Ο ποσοστό ορίζεται ως το ισότητα μεταξύ δύο αιτιολογικό, εάν αυτή η ισότητα είναι αλήθεια, τότε λέμε ότι οι αριθμοί που ήταν οι λόγοι στη δεδομένη σειρά είναι ανάλογοι.
Η μελέτη των αναλογιών είναι απαραίτητη για τη μαθηματική ανάπτυξη, καθώς μας επιτρέπουν λίσταμεγαλεία, λύνοντας έτσι τα προβλήματα της καθημερινής μας ζωής. Παραδείγματα αναλογιών είναι: κλίμακα ενός χάρτη, μέση ταχύτητα ενός rover και πυκνότητα μιας λύσης.
Διαβάστε επίσης: Προβλήματα που αφορούν κλασματικούς αριθμούς
Τι είναι ο λόγος και η αναλογία;
Ο λόγος μεταξύ δύο αριθμών είναι τοπηλίκομεταξύ τους με τη σειρά με την οποία δίνονται. Αφήστε τα a και b να είναι δύο λογικοί αριθμοί, όπου το b είναι διαφορετικό από το 0, η αναλογία μεταξύ a και b δίνεται από:
όταν έχεις δύο λόγοι και τα δύο είναι σε σύγκριση για μια ισότητα, λοιπόν έχουμε μια αναλογία. Εάν η ισότητα είναι αληθής τότε οι αριθμοί θα είναι αναλογικοί, διαφορετικά δεν θα είναι αναλογικοί.
Εσείς ρητοί αριθμοίο, σι, ντο και ρε είναι αναλογικά εάν και μόνο εάν ισχύει η ακόλουθη ισότητα.
Ομοίως, μπορούμε να πούμε ότι η ισότητα θα ισχύει μόνο όταν ο σταυρός πολλαπλασιασμός είναι αληθινός.
α · δ = β · γ |
Ιδιότητες αναλογίας
Εξετάστε την ακόλουθη αναλογία μεταξύ αριθμών ο, σι, ντο και ρε:
Επομένως, ισχύουν οι ακόλουθες ιδιότητες:
Ιδιότητα 1 - Το προϊόν των μέσων ισούται με το προϊόν των άκρων (πολλαπλός πολλαπλασιασμός).
Ακίνητα 2 - Ο λόγος μεταξύ του άθροισμα (ή διαφορά) των δύο πρώτων όρων και ο πρώτος όρος ισούται με την αναλογία του αθροίσματος (ή διαφορά) των δύο τελευταίων όρων και του τρίτου όρου.
Διαβάστε επίσης: Ιδιότητες αναλογίας - τι είναι και πώς να υπολογίσετε;
Πώς να υπολογίσετε τις αναλογίες
Για να ελέγξετε ή να υπολογίσετε εάν, στην πραγματικότητα, οι αριθμοί είναι αναλογικοί, απλώς εφαρμόστε την πρώτη ιδιότητα, εάν η ισότητα είναι αληθής, τότε οι αριθμοί είναι αναλογικοί. Δείτε τα παραδείγματα:
Παράδειγμα 1
Βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί 15, 30, 45 και 90 είναι ανάλογοι.
Πρέπει, με αυτή τη σειρά, να συγκεντρώσουμε τους λόγους και μετά να πολλαπλασιάσουμε.
Σημειώστε ότι η ισότητα είναι αλήθεια, έτσι οι αριθμοί σχηματίζουν, με αυτήν τη σειρά, μια αναλογία.
Παράδειγμα 2
Οι αριθμοί 2, 4, x και 32 είναι γνωστό ότι είναι αναλογικοί. Προσδιορίστε την τιμή του x.
Με την υπόθεση, έχουμε ότι οι αριθμοί, με τη σειρά που παρουσιάστηκαν, είναι αναλογικοί, έτσι μπορούμε να εξισώσουμε τους λόγους μεταξύ τους και να εφαρμόσουμε την ιδιότητα 1, δείτε:
Άμεσες και αντιστρόφως αναλογικές ποσότητες
Μεγαλείο, στα μαθηματικά, είναι ό, τι είναι δυνατόν να μετρηθεί ή να μετρηθεί, για παράδειγμα, ποσότητα, απόσταση, μάζα, όγκος κ.λπ. Οι ποσότητες μπορούν να είναι άμεσα αναλογικές (ΑΕΠ) ή αντίστροφες (ΑΕΠ), ας δούμε τη διαφορά μεταξύ τους:
Άμεσες αναλογικές ποσότητες
Λέμε ότι δύο ή περισσότερες ποσότητες είναι άμεσα ανάλογες εάν ο λόγος είναι οι τιμές του πρώτου μεγέθους είναι ίσες με τις τιμές του δεύτερου μεγέθους, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, η ποσότητα μάζας είναι ανάλογη με την Βάρος ενός αντικειμένου, δείτε τον πίνακα:
Μάζα (kg) |
Βάρος (N) |
30 |
300 |
60 |
600 |
80 |
800 |
Σημειώστε ότι η αναλογία μεταξύ των ποσοτήτων είναι πάντα η ίδια:
Το ίδιο θα συμβεί αν συνειδητοποιήσουμε την αναλογία μεταξύ των άλλων τιμών.
