Οι έννοιες του πολλαπλασιάζεται και διαβήτης ενός φυσικού αριθμού επεκτείνεται στο σύνολο των ολόκληροι αριθμοί. Όταν ασχολούμαστε με το θέμα πολλαπλών και διαιρετών, αναφερόμαστε αριθμητικά σύνολα που πληρούν ορισμένες προϋποθέσεις. Τα πολλαπλάσια βρίσκονται μετά τον πολλαπλασιασμό με ακέραιους αριθμούς και οι διαιρέτες είναι αριθμοί διαιρούμενοι με έναν συγκεκριμένο αριθμό.
Εξαιτίας αυτού, θα βρούμε υποσύνολα των ακεραίων, καθώς τα στοιχεία των συνόλων πολλαπλών και διαιρετών είναι στοιχεία του συνόλου ακέραιων αριθμών. Για να κατανοήσουμε τους πρωταρχικούς αριθμούς, είναι απαραίτητο να κατανοήσουμε την έννοια των διαχωριστών.
πολλαπλάσια ενός αριθμού
είναι ο και σι δύο γνωστοί ακέραιοι, ο αριθμός ο είναι πολλαπλάσιο του σι εάν και μόνο εάν υπάρχει ακέραιος κ έτσι ο = σι · κ. Έτσι, το σύνολο πολλαπλών σε οεπιτυγχάνεται πολλαπλασιάζονταςογια όλους τους αριθμούς, τα αποτελέσματα αυτών πολλαπλασιασμοί είναι τα πολλαπλάσια του ο.
Για παράδειγμα, ας απαριθμήσουμε τα πρώτα 12 πολλαπλάσια των 2. Για αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 2 με τους πρώτους 12 ακέραιους αριθμούς, ως εξής:
2 · 1 = 2
2 · 2 = 4
2 · 3 = 6
2 · 4 = 8
2 · 5 = 10
2 · 6 = 12
2 · 7 = 14
2 · 8 = 16
2 · 9 = 18
2 · 10 = 20
2 · 11 = 22
2 · 12 = 24
Επομένως, τα πολλαπλάσια των 2 είναι:
M (2) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24}
Σημειώστε ότι αναφέραμε μόνο τους πρώτους 12 αριθμούς, αλλά θα μπορούσαμε να είχαμε παραθέσει όσους χρειαζόταν, δεδομένου ότι η λίστα πολλαπλών δόθηκε πολλαπλασιάζοντας έναν αριθμό με όλους τους ακέραιους αριθμούς. Ετσι, το σετ πολλαπλών είναι άπειρο.
Για να ελέγξουμε αν ένας αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός άλλου, πρέπει να βρούμε έναν ακέραιο αριθμό έτσι ώστε ο πολλαπλασιασμός μεταξύ τους να έχει ως αποτέλεσμα τον πρώτο αριθμό. Δείτε τα παραδείγματα:
→ Ο αριθμός 49 είναι πολλαπλάσιο του 7, επειδή υπάρχει ακέραιος αριθμός, πολλαπλασιασμένος επί 7, με αποτέλεσμα το 49.
49 = 7 · 7
→ Ο αριθμός 324 είναι πολλαπλάσιο του 3, καθώς υπάρχει ακέραιος αριθμός, πολλαπλασιασμένος επί 3, με αποτέλεσμα 324.
324 = 3 · 108
→ Ο αριθμός 523 όχι είναι πολλαπλάσιο του 2 γιατί δεν υπάρχει ακέραιος το οποίο, πολλαπλασιασμένο επί 2, οδηγεί σε 523.
523 = 2 · ?
Διαβάστε επίσης: Ιδιότητες πολλαπλασιασμού που διευκολύνουν τον διανοητικό υπολογισμό
Πολλαπλάσια των 4
Όπως έχουμε δει, για να προσδιορίσουμε τα πολλαπλάσια του αριθμού 4, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμό 4 με ακέραιους αριθμούς. Ετσι:
4 · 1 = 4
4 · 2 = 8
4 · 3 = 12
4 · 4 = 16
4 · 5 = 20
4 · 6 = 24
4 · 7 = 28
4 · 8 = 32
4 · 9 = 36
4 · 10 = 40
4 · 11 = 44
4 · 12 = 48
...
