Οι μεταθέσεις αποτελούν μέρος των προβλημάτων μέτρησης. Χρησιμοποιούμε μεταθέσεις για να γνωρίζουμε τον αριθμό των τάξεων των στοιχείων σε ένα σύνολο. Εξασκήστε τις γνώσεις σας σχετικά με τη μετάθεση και λύστε τις αμφιβολίες σας με τις λυμένες ασκήσεις.
Ασκηση 1
Δύο φίλοι έπαιζαν με ζάρια έξι όψεων. Είναι γνωστό ότι βγήκαν οι αριθμοί 4, 1, 2 και 5, όχι απαραίτητα με αυτή τη σειρά. Πόσες ακολουθίες αποτελεσμάτων θα μπορούσαν να υπάρξουν;
Απάντηση: 24
Κάποια σειρά των αποτελεσμάτων θα μπορούσε να είναι:
1, 2, 4 και 5 ή
5, 4, 5 και 1 ή
4, 5, 1 και 2
Για να προσδιορίσουμε τον συνολικό αριθμό των πιθανών παραγγελιών, υπολογίζουμε μια μετάθεση με τέσσερα διακριτά στοιχεία.
Άσκηση 2
Μια παρέα έξι φίλων πήγαν να δουν μια ταινία στον κινηματογράφο και αγόρασαν τα εισιτήριά τους για την ίδια σειρά θέσεων. Λαμβάνοντας υπόψη ότι υπάρχει ένα ζευγάρι και κάθισαν σε γειτονικές καρέκλες, με πόσους τρόπους θα μπορούσαν αυτοί οι φίλοι να χωρέσουν στη σειρά των καρεκλών;
Απάντηση: 240
Καθώς όλα τα στοιχεία του συνόλου "φίλων" λαμβάνονται υπόψη στον υπολογισμό, πρόκειται για πρόβλημα μετάθεσης.
Για να υπολογίσουμε τον συνολικό δυνατό αριθμό μεταθέσεων, λάβαμε υπόψη 5 στοιχεία, καθώς το ζευγάρι πρέπει να είναι πάντα μαζί.
Επιπλέον, από αυτές τις 120 πιθανότητες, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε επί δύο, καθώς το ζευγάρι μπορεί να ανταλλάξει θέσεις μεταξύ τους.
Έτσι, ο αριθμός των δυνατών τρόπων για να οργανωθούν οι φίλοι στη σειρά των καρεκλών είναι:
120. 2 = 240
Άσκηση 3
Μια τάξη 7 μαθητών παίζει στην αυλή εκμεταλλευόμενη το διάλειμμά της. Στο άκουσμα του σήματος που ενημερώνει την επιστροφή στις τάξεις, οι μαθητές κινούνται για να σχηματίσουν μια γραμμή. Με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούν οι μαθητές να σχηματίσουν την ακολουθία της ουράς;
Απάντηση: 5040
Ο συνολικός αριθμός των πιθανών τρόπων οργάνωσης της ουράς είναι μια μετάθεση 7 διακριτών στοιχείων.
Άσκηση 4
Ένας φωτογράφος προσαρμόζει τη φωτογραφική μηχανή του για να φωτογραφίσει 5 παιδιά τοποθετημένα σε ένα παγκάκι. Σε αυτή την ομάδα υπάρχουν 3 κορίτσια και 2 αγόρια. Μια πιθανή διάταξη των παιδιών για τη φωτογραφία θα ήταν:
Λαμβάνοντας υπόψη τις θέσεις στις οποίες τα παιδιά μπορούν να κάθονται στον πάγκο, με πόσους τρόπους μπορεί ο φωτογράφος να οργανώσει τα αγόρια και τα κορίτσια, αποκτώντας διαφορετικές φωτογραφίες;
Απάντηση: 10
Πρόκειται για περίπτωση μετάθεσης με επαναλαμβανόμενα στοιχεία. Πρέπει να διαιρέσουμε τον συνολικό αριθμό των μεταθέσεων με το γινόμενο μεταξύ των μεταθέσεων των στοιχείων που επαναλαμβάνονται.
Άσκηση 5
Πόσοι αναγραμματισμοί μπορούν να γίνουν με τα γράμματα της λέξης ΠΡΕΦΕΙΤΟΥΡΑ;
Απάντηση: 907 200
Η λέξη ΔΗΜΑΡΧΕΙΟ έχει 10 γράμματα, μερικά από τα οποία επαναλαμβάνονται. Το γράμμα Ε εμφανίζεται δύο φορές, όπως και το R.
Υπολογίζουμε τη διαίρεση μεταξύ της μετάθεσης 10 στοιχείων και διαιρούμε με το γινόμενο των μεταθέσεων επαναλαμβανόμενων στοιχείων.
