Πίνακας αλήθειας είναι ένα λογικό όργανο που περιέχει όλες τις λογικές τιμές μιας σύνθετης πρότασης. Η κατασκευή ενός πίνακα αλήθειας για μια σύνθετη πρόταση περιλαμβάνει τις λογικές τιμές των απλών προτάσεων που τη συνθέτουν και τις λογικές πράξεις μεταξύ αυτών των προτάσεων.
Διαβάστε επίσης: Τελικά τι είναι η λογική;
Σύνοψη πίνακα αληθειών
Ο πίνακας αλήθειας είναι ένα όργανο που χρησιμοποιείται στη μαθηματική λογική για να τακτοποιήσει όλες τις λογικές τιμές μιας σύνθετης πρότασης.
Οι κύριες λογικές πράξεις του πίνακα αληθείας είναι η άρνηση (~), ο σύνδεσμος (˄), ο διαχωρισμός (˅), η υπό όρους (→) και η διπλή συνθήκη (↔).
Για την κατασκευή ενός πίνακα αλήθειας για μια σύνθετη πρόταση, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν οι πίνακες αλήθειας των θεμελιωδών λογικών πράξεων.
Ποιος είναι ο πίνακας αλήθειας;
Σκεφτείτε Π είναι q απλές προτάσεις, δηλαδή προτάσεις στις οποίες μπορεί να εκχωρηθεί μία από τις ακόλουθες λογικές τιμές: true (V) ή false (F). Μια σύνθετη πρόταση που σχηματίζεται μέσω πράξεων μεταξύ
Π είναι q είναι επίσης μια πρόταση που μπορεί να είναι σωστή ή ψευδής. Η λογική τιμή αυτής της σύνθετης πρότασης εξαρτάται από τις λογικές τιμές που έχουν εκχωρηθεί Π είναι q και η/τις πράξη/εις μεταξύ τους.Ο πίνακας αλήθειας είναι α πίνακας που παρουσιάζει όλες τις πιθανότητες λογικής τιμής για την σύνθετη πρόταση με βάση τις λογικές τιμές του Π είναι q.
Σε αυτό το κείμενο θα χρησιμοποιήσουμε το γράμμα V για να υποδείξουμε την αληθινή λογική τιμή μιας πρότασης και το γράμμα F για να δηλώσουμε την ψευδή λογική τιμή.
Κύρια συνδετικά στοιχεία του πίνακα αλήθειας
Λογικές συνδέσεις (ή τελεστές) είναι σύμβολα ή λέξεις που σχετίζονται με πράξεις που συνδέουν μια απλή πρόταση με μια άλλη απλή πρόταση για να παραχθεί μια σύνθετη πρόταση.
Υπάρχουν πέντε κύριες συνδέσεις, του οποίου η λειτουργία, το σύμβολο και η σημασία υποδεικνύονται στον παρακάτω πίνακα.
Λειτουργία |
Σύμβολο |
Εννοια |
Αρνηση |
~ |
όχι |
Σύνδεση |
˄ |
είναι |
Διαχώριση |
˅ |
ή |
Υποθετικός |
→ |
αν... έπειτα |
Με δύο όρους |
↔ |
αν και μόνο αν |
Πως να διαβαζεισ:
~ Π - "όχι Π”
Π ˄ q — “Π είναι q”
Π ˅ q — “Π ή q”
Π→q - "αν Π έπειτα q”
Π↔q — “Π αν και μόνο αν q”
Παρατήρηση: Το biconditional είναι το αποτέλεσμα της λειτουργίας υπό όρους και στις δύο κατευθύνσεις, δηλαδή Π↔q που σημαίνει Π→q είναι q→Π.
Πώς λειτουργεί ο πίνακας αλήθειας;
Η πρώτη γραμμή του πίνακα αλήθειας υποδεικνύει όλες τις προτάσεις των οποίων τις λογικές τιμές θέλουμε να αναλύσουμε, εκτός από τις αντίστοιχες πράξεις μεταξύ τους. Κάθε γραμμή του πίνακα αλήθειας παρουσιάζει τη σχέση μεταξύ των λογικών τιμών των προτάσεων στην πρώτη γραμμή.
Προκειμένου να κατασκευαστεί ένας πίνακας αλήθειας για οποιαδήποτε σύνθετη πρόταση, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τους πίνακες αλήθειας των θεμελιωδών πράξεων, που προκύπτουν από τις κύριες λογικές συνδέσεις. Ας δούμε ποιοι είναι αυτοί οι πίνακες αλήθειας, που λαμβάνονται με τους κανόνες του προτασιακού λογισμού.
Πίνακας αλήθειας άρνησης
Δίνεται μια απλή πρόταση Π, η λογική αξία της πρότασης ~ Π είναι το αντίθετο της λογικής τιμής του Π. Οπότε αν Π Είναι αλήθεια ~ Π είναι ψευδής? κι αν Π Είναι ψεύτικο ~ Π είναι αλήθεια.
Π |
~ σελ |
V |
φά |
φά |
V |
Συνδετικός πίνακας αλήθειας
Δεδομένων των προτάσεων Π είναι q, τη λογική αξία της πρότασης Π ˄ q ισχύει μόνο όταν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς.
Π |
q |
επειδή |
V |
V |
V |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
φά |
φά |
φά |
φά |
Πίνακας αλήθειας διαχωρισμού
Δεδομένων των προτάσεων Π είναι q, τη λογική αξία της πρότασης Π ˅ q είναι αληθής όταν τουλάχιστον μία από τις προτάσεις είναι αληθής.