Ένας άλλος τρόπος για να μάθετε εάν δύο ή περισσότερες ποσότητες είναι άμεσα ανάλογες είναι να ελέγξετε το ανάπτυξη ή μείωση και των δύο. Για παράδειγμα, εάν η μία ποσότητα αυξάνεται, η άλλη πρέπει επίσης να αυξηθεί εάν είναι άμεσα ανάλογη. Ας δούμε το παράδειγμα:
Στον πίνακα μάζας x βάρος, δείτε ότι όσο μεγαλύτερη είναι η μάζα του αντικειμένου (↑), τόσο μεγαλύτερο είναι το βάρος του (↑), έτσι οι ποσότητες είναι άμεσα ανάλογες.
Παράδειγμα
Οι αριθμοί x, t και 2 είναι άμεσα ανάλογοι με τους αριθμούς 5, 6 και 10. Προσδιορίστε τις τιμές των x και t.
Όπως μας είπε το παράδειγμα ότι οι αριθμοί είναι άμεσα ανάλογοι, οπότε η αναλογία μεταξύ τους είναι ίση, ως εξής:
Πολλαπλασιάζοντας κάθε μία από τις ισοτιμίες, έχουμε:
5x = 5
x = 1
και
5t = 6
t = 6 ÷ 5
t = 1.2
Επομένως, x = 1 και t = 1.2.
Αντιστρόφως ανάλογες ποσότητες
Δύο ή περισσότερες ποσότητες θα είναι αντιστρόφως ανάλογες εάν ο λόγος μεταξύ των τιμών του πρώτου είναι ίσος με το αντίστροφο του λόγου των τιμών του δεύτερου. Μπορούμε να το ερμηνεύσουμε με άλλο τρόπο, εάν μία ποσότητα αυξάνεται (↑) και η άλλη ποσότητα μειώνεται (↓), τότε είναι αντίστροφα ανάλογη. Δείτε το παράδειγμα:
Η ταχύτητα και ο χρόνος είναι αντιστρόφως ανάλογοι.
Ταχύτητα (km / h) |
Ώρα (ώρες) |
50 |
2 |
100 |
1 |
150 |
0 |
Σημειώστε ότι όσο πιο γρήγορη είναι η ταχύτητα ενός συγκεκριμένου ταξιδιού (↑), τόσο μικρότερος είναι ο χρόνος για αυτό το ταξίδι (↓). Δείτε επίσης ότι εάν λάβουμε τον λόγο μεταξύ δύο τιμών της πρώτης ποσότητας και του αντίστροφου του λόγου δύο τιμών της δεύτερης ποσότητας, η ισότητα θα ισχύει.
Παράδειγμα
Διαιρέστε τον αριθμό 120 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογα με τους αριθμούς 4 και 6.
Εφόσον θέλουμε να χωρίσουμε τον αριθμό 120 σε δύο μέρη και δεν τα γνωρίζουμε, ας τα καλέσουμε ο και 120 - α. Εξ ορισμού της αντίστροφης αναλογικής, η αναλογία μεταξύ των πρώτων τιμών είναι ίση με την αντίστροφη αναλογία των δύο τελευταίων τιμών. Ετσι:
Καθώς το άλλο μέρος είναι 120 - a, τότε:
120 - το
120 – 72
48
Έτσι, διαιρώντας τον αριθμό 120 σε μέρη αντιστρόφως ανάλογο με τους αριθμούς 4 και 6, έχουμε 72 και 48.
Η άσκηση λύθηκε
Ερώτηση 1 - (Fuvest) Στον παρακάτω πίνακα, το y είναι αντιστρόφως ανάλογο με το τετράγωνο του x. Υπολογίστε τις τιμές των p και m.
Χ |
γ |
1 |
2 |
2 |
0 |
Μ |
8 |
Ανάλυση
Σημειώστε ότι η δήλωση δηλώνει ότι οι τιμές του y είναι αντιστρόφως ανάλογες με το τετράγωνο του x, δηλαδή, ο λόγος των τιμών y θα είναι ίσος με το αντίστροφο των x τετραγωνικών τιμών.
Χρησιμοποιώντας την ίδια λογική, ας προσδιορίσουμε την τιμή του m.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
