Στο πράξεις με σετ είναι ένωση, τομή και διαφορά. Το αποτέλεσμα καθεμιάς από αυτές τις λειτουργίες είναι ένα νέο σύνολο. Για να υποδείξουμε την ένωση μεταξύ των συνόλων, χρησιμοποιούμε το σύμβολο ∪; για τη διασταύρωση, το σύμβολο ∩; και για τη διαφορά, το σύμβολο του αφαίρεση\(-\). Σε περίπτωση διαφοράς, είναι απαραίτητο να τηρηθεί η σειρά με την οποία θα πραγματοποιηθεί η επέμβαση. Με άλλα λόγια, εάν το Α και το Β είναι σύνολα, τότε η διαφορά μεταξύ Α και Β είναι διαφορετική από τη διαφορά μεταξύ Β και Α.
Διαβάστε επίσης: Διάγραμμα Venn — γεωμετρική αναπαράσταση συνόλων και πράξεων μεταξύ τους
Περίληψη πράξεων με σετ
Οι πράξεις με σύνολα είναι: ένωση, τομή και διαφορά.
Η ένωση (ή συνάντηση) των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο A ∪ B, που σχηματίζεται από τα στοιχεία που ανήκουν στο Α ή ανήκουν στο Β.
\(A∪B=\{x; x∈A\ ή\ x∈B\}\)
Η τομή των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο Α ∩ Β, που σχηματίζεται από τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και ανήκουν στο Β.
\(A∩B=\{x; x∈A\ και\ x∈B\}\)
Η διαφορά μεταξύ των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο Α – Β, που σχηματίζεται από τα στοιχεία που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β.
\(A -B =\{x; x∈A\ e\ x ∉B\}\)
Εάν το U (γνωστό ως σύνολο σύμπαντος) είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα σε ένα δεδομένο πλαίσιο, τότε η διαφορά U – A, με A ⊂ U, ονομάζεται συμπλήρωμα του A. Το συμπλήρωμα του Α σχηματίζεται από στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α και αντιπροσωπεύεται από ΕΝΑw.
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Βίντεο μάθημα για πράξεις με σετ
Ποιες είναι οι τρεις πράξεις με σύνολα;
Οι τρεις επεμβάσεις με σετ είναι: ένωση, τομή και διαφορά.
Ένωση συνόλων
Η ένωση (ή συνάντηση) των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο A ∪ B (διαβάστε «Η ένωση Β»). Αυτό το σύνολο αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α ή ανήκουν στο σύνολο Β, δηλαδή το στοιχεία που ανήκουν σε τουλάχιστον ένα από τα σύνολα.
Αντιπροσωπεύοντας τα στοιχεία του A ∪ B με x, γράφουμε
\(A∪B=\{x; x∈A\ ή\ x∈B\}\)
Στην παρακάτω εικόνα, η πορτοκαλί περιοχή είναι το σειρά ΕΝΑ ∪Β.
Φαίνεται δύσκολο; Ας δούμε δύο παραδείγματα!
Παράδειγμα 1:
Τι είναι το σύνολο A ∪ B, αν A = {7, 8} και B = {12, 15};
Το σύνολο A ∪ B σχηματίζεται από τα στοιχεία που ανήκουν στο A ή ανήκουν στο Β. Εφόσον τα στοιχεία 7 και 8 ανήκουν στο σύνολο A, τότε και τα δύο πρέπει να ανήκουν στο σύνολο A ∪ B. Επιπλέον, καθώς τα στοιχεία 12 και 15 ανήκουν στο σύνολο Β, τότε και τα δύο πρέπει να ανήκουν στο σύνολο A ∪ B.
Επομένως,
A ∪ B={7, 8, 12, 15}
Σημειώστε ότι καθένα από τα στοιχεία του A∪B ανήκει είτε στο σύνολο Α είτε στο σύνολο Β.
Παράδειγμα 2:
Θεωρήστε τα σύνολα A = {2, 5, 9} και B = {1, 9}. Τι είναι το σύνολο A ∪ B;
Εφόσον τα στοιχεία 2, 5 και 9 ανήκουν στο σύνολο A, τότε πρέπει να ανήκουν όλα στο σύνολο A∪B. Επιπλέον, εφόσον τα στοιχεία 1 και 9 ανήκουν στο σύνολο B, τότε πρέπει να ανήκουν όλα στο σύνολο A ∪ B.
Σημειώστε ότι αναφέραμε δύο φορές το 9, καθώς αυτό το στοιχείο ανήκει στο σύνολο Α και στο σύνολο Β. Λέγοντας ότι «το σύνολο A ∪ B σχηματίζεται από τα στοιχεία που ανήκουν στο A ή ανήκουν στο Β» δεν αποκλείει στοιχεία που ανήκουν ταυτόχρονα στα σύνολα Α και Β.
Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, έχουμε
A ∪ B={1, 2, 5, 9}
Σημειώστε ότι γράφουμε το στοιχείο 9 μόνο μία φορά.
Τομή συνόλων
Η τομή των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο Α ∩ Β (διαβάστε «Η τομή Β»). Αυτό το σύνολο αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α είναι ανήκουν στο σύνολο Β. Με άλλα λόγια, Α ∩ Β αποτελείται από τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α και Β.
Υποδεικνύοντας τα στοιχεία του A ∩ B με x, γράφουμε
\(A∩B=\{x; x∈A\ και\ x∈B\}\)
Στην παρακάτω εικόνα, η πορτοκαλί περιοχή είναι το σειρά ΕΝΑ ∩Β.
Ας λύσουμε δύο παραδείγματα για την τομή των συνόλων!
Παράδειγμα 1:
Θεωρήστε A = {-1, 6, 13} και B = {0, 1, 6, 13}. Τι είναι το σύνολο A ∩ B;
Το σύνολο A ∩ B σχηματίζεται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο A είναι ανήκουν στο σύνολο Β. Σημειώστε ότι τα στοιχεία 6 και 13 ανήκουν ταυτόχρονα στα σύνολα Α και Β.
Σαν αυτό,
A ∩ B={6, 13}
Παράδειγμα 2:
Ποια είναι η τομή μεταξύ των συνόλων A = {0,4} και \(B={-3,\frac{1}2,5,16,44}\)?
Σημειώστε ότι δεν υπάρχει κοινό στοιχείο μεταξύ των συνόλων Α και Β. Έτσι, η τομή είναι ένα σύνολο χωρίς στοιχεία, δηλαδή ένα κενό σύνολο.
Επομένως,
\(\)A ∩ B={ } = ∅
Διαφορά μεταξύ σετ
Η διαφορά μεταξύ των συνόλων Α και Β είναι το σύνολο Α – Β (διαβάστε «διαφορά μεταξύ Α και Β»). Αυτό το σετ αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α και δεν ανήκουν στο σύνολο Β.
Απεικονίζοντας τα στοιχεία του Α – Β με x, γράφουμε
\(A-B=\{x; x∈A\ και\ x∉B\}\)
Στην παρακάτω εικόνα, η πορτοκαλί περιοχή είναι το setA – B.
Προσοχή: η διαφορά μεταξύ των συνόλων Α και Β δεν είναι η διαφορά μεταξύ των συνόλων Β και Α, επειδή το Β – Α σχηματίζεται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Β και δεν ανήκουν στο σύνολο Α.
Εξετάστε τα δύο παρακάτω παραδείγματα σχετικά με τη διαφορά μεταξύ των συνόλων.
Παράδειγμα 1:
Αν A = {-7, 2, 100} και B = {2, 50}, τότε ποιο είναι το σύνολο A – B; Τι γίνεται με το σύνολο Β – Α;
Το σετΑ-Β αποτελείται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Α είναιόχι ανήκουν στο σύνολο Β. Σημειώστε ότι το 2 είναι το μόνο στοιχείο στο σύνολο Α που ανήκει επίσης στο σύνολο Β. Έτσι, το 2 δεν ανήκει στο σύνολο Α – Β.
Επομένως,
A – B = {-7, 100}
Επιπλέον, το σύνολο Β – Α σχηματίζεται από όλα τα στοιχεία που ανήκουν στο σύνολο Β είναιόχι ανήκουν στο σύνολο Α. Επομένως,
B – A = {50}
Παράδειγμα 2:
Ποια είναι η διαφορά μεταξύ του συνόλου A = {–4, 0} και του συνόλου B = {–3};
Σημειώστε ότι κανένα από τα στοιχεία του Α δεν ανήκει στο Β. Έτσι, η διαφορά Α – Β είναι το ίδιο το σύνολο Α.
\(A - B = \{-4,0\} = A\)
Παρατήρηση: Σκεφτείτε ότι το U (που ονομάζεται σύνολο σύμπαντος) είναι ένα σύνολο που περιέχει όλα τα άλλα σύνολα σε μια δεδομένη κατάσταση. Σαν αυτό, η διαφορά U–A, με ΕΝΑ⊂U, είναι ένα σύνολο που ονομάζεται συμπληρωματικό του Α και απεικονίζεται ως \(ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ\).
\(A^c=U-A=\{x; x∉A\}\)
Στην παρακάτω εικόνα, το ορθογώνιο είναι το σύνολο του σύμπαντος και η πορτοκαλί περιοχή είναι το σύνολο του σύμπαντος \(ΠΡΟ ΧΡΙΣΤΟΥ\).
Μάθετε περισσότερα: Βήμα προς βήμα πώς να κάνετε μια διαίρεση
Λυμένες ασκήσεις σε πράξεις συνόλου
ερώτηση 1
Θεωρήστε τα σύνολα A = {–12, –5, 3} και B = {–10, 0, 3, 7} και ταξινομήστε κάθε πρόταση παρακάτω ως T (σωστό) ή F (λάθος).
ΕΓΩ. A ∪ B = {–12, –10, –5, 3, 7}
II. A ∩ B = {3}
III. A – B = {–12, –5}
Η σωστή σειρά, από πάνω προς τα κάτω, είναι
Α) V-V-V
Β) F-V-V
Γ) V-F-V
Δ) F-F-V
Ε) Φ-Φ-Φ
Ανάλυση
ΕΓΩ. Ψευδής.
Το στοιχείο 0 πρέπει να ανήκει στην ένωση των Α και Β, αφού 0 ∈ Β. Έτσι, A ∪ B = {–12, –10, –5, 0, 3, 7}
II. Αληθής.
III. Αληθής.
Εναλλακτική Β.
Ερώτηση 2
Θεωρήστε A = {4, 5}, B = {6,7} και C = {7,8}. Τότε, το σύνολο A ∪ B ∩ C είναι
Α) {7}.
Β) {8}.
Γ) {7, 8}.
Δ) {6,7,8}.
Ε) {4, 5, 6, 7, 8}.
Ανάλυση
Σημειώστε ότι A ∪ B = {4, 5, 6, 7}. Επομένως, το σύνολο A ∪ B ∩ C είναι η τομή μεταξύ A ∪ B = {4, 5, 6, 7} και C = {7,8}. Σύντομα,
A ∪ B ∩ C = {7}
Εναλλακτική Α.
Πηγές
LIMA, Elon L.. Μάθημα Ανάλυσης. 7 ed. Ρίο ντε Τζανέιρο: IMPA, 1992. v.1.
LIMA, Elon L. et al. Μαθηματικά Λυκείου. 11. εκδ. Συλλογή Μαθηματικών Καθηγητών. Ρίο ντε Τζανέιρο: SBM, 2016. v.1.