Π |
q |
επειδή |
V |
V |
V |
V |
φά |
V |
φά |
V |
V |
φά |
φά |
φά |
Πίνακας αλήθειας υπό όρους
Δεδομένων των προτάσεων Π είναι q, τη λογική αξία της πρότασης Π→q είναι ψευδής όταν Π είναι αλήθεια και q είναι ψευδές και ισχύει σε άλλες περιπτώσεις.
Π |
q |
p →q |
V |
V |
V |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
V |
φά |
φά |
V |
Πίνακας αληθείας με δύο προϋποθέσεις
Δεδομένων των προτάσεων Π είναι q, τη λογική αξία της πρότασης Π↔q είναι αληθής μόνο όταν και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς ή και οι δύο είναι ψευδείς.
Π |
q |
Π ↔ q |
V |
V |
V |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
Κατασκευή του πίνακα αλήθειας
Με βάση τους πίνακες αλήθειας των θεμελιωδών πράξεων, μπορούμε να κατασκευάσουμε πίνακες αλήθειας για οποιαδήποτε σύνθετη πρόταση. Γι'αυτό πρέπει να εντοπίσουμε τις προτάσεις που εμπλέκονται και να εκτελέσουμε τις πράξεις σύμφωνα με τους πίνακες αλήθειας του προηγούμενου θέματος.
Παρατήρηση: Ο αριθμός των σειρών σε έναν πίνακα αλήθειας μιας σύνθετης πρότασης που σχηματίζεται από n απλές προτάσεις είναι 2n.
Παράδειγμα: Κατασκευάστε τον πίνακα αλήθειας της πρότασης ~ (Π ˄ q).
Θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα αλήθειας με τέσσερις στήλες: μία για την πρόταση Π, ένα για την πρόταση q, ένα για την πρόταση Π ˄ q, και το τελευταίο για την τελική πρόταση, που είναι ~ (Π ˄ q).
Π |
q |
επειδή |
~ (p ˄ q) |
Μπορούμε να συμπληρώσουμε τις τρεις πρώτες στήλες αυτού του πίνακα με πληροφορίες από τον πίνακα αλήθειας της πράξης σύνδεσης.
Π |
q |
επειδή |
~ (p ˄ q) |
V |
V |
V |
|
V |
φά |
φά |
|
φά |
V |
φά |
|
φά |
φά |
φά |
Τέλος, η τέταρτη στήλη είναι η άρνηση κάθε λογικής τιμής στην τρίτη στήλη.
Π |
q |
επειδή |
~ (p ˄ q) |
V |
V |
V |
φά |
V |
φά |
φά |
V |
φά |
V |
φά |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
Διαβάστε επίσης: Πώς λειτουργεί η λογική του Αριστοτέλη
Ασκήσεις πίνακα αλήθειας
ερώτηση 1
Δημιουργήστε τον πίνακα αλήθειας της πρότασης ~ (Π ˄ ~ q).
Ανάλυση
Θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα αλήθειας με πέντε στήλες: μία για την πρόταση Π, ένα για την πρόταση q, ένα για την πρόταση ~ q, ένα για την πρόταση Π ˄ ~ q, και το τελευταίο για την τελική πρόταση, ~ (Π ˄ ~ q).
Π |
q |
~ q |
p ˄ ~ q |
~ (p ˄ ~ q) |
Τώρα απλώς συμπληρώστε κάθε στήλη και εκτελέστε τις αντίστοιχες λειτουργίες:
Π |
q |
~ q |
p ˄ ~ q |
~ (p ˄ ~ q) |
V |
V |
φά |
φά |
V |
V |
φά |
V |
V |
φά |
φά |
V |
φά |
φά |
V |
φά |
φά |
V |
φά |
V |
Ερώτηση 2
Κατασκευάστε τον πίνακα αλήθειας της πρότασης ~ Π ˅ q → ~ q.
Ανάλυση
Θα χρησιμοποιήσουμε έναν πίνακα αλήθειας με έξι στήλες: μία για την πρόταση Π, ένα για την πρόταση q, ένα για την πρόταση ~ Π, ένα για την πρόταση ~ q, ένα για την πρόταση ~ Π ˅ q, και το τελευταίο για την τελική πρόταση, ~ Π ˅ q → ~ q.
Π |
q |
~ σελ |
~ q |
~ p˅ q |
~ p˅ q → ~ q |
Τώρα απλώς συμπληρώστε κάθε στήλη και εκτελέστε τις αντίστοιχες λειτουργίες:
Π |
q |
~ σελ |
~ q |
~ p˅ q |
~ p˅ q → ~ q |
V |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
V |
φά |
φά |
V |
φά |
V |
φά |
V |
V |
φά |
V |
φά |
φά |
φά |
V |
V |
φά |
V |
Πηγές
ALENCAR FILHO, E. σε. Εισαγωγή στη μαθηματική λογική. Σάο Πάολο: Νόμπελ, 2002.
VAZ, R. Μ. Τυποποίηση του λογικού συλλογισμού με βάση τη μαθηματική λογική. Διατριβή (Επαγγελματικό Μεταπτυχιακό στα Μαθηματικά) – Ομοσπονδιακό Πανεπιστήμιο Mato Grosso do Sul, Três Lagoas, 2014. Διαθέσιμο σε https://repositorio.ufms.br/handle/123456789/2333 .
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tabela-verdade.htm