Ξέρουμε πώς πολυώνυμος μια έκφραση που υποδηλώνει το αλγεβρικό άθροισμα των monomials που δεν είναι παρόμοια, δηλαδή, το πολυώνυμο είναι ένας αλγεβρική παράσταση μεταξύ των monomials. Το Monomium είναι ένας αλγεβρικός όρος που έχει συντελεστή και κυριολεκτικό μέρος.
Όταν υπάρχουν παρόμοιοι όροι μεταξύ των πολυωνύμων, είναι δυνατή η εκτέλεση του μείωση των όρων της επιπλέον και / ή αφαίρεση δύο πολυωνύμων. Είναι επίσης δυνατό να πολλαπλασιαστούν δύο πολυώνυμα μέσω της διανομής ιδιοτήτων. Η διαίρεση εκτελείται χρησιμοποιώντας τη μέθοδο κλειδιών.
Διαβάστε επίσης: Πολωνυμική Εξίσωση - Εξίσωση που χαρακτηρίζεται από το ότι έχει ένα πολυώνυμο ίσο με 0
Τι είναι τα monomials;
Για να καταλάβουμε τι είναι ένα πολυώνυμο, είναι σημαντικό να κατανοήσουμε πρώτα το νόημα ενός monomial. Μια αλγεβρική έκφραση είναι γνωστή ως monomium όταν έχει αριθμούς και γράμματα και τους εκθέτες τους χωρίζονται μόνο με πολλαπλασιασμό. Ο αριθμός είναι γνωστός ως ο συντελεστής και τα γράμματα και οι εκθέτες τους είναι γνωστά ως το κυριολεκτικό μέρος.
Παραδείγματα:
2x² → 2 είναι ο συντελεστής. Το x² είναι το κυριολεκτικό μέρος.
√5ax → √5 είναι ο συντελεστής. Το τσεκούρι είναι το κυριολεκτικό μέρος.
b³yz² → 1 είναι ο συντελεστής. Το b³yz² είναι το κυριολεκτικό μέρος.
Τι είναι ένα πολυώνυμο;
Ένα πολυώνυμο δεν είναι τίποτα άλλο από το αλγεβρικό άθροισμα monomialsΔηλαδή, είναι πιο μονόμια που διαχωρίζονται με προσθήκη ή αφαίρεση μεταξύ τους.
Παραδείγματα:
ax² + από + 3
5c³d - 4ab + 3c²
-2ab + b - 3xa
Σε γενικές γραμμές, ένα πολυώνυμο μπορεί να έχει πολλούς όρους, αντιπροσωπεύεται αλγεβρικά από:
οόχιΧόχι + το(ν-1) Χ(ν-1) +… + Το2x² + α1x + α
Δείτε επίσης: Ποιες είναι οι τάξεις των πολυωνύμων;
βαθμός πολυωνύμου
Για να βρούμε τον βαθμό του πολυωνύμου, ας το χωρίσουμε σε δύο περιπτώσεις, όταν έχει μία μόνο μεταβλητή και όταν έχει περισσότερες μεταβλητές. Ο βαθμός του πολυωνύμου δίνεται από το βαθμός των μεγαλύτερων από τα monomial του και στις δύο περιπτώσεις.
Είναι πολύ κοινό να δουλεύεις με ένα πολυώνυμο που έχει μόνο μία μεταβλητή. Όταν συμβεί αυτό, Ο μεγαλύτερο μονόμιο βαθμός που δείχνει το βαθμό του πολυωνύμου είναι ίσο με τον μεγαλύτερο εκθέτη της μεταβλητής:
Παραδείγματα:
Μονά μεταβλητά πολυώνυμα
a) 2x² - 3x³ + 5x - 4 → σημειώστε ότι η μεταβλητή είναι x, και ο μεγαλύτερος εκθέτης που έχει είναι 3, οπότε αυτό είναι ένα πολυώνυμο βαθμού 3.
β) 2γ5 + 4y² - 2y + 8 → η μεταβλητή είναι y και ο μεγαλύτερος εκθέτης είναι 5, επομένως αυτό είναι ένα πολυώνυμο του βαθμού 5.
Όταν το πολυώνυμο έχει περισσότερες από μία μεταβλητές σε ένα monomial, για να βρεθεί ο βαθμός αυτού του όρου, είναι απαραίτητο Προσθήκη-αν ο βαθμός των εκθετών κάθε μιας από τις μεταβλητές. Έτσι, ο βαθμός του πολυωνύμου, σε αυτήν την περίπτωση, εξακολουθεί να είναι ίσος με τον βαθμό του μεγαλύτερου μονόμουλου, αλλά είναι απαραίτητο να προσέξουμε να προσθέσουμε τους εκθέτες των μεταβλητών κάθε μνημείου.