Άσκηση 6
(UEMG 2019) Από το σύνολο όλων των μεταθέσεων των γραμμάτων στη λέξη PONTA, αφαιρείται μία τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να αφαιρεθεί μια λέξη που αρχίζει και τελειώνει με φωνήεν;
α) 1/20
β) 1/10
γ) 1/6
δ) 1/5
Βήμα 1: αριθμός όλων των μεταθέσεων με τα γράμματα της λέξης ΠΟΝΤΑ.
Καθώς υπάρχουν πέντε διαφορετικά γράμματα, έχουμε:
Βήμα 2: αριθμός μεταθέσεων που αρχίζουν και τελειώνουν με φωνήεν.
Για το πρώτο γράμμα υπάρχουν δύο επιλογές φωνήεντος, για το τελευταίο γράμμα θα υπάρχει μόνο 1.
Για τα σύμφωνα υπάρχουν 3! δυνατότητες.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Βήμα 3: προσδιορίστε τον λόγο πιθανότητας.
Άσκηση 7
(EsPCex 2012) Η πιθανότητα να ληφθεί ένας αριθμός διαιρούμενος με το 2 όταν επιλέγουμε τυχαία μία από τις μεταθέσεις των ψηφίων 1, 2, 3, 4, 5 είναι
α) 1/5
β) 2/5
γ) 3/4
δ) 1/4
ε) 1/2
Βήμα 1: συνολικές μεταθέσεις.
Καθώς υπάρχουν πέντε διακριτά στοιχεία, έχουμε ότι ο αριθμός των μεταθέσεων 5 στοιχείων είναι ίσος με 5 παραγοντικό.
Βήμα 2: μεταθέσεις αριθμών που διαιρούνται με δύο με τα πέντε ψηφία.
Για να διαιρείται με το 2 η προϋπόθεση είναι να είναι άρτιος. Έτσι, υπάρχουν δύο επιλογές για το τελευταίο ψηφίο, το 2 και το 4.
Για τις υπόλοιπες θέσεις υπάρχουν 4! δυνατότητες.
Βήμα 3: υπολογισμός πιθανότητας.
Άσκηση 8
(EsFCEx 2022) Έστω P το σύνολο των μεταθέσεων της ακολουθίας 1, 3, 6, 9, 12 για την οποία ο πρώτος όρος είναι διαφορετικός από τον 1. Εάν μια από αυτές τις ακολουθίες σχεδιάζεται τυχαία, η πιθανότητα ο δεύτερος όρος να είναι 3 ισούται με p/q, με p, q ∈ IN* και gcd (p, q) = 1. Επομένως, το q – p είναι ίσο με
α) 13.
β) 15.
γ) 12.
δ) 14.
ε) 11.
Βήμα 1: προσδιορίστε τον αριθμό των συνολικών πιθανών περιπτώσεων στο χώρο του δείγματος.
Από δεξιά προς τα αριστερά, ο πρώτος αριθμός δεν μπορεί να είναι ένας, οπότε υπάρχουν 4 δυνατότητες για να καταλάβεις την πρώτη θέση.
Υπάρχουν 4 για να καταλάβουν τις άλλες θέσεις! δυνατότητες.
Οι μεταθέσεις είναι:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Βήμα 2: προσδιορίστε τις πιθανότητες να συμβεί το συμβάν, το δεύτερο είναι τρία, το πρώτο είναι διαφορετικό από το ένα.
Οι μεταθέσεις είναι:
3.1.3.2.1 = 18
Βήμα 3: λόγος πιθανότητας.
Ο λόγος πιθανότητας είναι:
Με p = 18 και q = 96.
Ωστόσο, εξακολουθεί να υπάρχει η προϋπόθεση ότι ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης μεταξύ του p και του q είναι το 1, το οποίο δεν εμφανίζεται με το 18 και το 96.
Πρέπει να απλοποιήσουμε και να δοκιμάσουμε κλάσματα ισοδύναμα με 18/96.
Βήμα 4: απλοποίηση του κλάσματος πιθανότητας και προσδιορισμός των p και q.
Ως gcd (3, 16) = 1, p = 3 και q = 16.
Βήμα 5: συμπέρασμα.
q - p = 16 - 3 = 13
Μάθε περισσότερα για μετάθεση.
Για περισσότερες ασκήσεις, δείτε:
Ασκήσεις συνδυαστικής ανάλυσης
ΑΣΘ, Ραφαήλ. Ασκήσεις μετάθεσης λυμένες και επεξηγημένες.Όλα έχουν σημασία, [n.d.]. Διαθέσιμο σε: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Πρόσβαση σε:
Δείτε και εσείς
- Συνδυαστική Ανάλυση
- Ασκήσεις Συνδυαστικής Ανάλυσης
- Μετάθεση: απλή και με επανάληψη
- Τακτοποίηση στα μαθηματικά: τι είναι, πώς να υπολογίσετε, παραδείγματα
- 27 Ασκήσεις Βασικών Μαθηματικών
- Συνδυασμός στα μαθηματικά: τρόπος υπολογισμού και παραδείγματα
- Ασκήσεις πιθανοτήτων
- Πιθανότητα
