Μια εξίσωση είναι εκθετική όταν η άγνωστη (άγνωστη τιμή) βρίσκεται στον εκθέτη μιας δύναμης. Έτσι, μια μαθηματική πρόταση που περιλαμβάνει ισότητα μεταξύ δύο όρων, όπου ο άγνωστος εμφανίζεται σε τουλάχιστον έναν εκθέτη, ονομάζεται εκθετική εξίσωση.
Μια ισχύς είναι το αποτέλεσμα του γινόμενου της βάσης της από μόνη της, όσες φορές προσδιορίζεται από τον εκθέτη.
Σε μια εκθετική εξίσωση προσδιορίζουμε πόσοι παράγοντες πολλαπλασιάζονται, δηλαδή πόσες φορές πολλαπλασιάζεται η βάση, ώστε να προκύψει ένα συγκεκριμένο αποτέλεσμα.
Ορισμός της εκθετικής εξίσωσης:
Οπου:
Το b είναι η βάση.
x είναι ο εκθέτης (άγνωστος).
α είναι η δύναμη.
Σε τι είναι
.
Παράδειγμα εκθετικής εξίσωσης:
Η άγνωστη μεταβλητή βρίσκεται στον εκθέτη. Πρέπει να καθορίσουμε πόσες φορές θα πολλαπλασιαστεί το 2 για να προκύψει το 8. Όπως 2. 2. 2 = 8, x = 3, καθώς το 2 πρέπει να πολλαπλασιαστεί τρεις φορές για να ληφθεί το 8 ως αποτέλεσμα.
Πώς να λύσετε εκθετικές εξισώσεις
Οι εκθετικές εξισώσεις μπορούν να γραφτούν με διάφορους τρόπους και για να τις λύσουμε, θα χρησιμοποιήσουμε ίσες δυνάμεις με ίσες βάσεις, οι οποίες πρέπει επίσης να έχουν τους ίδιους εκθέτες.
Καθώς η εκθετική συνάρτηση είναι ενέσιμη, έχουμε:
Αυτό σημαίνει ότι δύο δυνάμεις με την ίδια βάση θα είναι ίσες αν και μόνο αν οι εκθέτες τους είναι επίσης ίσοι.
Έτσι, μια στρατηγική για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων είναι εξισώνουν τις βάσεις των δυνάμεων. Μόλις οι βάσεις είναι ίδιες, μπορούμε να τις εξαλείψουμε και να συγκρίνουμε τους εκθέτες.
Για να εξισώσουμε τις βάσεις των δυνάμεων σε μια εκθετική εξίσωση, χρησιμοποιούμε μαθηματικά εργαλεία όπως παραγοντοποίηση και ιδιότητες ενίσχυσης.
Παραδείγματα επίλυσης εκθετικών εξισώσεων
Παράδειγμα 1
Είναι μια εκθετική εξίσωση, καθώς η πρόταση περιλαμβάνει μια ισότητα (εξίσωση) και η άγνωστη μεταβλητή x βρίσκεται στον εκθέτη (εκθετική).
Για να προσδιορίσουμε την τιμή του αγνώστου x, εξισώνουμε τις βάσεις των δυνάμεων, χρησιμοποιώντας την παραγοντοποίηση του 64.
64 = 2. 2. 2. 2. 2. 2 ή
Αντικατάσταση στην εξίσωση:
Αγνοούμε τις βάσεις, αφήνοντας μόνο ισότητα μεταξύ των εκθετών.
x = 6
Έτσι, x = 6 είναι το αποτέλεσμα της εξίσωσης.
Παράδειγμα 2
Εξισώνουμε τις βάσεις χρησιμοποιώντας παραγοντοποίηση.
- 9 = 3. 3 =
- 81 = 3. 3. 3. 3 =
Αντικατάσταση στην εξίσωση:
Χρησιμοποιώντας την ιδιότητα ισχύος μιας δύναμης, πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες στην αριστερή πλευρά.
Με τις βάσεις ίσες, μπορούμε να τις απορρίψουμε και να εξισώσουμε τους εκθέτες.
Έτσι, x = 1 είναι το αποτέλεσμα της εξίσωσης.
Παράδειγμα 3
Μετασχηματίζουμε τη βάση 0,75 σε εκατοστιαίο κλάσμα.
Απλοποιούμε το εκατονταβάθμιο κλάσμα.
Συντελεστές 9 και 16.
Εξισώνοντας τις βάσεις, έχουμε x = 2.
x = 2
Παράδειγμα 4
Μεταμορφώνουμε τη ρίζα σε δύναμη.
Συνυπολογίζουμε τις βάσεις ισχύος.
Πολλαπλασιάζοντας τους εκθέτες, ισοδυναμούμε με τις βάσεις.
Επομένως, πρέπει:
Παράδειγμα 5
Factoring 25
Ξαναγράφουμε τη δύναμη του 5² στο x. Αλλαγή της σειράς των εκθετών.
Χρησιμοποιούμε μια βοηθητική μεταβλητή, την οποία θα ονομάσουμε y.
(κρατήστε αυτή την εξίσωση, θα τη χρησιμοποιήσουμε αργότερα).
Αντικατάσταση στην προηγούμενη εξίσωση.
Λύνοντας την τετραγωνική εξίσωση, έχουμε:
Το σύνολο λύσεων για την τετραγωνική εξίσωση είναι {1, 5}, ωστόσο, αυτή δεν είναι η λύση της εκθετικής εξίσωσης. Πρέπει να επιστρέψουμε στη μεταβλητή x, χρησιμοποιώντας
Για y = 1:
Για y = 5:
Το σύνολο λύσεων για την εκθετική εξίσωση είναι S={0, 1}.
Μάθετε περισσότερα για τις εξουσίες:
- Ενίσχυση
- Ενίσχυση: τρόπος υπολογισμού, παραδείγματα και ασκήσεις
- Εκθετικη συναρτηση
Για ασκήσεις:
- 17 ασκήσεις ενδυνάμωσης με σχολιασμένο πρότυπο
- Ασκήσεις εκθετικής συνάρτησης (λυμένες και σχολιασμένες)
ΑΣΘ, Ραφαήλ. Εκθετική εξίσωση.Όλα έχουν σημασία, [ν.δ.]. Διαθέσιμο σε: https://www.todamateria.com.br/equacao-exponencial/. Πρόσβαση σε:
Δείτε και εσείς
- 27 Ασκήσεις Βασικών Μαθηματικών
- 17 ασκήσεις ενδυνάμωσης με σχολιασμένο πρότυπο
- Ασκήσεις ακτινοβολίας
- Εξίσωση δεύτερου βαθμού
- Εκθετική συνάρτηση - Ασκήσεις
- Προγραμματισμός Γραμμικών Συστημάτων
- Απλός και σύνθετος τόκος
- 11 ασκήσεις για τον πολλαπλασιασμό μήτρας
