Όγκος κολοβωμένου κώνου: πώς να υπολογίσετε;

Ο όγκος κόλουρου κώνου είναι ο χώρος που καταλαμβάνει αυτό το στρογγυλό σώμα. Επειδή η διατομή ενός κώνου ακτίνας R παράγει μικρότερο κώνο ακτίνας r και έναν κόλουρο κώνο, οι όγκοι αυτών των τριών στερεών συσχετίζονται.

Διαβάστε επίσης: Πώς να υπολογίσετε τον κορμό μιας πυραμίδας

Περίληψη για τον όγκο του κόλουρου κώνου

Ένας κώνος ακτίνας R κόβεται εγκάρσια σε ύψος H του επιπέδου βάσης χωρίζεται σε δύο γεωμετρικά στερεά: έναν κώνο ακτίνας r είναι ένας κώνος κορμού.
Τα κύρια στοιχεία του κόλουρου κώνου είναι το ύψος H, η μικρότερη βάση ακτίνας r και μεγαλύτερη βάση ακτίνας R.
Ο όγκος του κόλουρου κώνου είναι η διαφορά μεταξύ του όγκου του κώνου ακτίνας R και του όγκου του κώνου ακτίνας r.
Ο τύπος για τον όγκο του κόλουρου κώνου είναι:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

Μάθημα βίντεο για τον όγκο του κόλουρου κώνου

Ποια είναι τα στοιχεία του κόλουρου κώνου;

Τα στοιχεία ενός κόλουρου κώνου που σχηματίζεται από το τμήμα δεξιού κώνου ακτίνας R είναι:

δευτερεύουσα βάση – κύκλος ακτίνας r, που λαμβάνεται στην τομή του κώνου ακτίνας R .

instagram story viewer

μεγαλύτερη βάση – κυκλική βάση του κώνου ακτίνας R .
Ύψος (h) – απόσταση μεταξύ των επιπέδων των βάσεων.
Generatrix – τμήμα με άκρα στους κύκλους που οριοθετούν τις βάσεις.

ΕΝΑ Η παρακάτω εικόνα παρουσιάζει τα στοιχεία ενός κόλουρου κώνου. Σημειώστε ότι η ελάσσονα και η κύρια βάση είναι παράλληλες.

Φόρμουλα όγκου κορμού κώνου

Στη συνέχεια, ας συμπεράνουμε τον τύπο για τον όγκο ενός κόλου του ύψους H, μικρότερη ακτίνα βάσης r και ακτίνα της μεγαλύτερης βάσης R .

Θεωρήστε ότι η διατομή ενός κώνου ακτίνας R και ύψους H₁ παράγει δύο στερεά:

ένας κεραυνός r και ύψος h₂ είναι
ένας ψηλός κώνος κορμού H .

συνειδητοποιώ ότι \(H_1=H_2+h\).

Ο όγκος του κώνου ακτίνας R (που θα ονομάσουμε μεγαλύτερο κώνο) θα αντιπροσωπεύεται από το VR. τον όγκο του κώνου ακτίνας r (που θα ονομάσουμε μικρότερο κώνο), του Vr; και ο όγκος του κόλουρου κώνου κατά Vt. Επομένως:

\(V_R=V_r+V_t\)

Σημειώστε ότι:

\( V_R=\frac{1}{3} πR^2 H_1=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)\)
\( V_r=\frac{1}{3}1/3 πr^2 H_2\)

Παρατήρηση: Το VR και το Vr είναι όγκοι κώνων. Για να ελέγξετε αυτό το θέμα, κάντε κλικ εδώ.

Σαν αυτό:

\(V_R=V_r+V_t\)

\(\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)=1/3 πr^2 H_2+V_t\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 (H_2+h)-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} πR^2 H¬_2+1/3 πR^2 h-1/3 πr^2 H_2\)

\(V_t=\frac{1}{3} π(R^2 H_2+R^2 h-r^2 H_2 )\)

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

Ο όρος Η2 αντιστοιχεί στο ύψος του μικρότερου κώνου. Συσχετίζοντας τα ύψη των κώνων με τις αντίστοιχες ακτίνες των βάσεων, μπορούμε να λάβουμε έναν τύπο για τον όγκο του κορμού που εξαρτάται μόνο από τα στοιχεία του κορμού (R, r είναι H).

Συσχετίζοντας την ακτίνα και το ύψος του μεγαλύτερου κώνου (R και H₁ ) με την ακτίνα και το ύψος του μικρότερου κώνου (r και Χ₂), έχουμε την ακόλουθη αναλογία:

\(\frac{R}{H_1}=\frac{r}{H_2}\)

\(\frac{R}{H_2+h}=\frac{r}{H_2}\)

\(RH_2=rH_2+rh\)

\(H_2=\frac{rh}{R-r}\)

Σύντομα, μπορούμε να ξαναγράψουμε τον όγκο κορμού Vt ως εξής:

\(V_t=\frac{1}{3} π[R^2 h+(R^2-r^2 ) H_2 ]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2h+(R^2-r^2 ) \frac{rh}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R^2-r^2 ) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r)(R-r) \frac{r}{R-r}]\)

\(V_t=\frac{1}{3} πh[R^2+(R+r) r]\)

Σαν αυτό, Ο τύπος για τον όγκο του κόλουρου κώνου είναι:

\(V_t=\frac{1}{3}πh (R^2+r^2+Rr)\)

Διαβάστε επίσης: Τύποι όγκου διαφόρων γεωμετρικών στερεών

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο του κόλουρου κώνου;

Για να υπολογίσετε τον όγκο ενός κόλουρου κώνου, απλώς αντικαταστήστε τις μετρήσεις του ύψους, της ακτίνας της μικρότερης βάσης και της ακτίνας της μεγαλύτερης βάσης στον τύπο.

Παράδειγμα: Ποιος είναι ο όγκος, σε κυβικά εκατοστά, ενός κόλουρου κώνου στον οποίο η ακτίνα της μεγαλύτερης βάσης είναι R = 5 cm, η ακτίνα της μικρότερης βάσης είναι r = 3 και το ύψος είναι h = 2 cm? (Χρησιμοποιήστε π=3 )

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στον τύπο, έχουμε:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅2⋅(5^2+3^2+5⋅3)\)

\(V_t=2⋅(49)\)

\(V_t=98 cm³\)

Λυμένες ασκήσεις για τον όγκο του κόλουρου κώνου

ερώτηση 1

Ένα δοχείο έχει σχήμα κόλουρου κώνου με τη μεγαλύτερη ακτίνα βάσης R = 8 cm, τη μικρότερη ακτίνα βάσης r = 4 και το ύψος h = 2 εκ. Ο όγκος αυτού του δοχείου, σε cm³, είναι:

α) 48 pi

β) 64 pi

γ) 112 pi

δ) 448 pi

ε) 1344 pi

Ανάλυση

Αντικαθιστώντας τα δεδομένα στον τύπο, έχουμε:

\(V_t=\frac{1}{3}⋅π⋅12⋅(8^2+4^2+8⋅4)\)

\(V_t=4π⋅(112)\)

\(V_t=448 π\)

Εναλλακτική Δ

Ερώτηση 2

(Enem 2021) Ένα άτομο αγόρασε μια κούπα για να πιει σούπα, όπως φαίνεται στην εικόνα.

Είναι γνωστό ότι 1 cm³ = 1 mL και ότι η κορυφή της κούπας είναι ένας κύκλος με διάμετρο (D) μέτρησης 10 cm και η βάση είναι ένας κύκλος με διάμετρο (d) 8 cm.

Επιπλέον, είναι γνωστό ότι το ύψος (h) αυτής της κούπας είναι 12 cm (απόσταση μεταξύ του κέντρου του πάνω και του κάτω κύκλου).

Χρησιμοποιήστε το 3 ως προσέγγιση για το π.

Ποια είναι η ογκομετρική χωρητικότητα, σε χιλιοστόλιτρα, αυτής της κούπας;

α) 216

β) 408

γ) 732

δ) 2196

ε) 2928

Ανάλυση

Το σχήμα της κούπας είναι ένας κόλουρος κώνος στον οποίο η κορυφή είναι η μεγαλύτερη βάση. Επίσης, ο Ρ=5, r = 4 cm και H = 12. Σύντομα:

\(V_t=\frac{1}{3} πh (R^2+r^2+Rr)\)

\(V_t=\frac{1}{3}⋅3⋅12⋅(5^2+4^2+5⋅4)\)