Μελετήστε με τις λυμένες ασκήσεις ημιτονοειδούς, συνημιτονοειδούς και εφαπτομένης. Εξασκηθείτε και ξεκαθαρίστε τις αμφιβολίες σας με τις ασκήσεις που σχολιάζετε.
ερώτηση 1
Να προσδιορίσετε τις τιμές των x και y στο παρακάτω τρίγωνο. Θεωρήστε αμαρτία 37º = 0,60, συνημίτονο 37º = 0,79 και μαύρισμα 37º = 0,75.
Απάντηση: y = 10,2 m και x = 13,43 m
Για να προσδιορίσουμε το y, χρησιμοποιούμε το ημίτονο των 37º, το οποίο είναι ο λόγος της αντίθετης πλευράς προς την υποτείνουσα. Αξίζει να θυμηθούμε ότι η υποτείνουσα είναι το τμήμα απέναντι από τη γωνία 90º, άρα αξίζει 17 m.
Για να προσδιορίσουμε το x, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το συνημίτονο των 37º, που είναι ο λόγος μεταξύ της πλευράς που γειτνιάζει με τη γωνία των 37º και της υποτείνουσας.
Ερώτηση 2
Στο παρακάτω ορθογώνιο τρίγωνο, προσδιορίστε την τιμή της γωνίας , σε μοίρες, και το ημίτονο, το συνημίτονο και την εφαπτομένη του.
Σκεφτείτε:
αμαρτία 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Απάντηση: ,
Σε ένα τρίγωνο το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών είναι ίσο με 180°. Όντας ορθογώνιο τρίγωνο, υπάρχει γωνία 90º, άρα απομένουν άλλες 90º για τις δύο γωνίες.
Με αυτόν τον τρόπο έχουμε:
Δεδομένου ότι αυτές οι γωνίες είναι συμπληρωματικές (από τη μία από αυτές, η άλλη είναι πόση απομένει για να συμπληρωθούν οι 90º), ισχύει ότι:
cos 62º = αμαρτία 28º = 0,47
και
sin 62º = cos 28º = 0,88
Υπολογισμός εφαπτομένης
Η εφαπτομένη είναι ο λόγος του ημιτόνου προς το συνημίτονο.
ερώτηση 3
Σε μια συγκεκριμένη ώρα μιας ηλιόλουστης ημέρας, η σκιά ενός σπιτιού προβάλλεται για 23 μέτρα. Αυτό το υπόλοιπο κάνει 45º σε σχέση με το έδαφος. Με αυτόν τον τρόπο, καθορίστε το ύψος του σπιτιού.
Απάντηση: Το ύψος του σπιτιού είναι 23 μ.
Για να προσδιορίσουμε ένα ύψος, γνωρίζοντας τη γωνία κλίσης, χρησιμοποιούμε την εφαπτομένη της γωνίας 45°.
Η εφαπτομένη 45° είναι ίση με 1.
Το σπίτι και η σκιά στο έδαφος είναι τα πόδια ενός ορθογωνίου τριγώνου.
Έτσι, το ύψος του σπιτιού είναι 23 μ.
ερώτηση 4
Ο τοπογράφος είναι ένας επαγγελματίας που χρησιμοποιεί μαθηματικές και γεωμετρικές γνώσεις για να λάβει μετρήσεις και να μελετήσει μια επιφάνεια. Χρησιμοποιώντας έναν θεοδόλιθο, ένα εργαλείο που, μεταξύ άλλων λειτουργιών, μετρά γωνίες, τοποθετημένο στα 37 μέτρα μακριά από ένα κτίριο, βρήκε μια γωνία 60° μεταξύ ενός επιπέδου παράλληλου προς το έδαφος και του ύψους του Κτίριο. Εάν ο θεοδόλιθος βρισκόταν σε τρίποδο 180 cm από το έδαφος, προσδιορίστε το ύψος του κτιρίου σε μέτρα.
σκεφτείτε
Απάντηση: Το ύψος του κτιρίου είναι 65,81 μ.
Κάνοντας ένα σκίτσο της κατάστασης έχουμε:
Έτσι, το ύψος του κτιρίου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη των 60º, από το ύψος που βρίσκεται ο θεοδόλιθος, προσθέτοντας το αποτέλεσμα με 180 cm ή, 1,8 m, όπως είναι το ύψος που είναι από το έδαφος.
Η εφαπτομένη 60° είναι ίση με .
Ύψος από τον θεοδόλιθο
Συνολικό ύψος
64,01 + 1,8 = 65,81 μ
Το ύψος του κτιρίου είναι 65,81μ.
ερώτηση 5
Προσδιορίστε την περίμετρο του πενταγώνου.
Σκεφτείτε:
αμαρτία 67° = 0,92
cos 67° = 0,39
μαύρισμα 67° = 2,35
Απάντηση: Η περίμετρος είναι 219,1 m.
Η περίμετρος είναι το άθροισμα των πλευρών του πενταγώνου. Καθώς υπάρχει ένα ορθογώνιο τμήμα διαστάσεων 80 m, η απέναντι πλευρά έχει επίσης μήκος 80 m.
Η περίμετρος δίνεται από:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Να εισαι Ο, Παράλληλα με την μπλε διακεκομμένη γραμμή, μπορούμε να προσδιορίσουμε το μήκος της χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη 67°.
Για να προσδιορίσουμε την τιμή του b, χρησιμοποιούμε το συνημίτονο των 67°
Άρα η περίμετρος είναι:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
ερώτηση 6
Βρείτε το ημίτονο και το συνημίτονο των 1110°.
Λαμβάνοντας υπόψη τον τριγωνομετρικό κύκλο έχουμε ότι μια πλήρης στροφή έχει 360°.
Όταν διαιρέσουμε την 1110° με 360°, παίρνουμε 3,0833.... Αυτό σημαίνει 3 γεμάτες στροφές και λίγο παραπάνω.
Λαμβάνοντας 360° x 3 = 1080° και αφαιρώντας από το 1110 έχουμε:
1110° - 1080° = 30°
Θεωρώντας την αριστερόστροφη φορά θετική, μετά από τρεις πλήρεις στροφές επιστρέφουμε στην αρχή, 1080° ή 0°. Από αυτό το σημείο προχωράμε άλλες 30°.
Άρα το ημίτονο και το συνημίτονο των 1110° είναι ίσα με το ημίτονο και το συνημίτονο των 30°
ερώτηση 7
(CEDERJ 2021) Μελετώντας για ένα τεστ τριγωνομετρίας, η Τζούλια έμαθε ότι αμαρτία² 72° ισούται με
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Η θεμελιώδης σχέση της τριγωνομετρίας λέει ότι:
Όπου x είναι η τιμή της γωνίας.
Λαμβάνοντας x = 72º και απομονώνοντας το ημίτονο, έχουμε:
ερώτηση 8
Οι ράμπες είναι ένας καλός τρόπος για να διασφαλιστεί η προσβασιμότητα για χρήστες αναπηρικών αμαξιδίων και άτομα με μειωμένη κινητικότητα. Η πρόσβαση σε κτίρια, έπιπλα, χώρους και αστικό εξοπλισμό είναι εγγυημένη από το νόμο.
Η Ένωση Τεχνικών Προτύπων της Βραζιλίας (ABNT), σύμφωνα με τον βραζιλιάνικο νόμο για την ένταξη ατόμων με αναπηρίας (13.146/2015), ρυθμίζει την κατασκευή και ορίζει την κλίση των ράμπων, καθώς και τους υπολογισμούς για αυτές. κατασκευή. Οι οδηγίες υπολογισμού ABNT υποδεικνύουν μέγιστο όριο κλίσης 8,33% (αναλογία 1:12). Αυτό σημαίνει ότι μια ράμπα, για να ξεπεραστεί μια διαφορά 1 m, πρέπει να έχει μήκος τουλάχιστον 12 m και αυτό ορίζει ότι η γωνία κλίσης της ράμπας, σε σχέση με το οριζόντιο επίπεδο, δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 7°.
Σύμφωνα με τις προηγούμενες πληροφορίες, έτσι ώστε μια ράμπα, με μήκος ίσο με 14 m και κλίση 7º σε σχέση με το επίπεδο, είναι εντός των προτύπων ABNT, πρέπει να χρησιμεύει για την υπέρβαση ενός κενού με μέγιστο ύψος
Χρήση: αμαρτία 7η = 0,12; cos 7º = 0,99 και μαύρισμα 7º = 0,12.
α) 1,2 μ.
β) 1,32 μ.
γ) 1,4 μ.
δ) 1,56 μ.
ε) 1,68 μ.
Η ράμπα σχηματίζει ένα ορθογώνιο τρίγωνο όπου το μήκος είναι 14 m, σχηματίζοντας γωνία 7º σε σχέση με την οριζόντια, όπου το ύψος είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία.
Χρησιμοποιώντας ημίτονο 7°:
Το ύψος που πρέπει να φτάσει η ράμπα είναι 1,68μ.
ερώτηση 9
(Unesp 2012) Κτίριο νοσοκομείου χτίζεται σε επικλινές έδαφος. Για τη βελτιστοποίηση της κατασκευής, ο υπεύθυνος αρχιτέκτονας σχεδίασε το χώρο στάθμευσης στο υπόγειο του κτιρίου, με είσοδο από τον πίσω δρόμο του οικοπέδου. Η υποδοχή του νοσοκομείου βρίσκεται 5 μέτρα πάνω από το επίπεδο του πάρκινγκ και απαιτεί την κατασκευή ράμπας ευθείας πρόσβασης για ασθενείς με κινητικές δυσκολίες. Το σχήμα αναπαριστά σχηματικά αυτή τη ράμπα (r), που συνδέει το σημείο Α, στον όροφο υποδοχής, με το σημείο Β, στον όροφο στάθμευσης, που πρέπει να έχει ελάχιστη κλίση α 30º και μέγιστη 45º.
Υπό αυτές τις συνθήκες και λαμβάνοντας υπόψη , ποιες θα πρέπει να είναι οι μέγιστες και οι ελάχιστες τιμές, σε μέτρα, του μήκους αυτής της ράμπας πρόσβασης;
Απάντηση: Το μήκος της ράμπας πρόσβασης θα είναι 7 m ελάχιστο και 10 m μέγιστο.
Το έργο ήδη προβλέπει και ορίζει το ύψος στα 5 μ. Πρέπει να υπολογίσουμε το μήκος της ράμπας, που είναι η υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου, για τις γωνίες των 30° και 45°.
Για τον υπολογισμό, χρησιμοποιήσαμε το ημίτονο της γωνίας, που είναι ο λόγος μεταξύ της απέναντι πλευράς, 5m, και της υποτείνουσας r, που είναι το μήκος της ράμπας.
Για τις αξιοσημείωτες γωνίες 30° και 45° οι ημιτονοειδείς τιμές είναι:
για 30°
έως 45°
εξορθολογίζοντας
Αντικαθιστώντας την τιμή του
ερώτηση 10
(EPCAR 2020) Τη νύχτα, ένα ελικόπτερο της βραζιλιάνικης Πολεμικής Αεροπορίας πετά πάνω από μια επίπεδη περιοχή και εντοπίζει ένα UAV (αεροπορικό όχημα Μη επανδρωμένο) κυκλικού σχήματος και αμελητέου ύψους, με ακτίνα 3 m σταθμευμένο παράλληλα με το έδαφος στα 30 m από ύψος.
Το UAV βρίσκεται σε απόσταση y μέτρων από έναν προβολέα που έχει τοποθετηθεί στο ελικόπτερο.
Η δέσμη φωτός από τον προβολέα που περνά από το UAV πέφτει στην επίπεδη περιοχή και παράγει μια κυκλική σκιά με κέντρο O και ακτίνα R.
Η ακτίνα R της περιφέρειας της σκιάς σχηματίζει γωνία 60º με τη δέσμη φωτός, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Εκείνη τη στιγμή, ένα άτομο που βρίσκεται στο σημείο Α στην περιφέρεια της σκιάς τρέχει στο σημείο Ο, πόδι από την κάθετο που τραβιέται από τον προβολέα στην επίπεδη περιοχή.
Η απόσταση, σε μέτρα, που διανύει αυτό το άτομο από το Α στο Ο είναι ένας αριθμός μεταξύ
α) 18 και 19
β) 19 και 20
γ) 20 και 21
δ) 22 και 23
σκοπός
Προσδιορίστε το μήκος του τμήματος , ακτίνα του κύκλου της σκιάς.
Δεδομένα
- Το ύψος από το O έως το UAV είναι 30 m.
- Η ακτίνα του UAV είναι 3 m.
Χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη 60° προσδιορίζουμε το τμήμα που επισημαίνεται με κόκκινο στην παρακάτω εικόνα:
Θεωρώντας την εφαπτομένη των 60° = και η εφαπτομένη είναι η αναλογία μεταξύ της απέναντι πλευράς της γωνίας και της διπλανής πλευράς της, έχουμε:
εξορθολογίζοντας
Το μήκος ΑΟ είναι
πλησιάζοντας την τιμή του
Η κατά προσέγγιση μέτρηση του τμήματος AO είναι 20,3 m, δηλαδή μια τιμή μεταξύ 20 και 21.
Επίσης μελετήστε με:
- Ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη
- Ασκήσεις τριγωνομετρίας στο ορθογώνιο τρίγωνο
- Ασκήσεις Τριγωνομετρίας
- Τριγωνομετρία στο ορθογώνιο τρίγωνο
- Τριγωνομετρία
- τριγωνομετρικές ταυτότητες
- Ασκήσεις τριγωνομετρικών αναλογιών
- Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο
- Τριγωνομετρικές Σχέσεις
- γωνίες
- Τριγωνομετρικοί λόγοι
- τριγωνομετρικός πίνακας
- Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
- Τριγωνομετρικός Κύκλος
- Νόμος των Ημιτονίων
- Νόμος των συνημιτόνων