Επομένως, τα πολλαπλάσια των 4 είναι:
Μ (4) = {4, 8, 12, 16, 20. 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, … }
Πολλαπλάσια των 5
Αναλογικά, έχουμε πολλαπλάσια των 5.
5 · 1 = 5
5 · 2 = 5
5 · 3 = 15
5 · 4 = 20
5 · 5 = 25
5 · 6 = 30
5 · 7 = 35
...
Ως εκ τούτου, τα πολλαπλάσια των 5 είναι: M (5) = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45,…}
ένας διαχωριστής αριθμών
είναι ο και σι δύο γνωστοί ακέραιοι, ας πούμε σι είναι διαχωριστικό του ο εάν ο αριθμός σι είναι πολλαπλάσιο του ο, αυτό είναι το διαίρεση ανάμεσα σι και ο είναι ακριβής (πρέπει να φύγει υπόλοιπο 0).
Δείτε μερικά παραδείγματα:
→ 22 είναι πολλαπλάσιο του 2, οπότε το 2 είναι διαιρέτης του 22.
→ 63 είναι πολλαπλάσιο του 3, έτσι το 3 είναι διαιρέτης του 63.
→ Το 121 δεν είναι πολλαπλάσιο του 10, οπότε το 10 δεν είναι διαιρέτης του 121.
Για να απαριθμήσουμε τους διαχωριστές ενός αριθμού, πρέπει να αναζητήσουμε τους αριθμούς που τον διαιρούν. Κοίτα:
- Αναφέρετε τα διαχωριστικά των 2, 3 και 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Σημειώστε ότι οι αριθμοί στη λίστα των διαχωριστών είναι πάντα διαιρούμενοι από τον εν λόγω αριθμό και αυτό η υψηλότερη τιμή που εμφανίζεται σε αυτήν τη λίστα είναι ο ίδιος ο αριθμός., αφού κανένας αριθμός μεγαλύτερος από αυτόν δεν μπορεί να διαιρεθεί από αυτό.
Για παράδειγμα, σε διαιρέτες των 30, η μεγαλύτερη τιμή σε αυτήν τη λίστα είναι το ίδιο το 30, καθώς κανένας αριθμός μεγαλύτερος από 30 δεν θα διαιρείται από αυτήν. Ετσι:
D (30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Μάθετε περισσότερα: Διασκεδαστικά γεγονότα σχετικά με τη διαίρεση των φυσικών αριθμών
Κυριότητα πολλαπλών και διαιρετών
Αυτές οι ιδιότητες σχετίζονται με διαίρεση μεταξύ δύο ακέραιων αριθμών. Σημειώστε ότι όταν ένας ακέραιος αριθμός είναι πολλαπλάσιος ενός άλλου, διαιρείται επίσης από αυτόν τον άλλο αριθμό.
Σκεψου το αλγόριθμος διαίρεσης ώστε να κατανοήσουμε καλύτερα τις ιδιότητες.
N = d · q + r, όπου τα q και r είναι ακέραιοι.
να θυμάστε ότι Ν λέγεται μερίσματος ·δ, για διαχωριστικό?q, για πηλίκο; και παρεμπιπτόντως.
→ Ιδιότητα 1: Η διαφορά μεταξύ του μερίσματος και του υπολοίπου (N - r) είναι πολλαπλάσιο του διαιρέτη ή ο αριθμός d είναι διαιρέτης του (N - r).
→ Ακίνητο 2: (N - r + d) είναι πολλαπλάσιο του d, δηλαδή ο αριθμός d είναι διαιρέτης του (N - r + d).
Δείτε το παράδειγμα:
- Κατά την εκτέλεση της διαίρεσης 525 με 8, λαμβάνουμε το πηλίκο q = 65 και το υπόλοιπο r = 5. Έτσι, έχουμε το μέρισμα N = 525 και τον διαιρέτη d = 8. Δείτε ότι οι ιδιότητες ικανοποιούνται επειδή (525 - 5 + 8) = 528 διαιρείται με 8 και:
528 = 8 · 66
πρώτοι αριθμοί
Εσείς πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν ως διαιρέτης στην καταχώρισή τους μόνο τον αριθμό 1 και τον ίδιο τον αριθμό. Για να ελέγξετε αν ένας αριθμός είναι πρωταρχικός ή όχι, μία από τις πιο ασήμαντες μεθόδους είναι να απαριθμήσετε τους διαχωριστές αυτού του αριθμού. Εάν εμφανιστούν αριθμοί άνω του 1 και ο εν λόγω αριθμός, δεν είναι πρώτος.
→ Ελέγξτε ποιοι είναι οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ 2 και 20. Για αυτό, ας απαριθμήσουμε τους διαχωριστές όλων αυτών των αριθμών μεταξύ 2 και 20.
D (2) = {1, 2}
D (3) = {1,3}
D (4) = {1, 2, 4}
D (5) = {1, 5}
D (6) = {1, 2, 3, 6}
D (7) = {1, 7}
D (8) = {1, 2, 4, 8}
D (9) = {1, 3, 9}
D (10) = {1, 2, 5, 10}
D (11) = {1, 11}
D (12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D (13) = {1, 13}
D (14) = {1, 2, 7, 14}
D (15) = {1, 3, 5, 15}
D (16) = {1, 2, 4, 16}
D (17) = {1, 17}
D (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
D (19) = {1, 19}
D (20) = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Έτσι, οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ 2 και 20 είναι:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 και 19}
Σημειώστε ότι το σετ προέρχεται από μερικά από τα πρώτα αστάρια, αυτή η λίστα συνεχίζεται. Σημειώστε ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός, τόσο πιο δύσκολο γίνεται να διαπιστώσετε αν είναι πρωταρχικό ή όχι.
Διαβάστε περισσότερα: Παράλογοι αριθμοί: αυτοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν σε κλάσματα
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - (UMC-SP) Ο αριθμός των στοιχείων στο σύνολο των πρώτων διαιρέσεων των 60 είναι:
α) 3
β) 4
γ) 5
δ) 10
Λύση
Εναλλακτική Α
Πρώτα θα απαριθμήσουμε τους διαιρέτες των 60 και μετά θα δούμε ποιοι είναι πρώτοι.
D (60) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}
Από αυτούς τους αριθμούς, έχουμε τους πρώτους:
{2, 3, 5}
Επομένως, ο αριθμός των πρώτων διαιρέσεων των 60 είναι 3.
Ερώτηση 2 - Γράψτε όλους τους φυσικούς αριθμούς λιγότερους από 100 και πολλαπλάσια των 15.
Λύση
Γνωρίζουμε ότι τα πολλαπλάσια των 15 είναι τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού του αριθμού 15 με όλους τους ακέραιους αριθμούς. Δεδομένου ότι η άσκηση ζητά να γράψει τους φυσικούς αριθμούς κάτω των 100 και οι οποίοι είναι πολλαπλάσιοι των 15, πρέπει πολλαπλασιάστε 15 με όλους τους αριθμούς μεγαλύτερους από το μηδέν, μέχρι να βρούμε το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο πριν από το 100, έτσι:
15 · 1 = 15
15 · 2 = 30
15 · 3 = 45
15 · 4 = 60
15 · 5 = 75
15 · 6 = 90
15 · 7 = 105
Επομένως, οι φυσικοί αριθμοί κάτω των 100 και τα πολλαπλάσια των 15 είναι:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}
ερώτηση 3 - Ποιο είναι το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο των 5 μεταξύ 100 και 1001;
Λύση
Για να προσδιορίσετε το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο των 5 μεταξύ 100 και 1001, απλώς προσδιορίστε το πρώτο πολλαπλάσιο των 5 πίσω προς τα εμπρός.
Το 1001 δεν είναι πολλαπλάσιο του 5, καθώς δεν υπάρχει ακέραιος αριθμός, πολλαπλασιασμένος επί 5, με αποτέλεσμα το 1001.
Το 1000 είναι πολλαπλάσιο του 5, δεδομένου ότι 1000 = 5 · 200.
Επομένως, το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο των 5, μεταξύ 100 και 1001, είναι 1000.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/multiplos-divisores.htm