδιόριστο πιθανό σύστημα (SPI): όταν έχει άπειρες λύσεις.
• αδύνατο σύστημα(ΣΙ): όταν δεν υπάρχει λύση.

λύσεις ασκήσεις

ερώτηση 1 (IFG 2019) Εξετάστε το άθροισμα των μετρήσεων μιας βάσης και του ύψους σε σχέση με τη βάση ενός τριγώνου ίσου με 168 cm και τη διαφορά ίση με 24 cm. Είναι σωστό να δηλώσετε ότι οι μετρήσεις της βάσης και του ύψους σε σχέση με αυτό το βασικό μέτρο, αντίστοιχα:

α) 72 cm και 96 cm

β) 144 cm και 24 cm

γ) 96 cm και 72 cm

δ) 24 cm και 144 cm

Ανάλυση

Εναλλακτική Γ.

Ας h → ύψος και b → βάση, τότε έχουμε το ακόλουθο σύστημα:

Με τη μέθοδο της προσθήκης, πρέπει:

Για να βρούμε την τιμή του h, ας αντικαταστήσουμε το b = 96 cm στην πρώτη εξίσωση:

b + h = 168

96 + ώρα = 168

h = 168 - 96

h = 72 εκ

Ερώτηση 2 Η ατελής μήτρα που αντιπροσωπεύει το ακόλουθο γραμμικό σύστημα είναι:

Ανάλυση

Εναλλακτική Γ.

Η ατελής μήτρα είναι αυτή που έχει τους συντελεστές x, y και z, οπότε θα είναι μήτρα 3x3. Αναλύοντας τις εναλλακτικές λύσεις, αυτή που περιέχει τον πίνακα 3x3 με τα σωστά σημάδια είναι το γράμμα C.

Από τον Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/sistemas-lineares.htm