Παραδείγματα:
α) 2xy + 4x²y³ - 5y4
Αναλύοντας το κυριολεκτικό μέρος κάθε όρου, πρέπει:
xy → βαθμός 2 (1 + 1)
x²y³ → βαθμός 5 (2 + 3)
y³ → βαθμός 3
Σημειώστε ότι ο μεγαλύτερος όρος έχει βαθμό 5, οπότε πρόκειται για πολυώνυμο βαθμού 5.
β) 8a²b - ab + 2a²b²
Ανάλυση του κυριολεκτικού μέρους κάθε monomium:
a²b → βαθμός 3 (2 + 1)
ab² → βαθμός 2 (1 + 1)
a²b² → βαθμός 4 (2 + 2)
Έτσι, το πολυώνυμο έχει βαθμό 4.
Προσθήκη πολυώνυμων
Στο προσθήκη μεταξύ δύο πολυωνύμωνας κάνουμε το μείωση παρόμοιων μνημείων. Δύο monomials είναι παρόμοια αν έχουν ίσα κυριολεκτικά μέρη. Όταν συμβεί αυτό, είναι δυνατό να απλοποιηθεί το πολυώνυμο.
Παράδειγμα:
Έστω P (x) = 2x² + 4x + 3 και Q (x) = 4x² - 2x + 4. Βρείτε την τιμή του P (x) + Q (x).
2x² + 4x + 3 + 4x² - 2x + 4
Εύρεση παρόμοιων όρων (που έχουν τα ίδια κυριολεκτικά μέρη):
2x² + 4χ + 3 + 4x² – 2χ + 4
Τώρα ας προσθέσουμε τα παρόμοια monomials:
(2 + 4) x² + (4-2) x + 3 + 4
6x² + 2x +7
Πολυωνυμική αφαίρεση
Η αφαίρεση δεν διαφέρει πολύ από την προσθήκη. Η σημαντική λεπτομέρεια είναι ότι πρώτα πρέπει να γράψουμε το αντίθετο πολυώνυμο προτού πραγματοποιήσουμε την απλοποίηση παρόμοιων όρων.
Παράδειγμα:
Δεδομένα: P (x) = 2x² + 4x + 3 και Q (x) = 4x² - 2x + 4. Υπολογίστε P (x) - Q (x).
Το πολυώνυμο -Q (x) είναι το αντίθετο του Q (x), για να βρείτε το αντίθετο του Q (x), απλώς αντιστρέψτε το σύμβολο καθενός από τους όρους του, οπότε πρέπει:
-Q (x) = -4x² + 2x - 4
Τότε θα υπολογίσουμε:
P (x) + (-Q (x))
2x² + 4x + 3 - 4x² + 2x - 4
Απλοποιώντας παρόμοιους όρους, έχουμε:
(2 - 4) x² + (4 + 2) x + (3 - 4)
-2x² + 6x + (-1)
-2x² + 6x - 1
Πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός
Για να εκτελέσουμε τον πολλαπλασιασμό δύο πολυωνύμων, χρησιμοποιούμε το γνωστό επιμεριστική ιδιότητα μεταξύ των δύο πολυωνύμων, λειτουργώντας τον πολλαπλασιασμό των μονόμυλων του πρώτου πολυωνύμου με εκείνους του δεύτερου.
Παράδειγμα:
Έστω P (x) = 2a² + b και Q (x) = a³ + 3ab + 4b². Υπολογισμός P (x) · Q (x).
P (x) · Q (x)
(2a² + b) (a³ + 3ab + 4b²)
Εφαρμόζοντας τη διανομή ιδιοκτησίας, θα έχουμε:
2a² · a³ + 2a² · 3ab + 2a² · 4b² + b · a³ + b · 3ab + b · 4b²
2ος5 + 6a³b + 8a²b² + a³b + 3ab² + 4b³
Τώρα, εάν υπάρχουν, μπορούμε να απλοποιήσουμε παρόμοιους όρους:
2ος5 + 6α³β + 8a²b² + αβ + 3ab² + 4b³
Σημειώστε ότι τα μόνα παρόμοια monomial επισημαίνονται με πορτοκαλί χρώμα, απλοποιώντας μεταξύ τους, θα έχουμε την ακόλουθη πολυωνυμική ως απάντηση:
2ος5 + (6 + 1) a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
2ος5 + 7a³b + 8a²b² + 3ab² + 4b³
Επίσης πρόσβαση: Πώς να κάνετε πολλαπλασιασμό αλγεβρικού κλάσματος;
πολυωνυμική διαίρεση
εκτελέστε το διαίρεση πολυωνύμων μπορεί να είναι αρκετά επίπονη, χρησιμοποιούμε αυτό που ονομάζεται μέθοδος κλειδιών, αλλά υπάρχουν πολλές μέθοδοι για αυτό. Η διαίρεση δύο πολυωνύμων είναι δυνατή μόνο εάν ο βαθμός του διαιρέτη είναι μικρότερος. Διαιρώντας το πολυώνυμο P (x) με το πολυώνυμο D (x), αναζητούμε ένα πολυώνυμο Q (x), έτσι ώστε:
Έτσι, με τον αλγόριθμο διαίρεσης, έχουμε: P (x) = D (x) · Q (x) + R (x).
P (x) → μέρισμα
D (x) → διαχωριστικό
Q (x) → πηλίκο
R (x) → υπόλοιπο
Κατά τη λειτουργία της διαίρεσης, το πολυώνυμο P (x) διαιρείται από το πολυώνυμο D (x) εάν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
Παράδειγμα:
Ας λειτουργήσουμε διαιρώντας το πολυώνυμο P (x) = 15x² + 11x + 2 με το πολυώνυμο D (x) = 3x + 1.
Θέλουμε να μοιραστούμε:
(15x² + 11x + 2): (3x + 1)
1ο βήμα: χωρίσαμε το πρώτο monomium του μερίσματος με το πρώτο του διαιρέτη:
15x²: 3x = 5x
2ο βήμα: πολλαπλασιάζουμε 5x · (3x + 1) = 15x² + 5x, και αφαιρούμε το αποτέλεσμα του P (x). Για να εκτελέσετε την αφαίρεση, είναι απαραίτητο να αντιστρέψετε τα σημάδια του αποτελέσματος πολλαπλασιασμού, βρίσκοντας το πολυώνυμο:
3ο βήμα: εκτελούμε τη διαίρεση του πρώτου όρου του αποτελέσματος αφαίρεσης με τον πρώτο όρο του διαιρέτη:
6x: 3x = 2
4ο βήμα: έτσι έχουμε (15x² + 11x + 2): (3x + 1) = 5x + 2.
Επομένως, πρέπει:
Q (x) = 5x + 2
R (x) = 0
Διαβάστε επίσης: Η πρακτική συσκευή του Briot-Ruffini - διαίρεση πολυωνύμων
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Ποια θα πρέπει να είναι η τιμή του m ώστε το πολυώνυμο P (x) = (m² - 9) x³ + (m + 3) x² + 5x + m να έχει βαθμό 2;
Α) 3
Β) -3
Γ) ± 3
Δ) 9
Ε) -9
Ανάλυση
Εναλλακτική Α
Για να έχει το P (x) βαθμό 2, ο συντελεστής x³ πρέπει να είναι ίσος με το μηδέν και ο συντελεστής x2 πρέπει να είναι διαφορετικός από το μηδέν.
Έτσι θα κάνουμε:
m² - 9 = 0
m² = 9
m = ± 9
m = ± 3
Από την άλλη πλευρά, έχουμε αυτό το m + 3 ≠ 0.
Λοιπόν, m ≠ -3.
Έτσι, έχουμε ως λύση της πρώτης εξίσωσης ότι m = 3 ή m = -3, ωστόσο, για τη δεύτερη, έχουμε m ≠ -3, οπότε η μόνη λύση που κάνει το P (x) να έχει βαθμό 2 είναι: m = 3.
Ερώτηση 2 - (IFMA 2017) Η περίμετρος του σχήματος μπορεί να γραφτεί από το πολυώνυμο:
Α) 8x + 5
Β) 8x + 3
Γ) 12 + 5
Δ) 12x + 10
Ε) 12x + 8
Ανάλυση
Εναλλακτική Δ
Από την εικόνα, όταν αναλύουμε το δεδομένο μήκος και πλάτος, γνωρίζουμε ότι η περίμετρος είναι το άθροισμα όλων των πλευρών. Δεδομένου ότι το μήκος και το ύψος είναι τα ίδια, πολλαπλασιάζουμε απλώς το άθροισμα των δεδομένων πολυωνύμων με 2.
2 · (2x + 1 + 4x + 4) = 2 · (6x + 5) = 12x + 10
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών