Ορθολογισμός των παρονομαστών είναι η τεχνική που χρησιμοποιείται όταν κλάσμα έχει έναν παράλογο αριθμό στον παρονομαστή και θέλετε να βρείτε ένα δεύτερο κλάσμα ισοδύναμο με το πρώτο κλάσμα, αλλά το οποίο δεν έχει παράλογο αριθμό στον παρονομαστή του. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε μαθηματικές πράξεις για να ξαναγράψετε το κλάσμα έτσι ώστε να μην έχει μια ανακριβή ρίζα στον παρονομαστή του.
Διαβάστε επίσης: Πώς να λύσετε λειτουργίες με κλάσματα;
Πώς να εξορθολογίσουμε τους παρονομαστές;
Θα ξεκινήσουμε με την απλούστερη περίπτωση εξορθολογισμού των παρονομαστών και θα προχωρήσουμε στο πιο περίπλοκο, αλλά η ίδια η τεχνική είναι να αναζητήσει ισοδύναμο κλάσμα πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν βολικό αριθμό που επιτρέπει την εξάλειψη της ρίζας του παρονομαστή του κλάσματος. Δείτε πώς μπορείτε να το κάνετε αυτό σε διαφορετικές καταστάσεις παρακάτω.
Ο εξορθολογισμός όταν υπάρχει τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή
Υπάρχουν μερικά κλάσματα που μπορούν να αναπαρασταθούν παράλογοι αριθμοί στους παρονομαστές. Δείτε μερικά παραδείγματα:
Όταν ο παρονομαστής κλάσματος είναι παράλογος, χρησιμοποιούμε μερικές τεχνικές για να τον μετατρέψουμε σε έναν λογικό παρονομαστή, όπως ο εξορθολογισμός. όταν υπάρχει ένα τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή, μπορούμε να χωρίσουμε σε δύο περιπτώσεις. Το πρώτο είναι όταν το κλάσμα έχει μόνο μία ρίζα στη ρίζα του.
Παράδειγμα 1:
Για τον εξορθολογισμό αυτού του παρονομαστή, ας βρούμε το κλάσμα ισοδύναμο με αυτό, αλλά το οποίο δεν έχει παράλογο παρονομαστή. Για αυτό, ας πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό - σε αυτήν την περίπτωση, θα είναι ακριβώς ο παρονομαστής του κλάσματος, δηλαδή √3.
Στο πολλαπλασιασμός των κλασμάτων, πολλαπλασιάζουμε ευθεία. Γνωρίζουμε ότι 1 · √3 = √3. Στον παρονομαστή, έχουμε αυτό √3 · √3 = √9 = 3. Με αυτό, φτάνουμε στα εξής:
Ως εκ τούτου, έχουμε μια αναπαράσταση του κλάσματος του οποίου ο παρονομαστής δεν είναι παράλογος αριθμός.
Παράδειγμα 2:
Η δεύτερη περίπτωση είναι όταν υπάρχει προσθήκη ή διαφορά μεταξύ μιας ανακριβούς ρίζας.
Όταν υπάρχει διαφορά ή προσθήκη όρων στον παρονομαστή, ένας από αυτούς είναι η μη ακριβής ρίζα, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το σύζευγμα του παρονομαστή. Καλούμε το σύζευγμα του √2 - 1 το αντίστροφο του δεύτερου αριθμού, δηλαδή, √2 + 1.
Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό στον αριθμητή, πρέπει:
3(√2 + 1) = 3√2 +3
Ο παρονομαστής είναι το αξιοσημείωτο προϊόν γνωστός ως προϊόν του αθροίσματος για τη διαφορά. Το αποτέλεσμα είναι πάντα το τετράγωνο του πρώτου όρου μείον το τετράγωνο του δεύτερου όρου.
(√2 – 1)(√2 + 1) = √2² – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = √4 – 1²
(√2 – 1)(√2 + 1) = 2 – 1
(√2 – 1)(√2 + 1) = 1
Έτσι, εξορθολογίζοντας τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος, πρέπει:
Δείτε επίσης: Τρία κοινά λάθη στην απλοποίηση αλγεβρικού κλάσματος
Εξορθολογισμός όταν υπάρχει μια ρίζα ευρετηρίου μεγαλύτερη από 2
Τώρα κοιτάξτε μερικά παραδείγματα όταν υπάρχει στον παρονομαστή μια ρίζα δεικτών μεγαλύτερων από 2.
Δεδομένου ότι ο στόχος είναι να εξαλειφθεί ο ριζικός, ας πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή έτσι ώστε η ρίζα αυτού του παρονομαστή να μπορεί να ακυρωθεί.
Παράδειγμα 1:
Σε αυτήν την περίπτωση, για να εξαλείψουμε τον εκθέτη της ριζοσπαστικής, ας πολλαπλασιάστε με την κυβική ρίζα του 2² στον αριθμητή και τον παρονομαστή, έτσι ώστε να εμφανίζεται μέσα στη ρίζα 2³ και, επομένως, είναι δυνατόν να ακυρωθεί η κυβική ρίζα.
Εκτελώντας τον πολλαπλασιασμό, πρέπει:
Παράδειγμα 2:
Χρησιμοποιώντας τον ίδιο συλλογισμό, ας πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή και τον αριθμητή με έναν αριθμό που προκαλεί το δραστικότητα από τον παρονομαστή στο ευρετήριο, δηλαδή, ας πολλαπλασιάστε με την πέμπτη ρίζα των 3 κύβων έτσι ώστε να μπορείτε να ακυρώσετε τον παρονομαστή.
Διαβάστε επίσης: Πώς να απλοποιήσετε τα αλγεβρικά κλάσματα;
λύσεις ασκήσεις
ερώτηση 1 - Ο εξορθολογισμός του παρονομαστή του κλάσματος παρακάτω, βρίσκουμε:
Α) 1 + √3.
Β) 2 (1 + √3).
C) - 2 (1+ √3).
Δ) √3.
Ε) √3 –1.
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ.
Ερώτηση 2 - (IFCE 2017 - προσαρμοσμένο) Κατά προσέγγιση των τιμών √5 και √3 στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο, λαμβάνουμε 2,23 και 1,73, αντίστοιχα. Περίπου, η τιμή της ακόλουθης αριθμητικής έκφρασης στο δεύτερο δεκαδικό ψηφίο είναι:
Α) 1.98.
Β) 0,96.
Γ) 3.96.
Δ) 0,48.
Ε) 0,25.
Ανάλυση
Εναλλακτική Ε.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/racionalizacao-denominadores.htm
