άθροισμα και προϊόν Είναι μια μέθοδος που χρησιμοποιείται για την εύρεση των λύσεων του α εξίσωση. Χρησιμοποιούμε το άθροισμα και το γινόμενο ως μέθοδο για να υπολογίσουμε τις ρίζες του α εξίσωση 2ου βαθμού, του τύπου ax² + bx + c = 0.
Αυτή είναι μια ενδιαφέρουσα μέθοδος όταν οι λύσεις της εξίσωσης είναι ολόκληροι αριθμοί. Σε περιπτώσεις που οι λύσεις δεν είναι ακέραιοι, μπορεί να είναι αρκετά περίπλοκο να χρησιμοποιήσουμε το άθροισμα και το γινόμενο, με άλλες ευκολότερες μεθόδους να βρούμε τις λύσεις της εξίσωσης.
Διαβάστε επίσης: Bhaskara — ο πιο γνωστός τύπος για την επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων
Σύνοψη σχετικά με το άθροισμα και το προϊόν
- Το άθροισμα και το γινόμενο είναι μια από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την εύρεση των λύσεων μιας πλήρους τετραγωνικής εξίσωσης.
- Με το άθροισμα και το γινόμενο, δεδομένης της εξίσωσης του 2ου βαθμού ax² + bx + c = 0, έχουμε:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
- Χ1 είναι Χ2 είναι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης.
- α, β και γ είναι οι συντελεστές της εξίσωσης 2ου βαθμού.
Τι είναι το άθροισμα και το προϊόν;
Το άθροισμα και το προϊόν είναι μια από τις μεθόδους που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τις λύσεις μιας εξίσωσης. Χρησιμοποιείται σε εξισώσεις 2ου βαθμού, το άθροισμα και το γινόμενο μπορούν να είναι μια πιο πρακτική μέθοδος για την εύρεση των λύσεων του εξίσωση, γιατί αποτελείται από την αναζήτηση των αριθμών που ικανοποιούν τον τύπο του αθροίσματος και του γινομένου για ένα δεδομένο εξίσωση.
Άθροισμα και τύπος προϊόντος
Σε μια τετραγωνική εξίσωση, του τύπου ax² + bx + c = 0, με λύσεις ίσες με x1 και x2, ανά άθροισμα και γινόμενο, έχουμε:
\(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)
\(x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}\)
Πώς να υπολογίσετε τις ρίζες χρησιμοποιώντας άθροισμα και γινόμενο;
Για να βρούμε τις λύσεις, αναζητούμε πρώτα τους ακέραιους των οποίων το γινόμενο είναι ίσο με \(\frac{c}{a}\).
Γνωρίζουμε ότι οι λύσεις της εξίσωσης μπορεί να είναι θετικές ή αρνητικές:
- Θετικό προϊόν και θετικό άθροισμα: και οι δύο ρίζες είναι θετικές.
- Θετικό γινόμενο και αρνητικό άθροισμα: και οι δύο ρίζες είναι αρνητικές.
- Αρνητικό προϊόν και θετικό άθροισμα: η μία ρίζα είναι θετική και η άλλη αρνητική και αυτή με τη μεγαλύτερη ενότητα είναι θετική.
- Αρνητικό γινόμενο και αρνητικό άθροισμα: η μία ρίζα είναι θετική και η άλλη αρνητική και αυτή με τη μεγαλύτερη ενότητα είναι αρνητική.
Αργότερα, αφού απαριθμήσουμε όλα τα προϊόντα που ικανοποιούν την εξίσωση, αναλύουμε ποιο ικανοποιεί την εξίσωση. εξίσωση του αθροίσματος, δηλαδή ποιοι είναι οι δύο αριθμοί που ικανοποιούν την εξίσωση του γινομένου και το άθροισμα ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ.
Παράδειγμα 1:
Βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης:
\(x²-5x+6=0\)
Αρχικά, θα αντικαταστήσουμε τον τύπο αθροίσματος και προϊόντος. Έχουμε ότι a = 1, b = -5 και c = 6:
\(x_1+x_2=5\)
\(x_1\cdot x_2=6\)
Εφόσον το άθροισμα και το προϊόν είναι θετικά, οι ρίζες είναι θετικές. Αναλύοντας το προϊόν, γνωρίζουμε ότι:
\(1\ \cdot6\ =\ 6\ \)
\(2\cdot3\ =\ 6\)
Τώρα, θα ελέγξουμε ποιο από αυτά τα αποτελέσματα έχει άθροισμα ίσο με 5, που σε αυτή την περίπτωση είναι:
\(2+3=5\)
Άρα, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι \(x_1=2\ και\ x_2=3\).
Παράδειγμα 2:
Βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης:
\(x^2+2x-24=0\ \)
Αρχικά, θα αντικαταστήσουμε τον τύπο αθροίσματος και προϊόντος. Έχουμε a = 1, b = 2 και c = -24.
\(x_1+x_2=-\ 2\)
\(x_1\cdot x_2=-\ 24\)
Εφόσον το άθροισμα και το γινόμενο είναι αρνητικά, οι ρίζες έχουν αντίθετα πρόσημα και αυτό με το μεγαλύτερο μέτρο είναι αρνητικό. Αναλύοντας το προϊόν, γνωρίζουμε ότι:
\(1\cdot(-24)=-24\)
\(2\cdot\αριστερά(-12\δεξιά)=-24\)
\(3\cdot\αριστερά(-8\δεξιά)=-24\)
\(4\cdot\αριστερά(-6\δεξιά)=-24\)
Τώρα, ας ελέγξουμε ποιο από αυτά τα αποτελέσματα έχει άθροισμα ίσο με -2, που στην προκειμένη περίπτωση είναι:
\(4+\αριστερά(-6\δεξιά)=-2\)
Άρα, οι λύσεις αυτής της εξίσωσης είναι \(x_1=4\ και\ x_2=-6\) .
Διαβάστε επίσης: Πώς να λύσετε μια ημιτελή τετραγωνική εξίσωση
Λυμένες ασκήσεις για άθροισμα και γινόμενο
ερώτηση 1
είναι y είναι z οι ρίζες της εξίσωσης 4Χ2-3Χ-1=0, η τιμή 4(y+4)(z+4) é:
Α) 75
Β) 64
Γ) 32
Δ) 18
Ε) 16
Ανάλυση:
Εναλλακτική Α
Υπολογισμός κατά άθροισμα και γινόμενο:
\(y+z=\frac{3}{4}\)
\(y\cdot z=-\frac{1}{4}\)
Άρα, πρέπει:
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=4(yz+4y+4z+16)\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=4\αριστερά(-\frac{1}{4}+4\αριστερά (y+z\δεξιά)+16\δεξιά )\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\right)=4\left(-\frac{1}{4}+4\cdot\frac{3}{4}+16\ σωστά)\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=4\αριστερά(-\frac{1}{4}+3+16\δεξιά)\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=4\αριστερά(-\frac{1}{4}+19\δεξιά)\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=4\αριστερά(\frac{76-1}{4}\δεξιά)\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=4\cdot\frac{75}{4}\)
\(4\αριστερά (y+4\δεξιά)\αριστερά (z+4\δεξιά)=75\)
Ερώτηση 2
Λαμβάνοντας υπόψη την εξίσωση 2Χ2 + 8x + 6 = 0, έστω S το άθροισμα των ριζών αυτής της εξίσωσης και P το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης, τότε η τιμή της πράξης (S - P)2 é:
Α) 36
Β) 49
Γ) 64
Δ) 81
Ε) 100
Ανάλυση:
Εναλλακτική Β
Υπολογισμός κατά άθροισμα και γινόμενο:
\(S=x_1+x_2=-4\)
\(P\ =\ x_1\cdot x_2=3\)
Άρα, πρέπει:
\(\αριστερά(-4-3\δεξιά)^2=\αριστερά(-7\δεξιά)^2=49\)
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/soma-e-produto.htm
