ΕΝΑ αριθμητική ακολουθία είναι ένα σύνολο αριθμών οργανωμένων με τακτοποιημένο τρόπο. Η αριθμητική ακολουθία μπορεί να συναρμολογηθεί χρησιμοποιώντας διαφορετικά κριτήρια — για παράδειγμα, την ακολουθία ζυγών αριθμών ή την ακολουθία πολλαπλάσιων του 3. Όταν μπορούμε να περιγράψουμε αυτό το κριτήριο με έναν τύπο, ονομάζουμε αυτόν τον τύπο νόμο σχηματισμού της αριθμητικής ακολουθίας.
Διαβάστε επίσης: Διαφορές μεταξύ αριθμού, αριθμού και ψηφίου
Περίληψη σχετικά με την αριθμητική ακολουθία
Η ακολουθία αριθμών είναι μια λίστα αριθμών που είναι διατεταγμένοι με τη σειρά.
Η αριθμητική ακολουθία μπορεί να ακολουθεί διαφορετικά κριτήρια.
Ο νόμος εμφάνισης της αριθμητικής ακολουθίας είναι ο κατάλογος των στοιχείων που υπάρχουν στην ακολουθία.
Η σειρά μπορεί να ταξινομηθεί με δύο τρόπους. Το ένα λαμβάνει υπόψη τον αριθμό των στοιχείων και το άλλο λαμβάνει υπόψη τη συμπεριφορά.
Όσον αφορά τον αριθμό των στοιχείων, η ακολουθία μπορεί να είναι πεπερασμένη ή άπειρη.
Όσον αφορά τη συμπεριφορά, η ακολουθία μπορεί να είναι αύξουσα, σταθερή, φθίνουσα ή ταλαντούμενη.
Όταν η αριθμητική ακολουθία μπορεί να περιγραφεί με μια εξίσωση, αυτή η εξίσωση είναι γνωστή ως ο νόμος σχηματισμού της αριθμητικής ακολουθίας.
Τι είναι οι ακολουθίες;
Οι ακολουθίες είναι σύνολα στοιχείων τακτοποιημένα με συγκεκριμένη σειρά. Στην καθημερινή μας ζωή, μπορούμε να αντιληφθούμε διάφορες καταστάσεις που περιλαμβάνουν αλληλουχίες:
Ακολουθία μηνών: Ιανουάριος, Φεβρουάριος, Μάρτιος, Απρίλιος,..., Δεκέμβριος.
Ακολουθία ετών των 5 πρώτων Παγκοσμίων Κυπέλλων του 21ου αιώνα: 2002, 2006, 2010, 2014, 2018.
Υπάρχουν πολλές άλλες πιθανές ακολουθίες, όπως η ακολουθία ονομάτων ή η ακολουθία ηλικίας. Όποτε υπάρχει μια καθιερωμένη σειρά, υπάρχει μια σειρά.
Κάθε στοιχείο μιας ακολουθίας είναι γνωστό ως όρος της ακολουθίας, επομένως σε μια ακολουθία υπάρχει ο πρώτος όρος, ο δεύτερος όρος και ούτω καθεξής. Γενικά, μια ακολουθία μπορεί να αναπαρασταθεί με:
\((a_1,a_2,a_3,…,a_n )\)
\(έως 1\) → ο πρώτος όρος.
\(Α2\) → ο δεύτερος όρος.
\(a_3\) → ο τρίτος όρος.
\(ένα\) → οποιοσδήποτε όρος.
Νόμος εμφάνισης της αριθμητικής ακολουθίας
Μπορούμε να έχουμε ακολουθίες από διάφορα στοιχεία, όπως μήνες, ονόματα, ημέρες της εβδομάδας, μεταξύ άλλων. ΕΝΑη ακολουθία είναι μια αριθμητική ακολουθία όταν περιλαμβάνει αριθμούς. Μπορούμε να σχηματίσουμε την ακολουθία ζυγών αριθμών, περιττών αριθμών, πρώτοι αριθμοί, πολλαπλάσια του 5 κ.λπ.
Η ακολουθία αναπαρίσταται χρησιμοποιώντας έναν νόμο περί εμφάνισης. Ο νόμος της εμφάνισης δεν είναι τίποτα άλλο από τον κατάλογο των στοιχείων της αριθμητικής ακολουθίας.
Παραδείγματα:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15) → ακολουθία περιττών αριθμών από το 1 έως το 15.
(0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...) → ακολουθία αριθμών που είναι πολλαπλάσια του 5.
(-1, 1, -1, 1, -1, 1) → εναλλασσόμενη ακολουθία μεταξύ 1 και -1.
Ποια είναι η ταξινόμηση της αριθμητικής ακολουθίας;
Μπορούμε να ταξινομήσουμε τις ακολουθίες με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ένα από αυτά λαμβάνει υπόψη τον αριθμό των στοιχείων και το άλλο λαμβάνει υπόψη τη συμπεριφορά αυτών των στοιχείων.
→ Ταξινόμηση της αριθμητικής ακολουθίας σύμφωνα με τον αριθμό των στοιχείων
Όταν ταξινομούμε την ακολουθία σύμφωνα με τον αριθμό των στοιχείων, υπάρχουν δύο πιθανές ταξινομήσεις: η πεπερασμένη ακολουθία και η άπειρη ακολουθία.
◦ Ακολουθία πεπερασμένων αριθμών
Μια ακολουθία είναι πεπερασμένη αν έχει περιορισμένο αριθμό στοιχείων.
Παραδείγματα:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
(0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0)
(-4, -6, -8, -10, -12)
◦ Απεριόριστη ακολουθία αριθμών
Μια ακολουθία είναι άπειρη αν έχει απεριόριστο αριθμό στοιχείων.
Παραδείγματα:
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...)
(3, 0, -3, -6, -9, -12, ...)
( -1, 2, -4, 8, -16, ...)
→ Ταξινόμηση της αριθμητικής ακολουθίας ανάλογα με τη συμπεριφορά της ακολουθίας
Ο άλλος τρόπος ταξινόμησης είναι η συμπεριφορά ακολουθίας. Σε αυτή την περίπτωση, η ακολουθία μπορεί να είναι αύξουσα, σταθερή, ταλαντούμενη ή φθίνουσα.
◦ Αύξουσα σειρά αριθμών
Η ακολουθία αυξάνεται εάν ένας όρος είναι πάντα μεγαλύτερος από τον προκάτοχό του.
Παραδείγματα:
(1, 5, 9, 13, 17, ...)
(10, 11, 12, 13, 14, 15, ...)
◦ Ακολουθία σταθερών αριθμών
Η ακολουθία είναι σταθερή όταν όλοι οι όροι έχουν την ίδια τιμή.
Παραδείγματα:
(1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...)
(-1, -1, -1, -1, -1, ...)
◦ Φθίνουσα ακολουθία αριθμών
Η ακολουθία είναι φθίνουσα εάν οι όροι στην ακολουθία είναι πάντα μικρότεροι από τους προκατόχους τους.
Παραδείγματα:
(-1, -2, -3, -4, -5, ...)
(19, 16, 13, 10, 8, ...)
◦ Ταλαντούμενη ακολουθία αριθμών
Η ακολουθία είναι ταλαντούμενη εάν υπάρχουν όροι μεγαλύτεροι από τους προκατόχους τους και όροι μικρότεροι από τους προκατόχους τους εναλλάξ.
Παραδείγματα:
(1, -3, 9, -27, 81, ...)
(1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ...)
Νόμος σχηματισμού της αριθμητικής ακολουθίας
Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι δυνατό να περιγραφεί η ακολουθία χρησιμοποιώντας έναν τύπο, ωστόσο αυτό δεν είναι πάντα δυνατό. Για παράδειγμα, η ακολουθία των πρώτων αριθμών είναι μια καλά καθορισμένη ακολουθία, ωστόσο δεν μπορούμε να την περιγράψουμε χρησιμοποιώντας έναν τύπο. Γνωρίζοντας τον τύπο, καταφέραμε να κατασκευάσουμε τον νόμο εμφάνισης της αριθμητικής ακολουθίας.
Παράδειγμα 1:
Ακολουθία ζυγών αριθμών μεγαλύτερων του μηδενός.
\(a_n=2n\)
Σημειώστε ότι κατά την αντικατάσταση n για ενα φυσικός αριθμός (1, 2, 3, 4, ...), θα βρούμε έναν ζυγό αριθμό:
\(a_1=2⋅1=2\)
\(a_2=2⋅2=4\)
\(a_3=2⋅3=6\)
\(a_4=2⋅4=8\)
Έτσι, έχουμε έναν τύπο που δημιουργεί τους όρους της ακολουθίας που σχηματίζεται από ζυγούς αριθμούς μεγαλύτερους από το μηδέν:
(2, 4, 6, 8, ...)
Παράδειγμα 2:
Ακολουθία φυσικών αριθμών μεγαλύτερου του 4.
\(a_n=4+n\)
Υπολογίζοντας τους όρους της ακολουθίας, έχουμε:
\(a_1=4+1=5\)
\(a_2=4+2=6\)
\(a_3=4+3=7\)
\(a_4=4+4=8\)
Γράψιμο του νόμου της εμφάνισης:
(5, 6, 7, 8,…)
Δείτε επίσης: Αριθμητική πρόοδος — ειδική περίπτωση αριθμητικής ακολουθίας
Λυμένες ασκήσεις αριθμητικής ακολουθίας
ερώτηση 1
Μια αριθμητική ακολουθία έχει νόμο σχηματισμού ίσο με \(a_n=n^2+1\). Αναλύοντας αυτήν την ακολουθία, μπορούμε να δηλώσουμε ότι η τιμή του 5ου όρου της ακολουθίας θα είναι:
Α) 6
Β) 10
Γ) 11
Δ) 25
Ε) 26
Ανάλυση:
Εναλλακτική Ε
Υπολογίζοντας την τιμή του 5ου όρου της ακολουθίας, έχουμε:
\(a_5=5^2+1\)
\(a_5=25+1\)
\(a_5=26\)
Ερώτηση 2
Αναλύστε τις ακόλουθες αριθμητικές ακολουθίες:
ΕΓΩ. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Μπορούμε να δηλώσουμε ότι οι αλληλουχίες I, II και III ταξινομούνται αντίστοιχα ως:
Α) αυξανόμενη, ταλαντούμενη και φθίνουσα.
Β) φθίνουσα, αύξηση και ταλάντωση.
Γ) ταλαντευόμενο, σταθερό και αυξανόμενο.
Δ) φθίνουσα, ταλαντούμενη και σταθερή.
Ε) ταλαντούμενο, μειούμενο και αυξανόμενο.
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Αναλύοντας τις ακολουθίες μπορούμε να πούμε ότι:
ΕΓΩ. (1, -2, 3, -4, 5, -6, ...)
Είναι ταλαντευόμενο, καθώς υπάρχουν όροι που είναι μεγαλύτεροι από τους προκατόχους τους και όροι που είναι μικρότεροι από τους προκατόχους τους.
II. (13, 13, 13, 13, 13, ...)
Είναι σταθερό, καθώς οι όροι της ακολουθίας είναι πάντα οι ίδιοι.
III. (1, 2, 3, 4, 5, 6, ...)
Αυξάνεται, καθώς οι όροι είναι πάντα μεγαλύτεροι από τους προκατόχους τους.
