ΕΝΑ σφαιρικό καπάκι και το γεωμετρικό στερεό που προκύπτει όταν μια σφαίρα αναχαιτίζεται από ένα επίπεδο, χωρίζοντάς την σε δύο γεωμετρικά στερεά. Το σφαιρικό καπάκι θεωρείται στρογγυλό σώμα γιατί, όπως και η σφαίρα, έχει στρογγυλεμένο σχήμα. Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν και τον όγκο ενός σφαιρικού πώματος, χρησιμοποιούμε συγκεκριμένους τύπους.
Διαβάστε επίσης: Κορμός κώνου — το γεωμετρικό στερεό που σχηματίζεται από τον πυθμένα του κώνου όταν δημιουργείται ένα τμήμα παράλληλο στη βάση
Σύνοψη για το σφαιρικό καπάκι
- Το σφαιρικό καπάκι είναι ένα γεωμετρικό στερεό που λαμβάνεται όταν η σφαίρα διαιρείται με ένα επίπεδο.
- Τα κύρια στοιχεία του σφαιρικού πώματος είναι η ακτίνα της σφαίρας, η ακτίνα του σφαιρικού καπακιού και το ύψος του σφαιρικού καπακιού.
- Το σφαιρικό καπάκι δεν είναι ένα πολύεδρο, αλλά ένα στρογγυλό σώμα.
- Εάν το επίπεδο διαιρεί τη σφαίρα στο μισό, το σφαιρικό καπάκι σχηματίζει ένα ημισφαίριο.
- Είναι δυνατός ο υπολογισμός της ακτίνας του σφαιρικού πώματος χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, οργανωμένο ως εξής:
\(\αριστερά (R-h\δεξιά)^2+r^2=R^2\)
- Η περιοχή του σφαιρικού καλύμματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
\(A=2\pi rh\ \)
- Ο όγκος του σφαιρικού καλύμματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\cdot\αριστερά (3r-h\δεξιά)\)
Τι είναι ένα σφαιρικό καπάκι;
σφαιρικό καπάκι είναι το γεωμετρικό στερεό που λαμβάνεται όταν ένα τμήμα του μπάλα κοινός διαμέρισμα. Όταν κόβουμε τη σφαίρα με ένα επίπεδο, χωρίζουμε αυτή τη σφαίρα σε δύο σφαιρικά καπάκια. Όταν διαιρούμε τη σφαίρα στο μισό, το σφαιρικό καπάκι είναι γνωστό ως ημισφαίριο.
Σφαιρικά στοιχεία καλύμματος
Σε ένα σφαιρικό καπάκι, τα κύρια στοιχεία είναι η ακτίνα της σφαίρας, η ακτίνα του σφαιρικού καπακιού και το ύψος του σφαιρικού καπακιού.
- R → ακτίνα της σφαίρας.
- r → ακτίνα του σφαιρικού πώματος.
- h → ύψος του σφαιρικού πώματος.
Το σφαιρικό καπάκι είναι πολύεδρο ή στρογγυλό σώμα;
Μπορούμε να δούμε ότι το καπάκι είναι ένα γεωμετρικό στερεό. Καθώς έχει κυκλική βάση και στρογγυλεμένη επιφάνεια, το σφαιρικό καπάκι θεωρείται α στρογγυλό σώμα, που είναι επίσης γνωστό ως το στερεό της επανάστασης. Αξίζει να αναφέρουμε ότι το πολύεδρο έχει πρόσωπα σχηματισμένα από πολύγωνα, κάτι που δεν συμβαίνει με το σφαιρικό καπάκι, το οποίο έχει βάση που σχηματίζεται από α κύκλος.
Πώς να υπολογίσετε την ακτίνα του σφαιρικού καπακιού;
Για να υπολογίσετε το μήκος της ακτίνας του σφαιρικού πώματος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το μήκος του ύψους h του σφαιρικού καπακιού και το μήκος της ακτίνας R της σφαίρας, γιατί, όπως βλέπουμε στην παρακάτω εικόνα, υπάρχει Πυθαγόρεια σχέση.
Σημειώστε ότι έχουμε α ορθογώνιο τρίγωνο, το τρίγωνο OO’B, με την υποτείνουσα που μετρά το R και τα σκέλη που μετρούν τα R – h και r. Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, Πρεπει να:
\(\αριστερά (R-h\δεξιά)^2+r^2=R^2\)
Παράδειγμα:
Ποια είναι η ακτίνα ενός σφαιρικού καπακιού που έχει ύψος 2 cm, δεδομένου ότι η ακτίνα της σφαίρας είναι 5 cm;
Ανάλυση:
Εφαρμογή της Πυθαγόρειας σχέσης:
\(\αριστερά (R-h\δεξιά)^2+r^2=R^2\)
\(\αριστερά (5-2\δεξιά)^2+r^2=5^2\)
\(3^2+r^2=25\)
\(9+r^2=25\)
\(r^2=25-9\)
\(r^2=16\)
\(r=\sqrt{16}\)
\(r=4\)
Πώς να υπολογίσετε την περιοχή του σφαιρικού καπακιού;
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν του σφαιρικού καπακιού, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τη μέτρηση του μήκους της ακτίνας R της σφαίρας και του ύψους h του καπακιού. Ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της επιφάνειας είναι:
\(A=2\pi Rh\)
- R → ακτίνα της σφαίρας.
- h → ύψος του σφαιρικού πώματος.
Παράδειγμα:
Ένα σφαιρικό καπάκι ελήφθη από μια σφαίρα που έχει ακτίνα 6 cm και ύψος 4 cm. Ποια είναι λοιπόν η επιφάνεια αυτού του σφαιρικού καπακιού;
Ανάλυση:
Υπολογίζοντας το εμβαδόν του σφαιρικού καπακιού, έχουμε:
\(A=2\pi Rh\)
\(A=2\cdot\pi\cdot6\cdot4\ \)
\(A=48\pi\ cm^2\)
Πώς να υπολογίσετε τον όγκο του σφαιρικού καπακιού;
Ο όγκος του σφαιρικού καπακιού μπορεί να υπολογιστεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τύπος εξαρτάται από την ακτίνα R της σφαίρας και το ύψος h:
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\αριστερά (3 R-h\δεξιά)\)
Παράδειγμα:
Ποιος είναι ο όγκος ενός σφαιρικού πώματος που λαμβάνεται από μια σφαίρα ακτίνας 8 cm της οποίας το ύψος του σφαιρικού πώματος είναι 6 cm;
Ανάλυση:
Εφόσον γνωρίζουμε την τιμή των R και h, θα χρησιμοποιήσουμε τον πρώτο τύπο.
R = 8
h = 6
\(V=\frac{\pi h^2}{3}\αριστερά (3 R-h\δεξιά)\)
\(V=\frac{\pi6^2}{3}\αριστερά (3\cdot8-6\δεξιά)\)
\(V=\frac{36\pi}{3}\αριστερά (24-6\δεξιά)\)
\(V=12\pi\αριστερά (18\δεξιά)\)
\(V=216\pi\ cm^3\)
Ο άλλος τύπος όγκου σφαιρικού καλύμματος λαμβάνει υπόψη την ακτίνα του σφαιρικού καλύμματος r και το ύψος του πώματος h:
\(V=\frac{\pi h}{6}\αριστερά (3r^2+h^2\δεξιά)\)
Παράδειγμα:
Ποιος είναι ο όγκος ενός σφαιρικού καπακιού που έχει ακτίνα 10 cm και ύψος 4 cm;
Ανάλυση:
Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε r = 10 cm και h = 4 cm. Καθώς γνωρίζουμε την τιμή της ακτίνας του σφαιρικού καπακιού και του ύψους, θα χρησιμοποιήσουμε τον δεύτερο τύπο:
\(V=\frac{\pi h}{6}\αριστερά (3r^2+h^2\δεξιά)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\αριστερά (3{\cdot10}^2+4^2\δεξιά)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\αριστερά (3\cdot100+16\δεξιά)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\αριστερά (300+16\δεξιά)\)
\(V=\frac{4\pi}{6}\αριστερά (316\δεξιά)\)
\(V=\frac{1264\pi}{6}\)
\(V\περίπου 210,7\ \pi\ cm³\)
Δείτε επίσης: Κορμός πυραμίδας — το γεωμετρικό στερεό που σχηματίζεται από τον πυθμένα της πυραμίδας όταν λαμβάνεται μια διατομή
Λυμένες ασκήσεις σε σφαιρικό καπάκι
ερώτηση 1
(Enem) Για να διακοσμήσει ένα τραπέζι παιδικού πάρτι, ένας σεφ θα χρησιμοποιήσει ένα σφαιρικό πεπόνι με διάμετρο 10 cm, το οποίο θα χρησιμεύσει ως στήριγμα για να σουβλίσει διάφορα γλυκά. Θα αφαιρέσει ένα σφαιρικό καπάκι από το πεπόνι, όπως φαίνεται στο σχήμα, και, για να εγγυηθεί τη σταθερότητα αυτής της υποστήριξης, δυσκολεύοντας το πεπόνι να κυλήσει πάνω από το τραπέζι, ο σεφ θα κόψει έτσι ώστε η ακτίνα r του τμήματος κυκλικής κοπής να είναι τουλάχιστον μείον 3 cm. Από την άλλη, το αφεντικό θα θέλει να έχει όσο το δυνατόν μεγαλύτερη έκταση στην περιοχή που θα αναρτηθούν τα γλυκά.
Για να πετύχει όλους τους στόχους του, ο σεφ πρέπει να κόψει την κορυφή του πεπονιού σε ύψος h, σε εκατοστά, ίσο με
ΕΝΑ) \(5-\frac{\sqrt{91}}{2}\)
ΣΙ)\( 10-\sqrt{91}\)
Γ) 1
Δ) 4
Ε) 5
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Γνωρίζουμε ότι η διάμετρος της σφαίρας είναι 10 cm, άρα η ακτίνα της είναι 5 cm, άρα ΟΒ = 5 cm.
Εάν η ακτίνα της τομής είναι ακριβώς 3 cm, έχουμε:
AO² +AB² = OB²
AO² + 3² = 5²
AO² + 9 = 25
AO² = 25 – 9
AO² = 16
ΑΟ = \(\sqrt{16}\)
AO = 4 cm
Επομένως:
h + 4 = 5
h = 5 – 4
h = 1
Ερώτηση 2
Ένα σφαιρικό καπάκι έχει επιφάνεια 144π cm². Γνωρίζοντας ότι έχει ακτίνα 9 cm, το ύψος αυτού του σφαιρικού καπακιού είναι:
Α) 8 cm
Β) 10 cm
Γ) 14 εκ
Δ) 16 εκ
Ε) 22 εκ
Ανάλυση:
Εναλλακτική Α
Ξέρουμε ότι:
\(A=2\pi Rh\)
\(144\pi=2\pi\cdot9\cdot h\)
\(144\pi=18\pi h\)
\(\frac{144\pi}{18\pi}=h\)
\(8=h\)
Το ύψος είναι 8 cm.
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/calota-esferica.htm
