Εξασκηθείτε στις εξισώσεις της γραμμής με τις λυμένες και σχολιασμένες ασκήσεις, ξεκαθαρίστε τις αμφιβολίες σας και ετοιμαστείτε για αξιολογήσεις και εισαγωγικές εξετάσεις.
Οι γραμμικές εξισώσεις ανήκουν στην περιοχή των μαθηματικών που ονομάζεται αναλυτική γεωμετρία. Αυτό το πεδίο μελέτης περιγράφει σημεία, γραμμές και σχήματα στο επίπεδο και στο χώρο, μέσω εξισώσεων και σχέσεων.
Η κλίση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α (0,2) και Β (2,0) είναι
Α2
β) -1
γ) 0
δ) 2
ε) 3
Υπολογίστε την τιμή του t, γνωρίζοντας ότι τα σημεία A (0, 1), B (3, t) και C (2, 1) είναι συγγραμμικά.
σε 1
β) 2
γ) 3
δ) 4
ε) 5
Η συνθήκη ευθυγράμμισης τριών σημείων λέει ότι η ορίζουσα του πίνακα ισούται με μηδέν.
Σύμφωνα με τον κανόνα Sarrus:
0.t.1 + 1.1.2 + 1.3.1 - (2.t.1 + 1.1.0 + 1.3.1) = 0
0 + 2 + 3 - (2t + 0 + 3) = 0
5 - 2 τόνοι - 3 = 0
2 = 2 τόνοι
t = 1
Οι συντελεστές, γωνιακοί και γραμμικοί, της ευθείας x - y + 2 = 0 είναι, αντίστοιχα,
α) Γωνιακός συντελεστής = 2 και γραμμικός συντελεστής = 2
β) Γωνιακός συντελεστής = -1 και γραμμικός συντελεστής = 2
γ) Γωνιακός συντελεστής = -1 και γραμμικός συντελεστής = -2
δ) Γωνιακός συντελεστής = 1 και γραμμικός συντελεστής = 2
ε) Γωνιακός συντελεστής = 2 και γραμμικός συντελεστής = 2
Γράφοντας την εξίσωση σε μειωμένη μορφή, έχουμε:
Η κλίση είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζει το x, άρα είναι 1.
Ο γραμμικός συντελεστής είναι ο ανεξάρτητος όρος, άρα είναι 2.
Λάβετε την εξίσωση της ευθείας που έχει το παρακάτω γράφημα.
α) x + y - 6 = 0
β) 3x + 2y - 3 = 0
γ) 2x + 3y - 2 = 0
δ) x + y - 3 = 0
ε) 2x + 3y - 6 = 0
Τα σημεία στα οποία η γραμμή κόβει τους άξονες είναι (0, 2) και (3, 0).
Χρησιμοποιώντας την παραμετρική φόρμα:
Καθώς οι επιλογές απαντήσεων είναι σε γενική μορφή, πρέπει να εκτελέσουμε το άθροισμα.
Υπολογίστε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο για να εξισώσετε τους παρονομαστές.
MMC(3, 2) = 6
Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής μεταξύ της ευθείας r: x + y - 3 = 0 και της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(2, 3) και B(1, 2).
α) (3, 2)
β) (2, 2)
γ) (1, 3)
δ) (2, 1)
ε) (3, 1)
Προσδιορίστε την ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α και Β.
Υπολογισμός του γωνιακού συντελεστή:
Η γραμμή λοιπόν είναι:
Το σημείο τομής είναι η λύση του συστήματος:
Προσθέτοντας τις εξισώσεις:
Αντικατάσταση στην πρώτη εξίσωση:
Άρα οι συντεταγμένες του σημείου που τέμνονται οι ευθείες είναι (2, 1)
(PUC - RS) Η ευθεία r της εξίσωσης y = ax + b διέρχεται από το σημείο (0, –1) και, για κάθε μονάδα μεταβολής του x, υπάρχει μια διακύμανση στο y, προς την ίδια κατεύθυνση, του 7 μονάδες. Η εξίσωσή σου είναι
α) y = 7x – 1.
β) y = 7x + 1.
γ) y = x – 7.
δ) y = x + 7.
ε) y = –7x – 1.
Μια αλλαγή 1 σε x προκαλεί αλλαγή 7 σε y. Αυτός είναι ο ορισμός της κλίσης. Επομένως, η εξίσωση πρέπει να έχει τη μορφή:
y = 7x + β
Εφόσον το σημείο (0, -1) ανήκει στην ευθεία, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε στην εξίσωση.
Με αυτόν τον τρόπο, η εξίσωση είναι:
(IF-RS 2017) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία A(0,2) και B(2, -2) είναι
α) y = 2x + 2
β) y = -2x -2
γ) y = x
δ) y = -x +2
ε) y = -2x + 2
Χρησιμοποιώντας τη μειωμένη εξίσωση και τις συντεταγμένες του σημείου Α:
Χρησιμοποιώντας τις συντεταγμένες του σημείου Β και αντικαθιστώντας την τιμή b = 2:
Ρύθμιση της εξίσωσης:
(UNEMAT 2017) Έστω r ευθεία με εξίσωση r: 3x + 2y = 20. Μια ευθεία s την τέμνει στο σημείο (2,7). Γνωρίζοντας ότι το r και το s είναι κάθετα μεταξύ τους, ποια είναι η εξίσωση της ευθείας s;
α) 2x − 3y = −17
β) 2x − 3y = −10
γ) 3x + 2y = 17
δ) 2x − 3y = 10
ε) 2x + 3y = 10
Δεδομένου ότι οι γραμμές είναι κάθετες, οι κλίσεις τους είναι:
Για να προσδιορίσουμε την κλίση του r, αλλάζουμε την εξίσωση από γενική σε μειωμένη μορφή.
Η κλίση είναι ο αριθμός που πολλαπλασιάζει το x, όντας -3/2.
Εύρεση του συντελεστή της ευθείας s:
Καθώς οι ευθείες τέμνονται στο σημείο (2, 7), αντικαθιστούμε αυτές τις τιμές στην εξίσωση της ευθείας s.
Ρύθμιση της μειωμένης εξίσωσης της γραμμής s:
Δεδομένου ότι οι επιλογές απαντήσεων είναι σε γενική μορφή, πρέπει να κάνουμε μετατροπή.
(Enem 2011) Ένας οπτικός προγραμματιστής θέλει να τροποποιήσει μια εικόνα, αυξάνοντας το μήκος της και διατηρώντας το πλάτος της. Τα σχήματα 1 και 2 αντιπροσωπεύουν, αντίστοιχα, την αρχική εικόνα και αυτή που μετασχηματίστηκε διπλασιάζοντας το μήκος.
Για να μοντελοποιήσει όλες τις δυνατότητες μετασχηματισμού στο μήκος αυτής της εικόνας, ο προγραμματιστής πρέπει να ανακαλύψει το σχέδια όλων των γραμμών που περιέχουν τα τμήματα που περιγράφουν τα μάτια, τη μύτη και το στόμα και στη συνέχεια επεξεργάζονται το πρόγραμμα.
Στο προηγούμενο παράδειγμα, το τμήμα A1B1 του σχήματος 1, που περιέχεται στη γραμμή r1, έγινε το τμήμα A2B2 του σχήματος 2, που περιέχεται στη γραμμή r2.
Ας υποθέσουμε ότι, διατηρώντας το πλάτος της εικόνας σταθερό, το μήκος της πολλαπλασιάζεται επί n, όπου n είναι ένας ακέραιος και θετικός αριθμός και ότι, με αυτόν τον τρόπο, η ευθεία r1 υφίσταται τους ίδιους μετασχηματισμούς. Υπό αυτές τις συνθήκες, το τμήμα AnBn θα περιέχεται στη γραμμή rn .
Η αλγεβρική εξίσωση που περιγράφει το rn, στο καρτεσιανό επίπεδο, είναι
α) x + ny = 3n.
β) x - ny = - n.
γ) x - ny = 3n.
δ) nx + ny = 3n.
ε) nx + 2ny = 6n.
Εύρεση της γραμμής r1 στο αρχικό σχήμα:
Ο γωνιακός του συντελεστής είναι:
Η ευθεία κόβει τον άξονα y στο σημείο (0, 3), οπότε η εξίσωσή της είναι:
Εύρεση της ευθείας r2 στο τροποποιημένο σχήμα:
Ο γωνιακός του συντελεστής είναι:
Η γραμμή κόβει επίσης τον άξονα y στο σημείο (0, 3), οπότε η εξίσωσή της είναι:
Από την αρχική εξίσωση του σχήματος στην τροποποιημένη, ο συντελεστής του y και ο ανεξάρτητος όρος πολλαπλασιάστηκαν επί 2.
Έτσι, για άλλες αναλογίες: