Προόδους: ποιοι είναι αυτοί, τύποι, τύποι, παραδείγματα

Ξέρουμε πώς προόδους συγκεκριμένες περιπτώσεις ακολουθίες αριθμών. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις προόδου:

• αριθμητική εξέλιξη

• γεωμετρική εξέλιξη

Για να είμαστε μια εξέλιξη, πρέπει να αναλύσουμε τα χαρακτηριστικά της ακολουθίας, εάν υπάρχει αυτό που ονομάζουμε λόγο. όταν είναι η εξέλιξη αριθμητική, Ο λόγος δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια σταθερά που προσθέτουμε σε έναν όρο για να βρούμε τον διάδοχό του στη σειρά. τώρα, όταν εργάζεστε με μια εξέλιξη γεωμετρικός, ο λόγος έχει παρόμοια λειτουργία, μόνο σε αυτήν την περίπτωση ο λόγος είναι ο σταθερός όρος με τον οποίο πολλαπλασιάζουμε έναν όρο στη σειρά για να βρούμε τον διάδοχό του.

Εξαιτίας προβλέψιμη συμπεριφορά της εξέλιξης, υπάρχουν συγκεκριμένοι τύποι για την εύρεση οποιουδήποτε όρου σε αυτές τις ακολουθίες, και είναι επίσης δυνατό να αναπτυχθεί τύπος για καθένα από αυτά (δηλαδή, ένα για την αριθμητική πρόοδο και ένα για τη γεωμετρική πρόοδο) προκειμένου να υπολογιστεί το άθροισμα Απόόχι πρώτοι όροι αυτής της εξέλιξης.

Διαβάστε επίσης: Λειτουργίες - για τι είναι και για τι χρησιμεύουν;

Η ποσότητα των φασολιών ανά συγκομιδή συμπεριφέρεται σαν μια γεωμετρική εξέλιξη

ακολουθία αριθμών

Για να καταλάβουμε ποιες είναι οι προόδους, πρέπει πρώτα να καταλάβουμε τι είναι ακολουθίες αριθμών. Όπως υποδηλώνει το όνομα, γνωρίζουμε την ακολουθία αριθμών a σύνολο αριθμών που σέβονται μια παραγγελία, είναι καλά καθορισμένες ή όχι. σε αντίθεση με το σκηνικά αριθμητικά όπου η σειρά δεν έχει σημασία, με αριθμητική σειρά, η σειρά είναι απαραίτητη, για παράδειγμα:

Η ακολουθία (1, 2, 3, 4, 5) είναι διαφορετική από (5, 4, 3, 2, 1), η οποία είναι διαφορετική από την αλληλουχία (1, 5, 4, 3, 2). Ακόμα κι αν τα στοιχεία είναι ίδια, καθώς η σειρά είναι διαφορετική, έτσι έχουμε διαφορετικές ακολουθίες.

Παραδείγματα:

Μπορούμε να γράψουμε ακολουθίες των οποίων οι σχηματισμοί είναι ευδιάκριτοι:

a) (0, 2, 4, 6, 8, 10, 12) → ακολουθία ζυγών αριθμών μικρότερη ή ίση με 12.

β) (17, 15, 13, 11, 9, 7, 5) → οπισθοδρομική ακολουθία μονών αριθμών από 17 έως 5.

γ) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…) → γνωστό ως Αλληλουχία Fibonacci.

δ) (1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4…) → αν και δεν είναι δυνατόν να περιγράψουμε αυτήν την ακολουθία όπως οι άλλες, είναι εύκολο να προβλέψουμε ποιοι θα είναι οι επόμενοι όροι της.

Σε άλλες περιπτώσεις, Οι ακολουθίες μπορούν να έχουν απόλυτη τυχαιότητα στις τιμές τους, ούτως ή άλλως, για να είναι μια ακολουθία, αυτό που έχει σημασία είναι να έχουμε ένα σύνολο ταξινομημένων τιμών.

έως 1; 0,1; 0,02; 0,07; 0,0001; 7)

β) (2, 3, -3, 2, 6, 4, 8, -2 ...)

Όσο δεν είναι δυνατόν να προβλέψουμε ποιοι είναι οι επόμενοι όροι στο γράμμα β, συνεχίζουμε να δουλεύουμε με μια συνέχεια.

Γενικά, οι συμβολοσειρές αντιπροσωπεύονται πάντα σε παρένθεση (), με τον ακόλουθο τρόπο:

(Ο₁, ένα₂,Ο₃, ένα₄,Ο₅, ένα₆, ένα₇, ένα₈ …) → άπειρη ακολουθία

(Ο₁, ένα₂,Ο₃, ένα₄,Ο₅, ένα₆, ένα₇, ένα₈ … ένα_όχι) → πεπερασμένη ακολουθία

Και στα δύο, έχουμε την ακόλουθη παράσταση:

ο₁ → πρώτη θητεία

ο₂ → δεύτερη θητεία

ο₃ → τρίτος όρος

.

.

.

ο_όχι → nth όρος

Παρατήρηση: Είναι εξαιρετικά σημαντικό, όταν αντιπροσωπεύουμε μια ακολουθία, τα δεδομένα να περικλείονται σε παρενθέσεις. Η συμβολική ακολουθία συχνά συγχέεται με τη σημειογραφία. Ένα σετ αντιπροσωπεύεται με τιράντες και στο σετ η σειρά δεν είναι σημαντική, πράγμα που κάνει όλη τη διαφορά σε αυτήν την περίπτωση.

(1, 2, 3, 4, 5) → ακολουθία

{1, 2, 3, 4, 5} → σύνολο

Υπάρχουν συγκεκριμένες περιπτώσεις ακολουθίας που είναι γνωστές ως εξελίξεις.

Δείτε επίσης: Ποια είναι η θεμελιώδης αρχή της μέτρησης;

Τι είναι οι εξελίξεις;

Μια ακολουθία ορίζεται ως μια εξέλιξη όταν έχει κανονικότητα από τον ένα όρο στον άλλο, γνωστό ως λόγος. Υπάρχουν δύο περιπτώσεις προόδου, η αριθμητική εξέλιξη και η γεωμετρική εξέλιξη. Για να μάθουμε πώς να διαφοροποιήσουμε καθένα από αυτά, πρέπει να καταλάβουμε ποιος είναι ο λόγος για μια εξέλιξη και πώς αυτός ο λόγος αλληλεπιδρά με τους όρους της ακολουθίας.

Όταν, από τον ένα όρο στον άλλο στη σειρά, έχω ένα σταθερό άθροισμα, αυτή η ακολουθία ορίζεται ως μια εξέλιξη, και στην περίπτωση αυτή είναι ένα αριθμητική εξέλιξη. Αυτή η τιμή που προσθέτουμε συνεχώς είναι γνωστή ως η αναλογία. Η άλλη περίπτωση, δηλαδή, όταν η ακολουθία είναι α γεωμετρική εξέλιξη, από τον ένα όρο στον άλλο υπάρχει ένα πολλαπλασιασμός με σταθερή τιμή. Αναλογικά, αυτή η τιμή είναι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου.

Παραδείγματα:

α) (1, 4, 7, 10, 13, 16…) → παρατηρήστε ότι προσθέτουμε πάντα 3 από τον ένα όρο στον άλλο, οπότε έχουμε μια αριθμητική πρόοδο αναλογίας ίση με 3.

b) (1, 10, 100, 1000, 10000…) → σε αυτήν την περίπτωση πολλαπλασιάζουμε πάντα με 10 από τον ένα όρο στον άλλο, με μια γεωμετρική πρόοδο της αναλογίας 10.

c) (0, 2, 8, 26…) → στην τελευταία περίπτωση, υπάρχει μόνο μία ακολουθία. Για να βρούμε τον επόμενο όρο, πολλαπλασιάζουμε τον όρο με 3 και προσθέτουμε 2. Αυτή η περίπτωση, παρόλο που υπάρχει κανονικότητα για την εύρεση των επόμενων όρων, είναι μόνο μια ακολουθία, όχι μια αριθμητική ή γεωμετρική πρόοδος.

αριθμητική εξέλιξη

Όταν δουλεύουμε με ακολουθίες αριθμών, αυτές οι ακολουθίες στις οποίες μπορούμε να προβλέψουμε τους επόμενους όρους τους είναι αρκετά επαναλαμβανόμενες. Για να ταξινομηθεί αυτή η ακολουθία ως α αριθμητική εξέλιξη, πρέπει να υπάρχει λόγος ένα. Από τον πρώτο όρο, ο επόμενος όρος είναι κατασκευάστηκε με το άθροισμα του προηγούμενου όρου με τον λόγο ρ.

Παραδείγματα:

α) (4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25 ...)

Αυτή είναι μια ακολουθία που μπορεί να ταξινομηθεί ως αριθμητική εξέλιξη, επειδή ο λόγος ρ = 3 και ο πρώτος όρος είναι 4.

β) (7, 2, -3, -8, -13, -18, -23…)

Αυτή η ακολουθία είναι μια αριθμητική εξέλιξη με καλό λόγο. ρ = -5 και ο πρώτος όρος του είναι 7.

• Όροι ενός PA

Σε πολλές περιπτώσεις, το ενδιαφέρον μας είναι να βρούμε έναν συγκεκριμένο όρο στην εξέλιξη, χωρίς να χρειάζεται να γράψουμε ολόκληρη την ακολουθία. Γνωρίζοντας την αξία του πρώτου όρου και την αναλογία, είναι δυνατόν να βρούμε την αξία οποιουδήποτε όρου σε μια αριθμητική εξέλιξη. Για να βρούμε τους όρους μιας αριμητικής εξέλιξης, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

ο_όχι = το₁+ (n - 1) r

Παράδειγμα:

Βρείτε τον 25ο όρο ενός P.A του οποίου ο λόγος είναι 3 και ο πρώτος όρος είναι 12.

Δεδομένα ρ = 3, το₁ = 12. Θέλουμε να βρούμε τον 25ο όρο, δηλαδή, n = 25.

ο_όχι = το₁+ (n - 1) r

ο₂₅ = 12 + (25 - 1) · 3

ο₂₅ = 12 + 24 · 3

ο₂₅ = 12 + 72

ο₂₅ = 84

• Γενικός όρος ενός P.A.

Ο γενικός τύπος τύπου είναι α τρόπος απλοποίησης του τύπου ενός όρου AP για να βρείτε έναν όρο προόδου πιο γρήγορα. Μόλις γίνει γνωστός ο πρώτος όρος και ο λόγος, αρκεί να αντικαταστήσετε στον τύπο έναν όρο P.A., προκειμένου να βρείτε τον γενικό όρο της αριθμητικής εξέλιξης, ο οποίος εξαρτάται μόνο από την αξία του όχι.

Παράδειγμα:

Βρείτε τον γενικό όρο ενός P.A που έχει ρ = 3 και το₁ = 2.

ο_όχι = 2 + (n -1) ρ

ο_όχι = 2 + (n -1) 3

ο_όχι = 2 + 3n - 3

ο_όχι = 2n - 1

Αυτός είναι ο γενικός όρος ενός P.A, ο οποίος χρησιμεύει για την εύρεση όρου σε αυτήν την εξέλιξη.

• Άθροισμα των όρων ενός PA

Ο άθροισμα των όρων ενός PA θα ήταν πολύ επίπονο αν ήταν απαραίτητο να βρούμε καθέναν από τους όρους του και να τους προσθέσουμε. Υπάρχει ένας τύπος για τον υπολογισμό του αθροίσματος όλων όχι πρώτοι όροι αριθμητικής εξέλιξης:

Παράδειγμα:

Βρείτε το άθροισμα όλων των μονών αριθμών από 1 έως 100.

Γνωρίζουμε ότι οι περίεργοι αριθμοί είναι μια αριθμητική εξέλιξη του λόγου 2: (1, 3, 5, 7… 99). Σε αυτήν την εξέλιξη υπάρχουν 50 όροι, καθώς, από το 1 έως το 100, οι μισοί αριθμοί είναι ζυγοί και το άλλο μισό είναι μονός.

Επομένως, πρέπει:

η = 50

ο₁ = 1

ο_όχι = 99

Επίσης πρόσβαση: Λειτουργία 1ου βαθμού - πρακτική χρήση της αριθμητικής εξέλιξης

Γεωμετρική εξέλιξη

Μια συμβολοσειρά μπορεί επίσης να ταξινομηθεί ως πρπαραβίαση γεωμετρικός (PG). Για να είναι μια ακολουθία γεωμετρική εξέλιξη, πρέπει να έχει λόγο, αλλά σε αυτήν την περίπτωση, για να βρούμε τον επόμενο όρο από τον πρώτο όρο, εκτελούμε το πολλαπλασιασμός της αναλογίας με τον προηγούμενο όρο.

Παραδείγματα:

α) (3, 6, 12, 24, 48…) → Γεωμετρική πρόοδος της αναλογίας 2 και ο πρώτος όρος της είναι 3.

β) (20, 200, 2000, 20 000…) → Γεωμετρική εξέλιξη του λόγου 10 και ο πρώτος όρος του είναι 20.

• Διάρκεια PG

Σε μια γεωμετρική εξέλιξη, αντιπροσωπεύουμε τον λόγο για το γράμμα τι. Ο όρος μιας γεωμετρικής εξέλιξης μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:

ο_όχι = το₁ · τι^{n - 1}

Παράδειγμα:

Βρείτε τον 10ο όρο ενός PG, γνωρίζοντας ότι τι = 2 και το₁ = 5.

ο_όχι = το₁ · τι^{n - 1}

ο₁₀ = 5 · 2^{10 - 1}

ο₁₀ = 5 · 2⁹

ο₁₀ = 5 · 512

ο₁₀ = 2560

• Γενική θητεία μιας PG

Όταν γνωρίζουμε τον πρώτο όρο και τον λόγο, είναι δυνατόν να δημιουργηθεί ο γενικός τύπος του τύπου από μια γεωμετρική εξέλιξη που εξαρτάται αποκλειστικά από την τιμή του όχι. Για να το κάνουμε αυτό, πρέπει απλώς να αντικαταστήσουμε τον πρώτο όρο και την αναλογία και θα βρούμε μια εξίσωση που θα εξαρτάται μόνο από την τιμή του όχι.

Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο παράδειγμα, όπου ο λόγος είναι 2 και ο πρώτος όρος είναι 5, ο γενικός όρος για αυτό το GP είναι:

ο_όχι = το₁ · τι^{n - 1}

ο_όχι = 5 · 2^{n - 1}

• Άθροισμα όρων ενός PG

Η προσθήκη όλων των όρων μιας εξέλιξης θα ήταν πολύ δουλειά. Σε πολλές περιπτώσεις, η συγγραφή ολόκληρης της ακολουθίας για την επίτευξη αυτού του ποσού είναι χρονοβόρα. Για να διευκολυνθεί αυτός ο υπολογισμός, η γεωμετρική πρόοδος έχει έναν τύπο που χρησιμεύει στον υπολογισμό του άθροισμα όχι πρώτα στοιχεία ενός πεπερασμένου PG:

Παράδειγμα:

Βρείτε το άθροισμα των πρώτων 10 όρων του GP (1, 2, 4, 8, 16, 32…).

Σημειώστε ότι η αναλογία αυτού του PG είναι ίση με 2.

ο₁ = 1

τι = 2

όχι = 10

Διαβάστε επίσης: Εκθετική συνάρτηση - πρακτική χρήση της γεωμετρικής προόδου

λύσεις ασκήσεις

Ερώτηση 1 - Μια συγκεκριμένη καλλιέργεια βακτηρίων παρατηρείται για λίγες ημέρες από τους επιστήμονες. Ένας από αυτούς αναλύει την αύξηση αυτού του πληθυσμού και παρατήρησε ότι, την πρώτη ημέρα, υπήρχαν 100 βακτήρια. στη δεύτερη, 300 βακτήρια? στο τρίτο, 900 βακτήρια και ούτω καθεξής. Αναλύοντας αυτήν την ακολουθία, μπορούμε να πούμε ότι είναι:

Α) αριθμητική εξέλιξη του λόγου 200.

Β) μια γεωμετρική πρόοδος αναλογίας 200.

Γ) μια αριμητική εξέλιξη του λόγου 3.

Δ) μια γεωμετρική εξέλιξη του λόγου 3.

Ε) μια ακολουθία, αλλά όχι μια εξέλιξη.

Ανάλυση

Εναλλακτική Δ.

Αναλύοντας την ακολουθία, έχουμε τους όρους:

Σημειώστε ότι 900/300 = 3, καθώς και 300/100 = 3. Επομένως, εργαζόμαστε με PG του λόγου 3, καθώς πολλαπλασιάζουμε επί τρία από τον πρώτο όρο.

Ερώτηση 2 - (Enem - PPL) Για έναν αρχάριο στο τρέξιμο, ορίστηκε το ακόλουθο πρόγραμμα καθημερινής προπόνησης: τρέξτε 300 μέτρα την πρώτη ημέρα και αυξήστε 200 μέτρα την ημέρα από τη δεύτερη. Για να μετρήσει την απόδοσή του, θα χρησιμοποιήσει ένα τσιπ, προσαρτημένο στο sneaker του, για να μετρήσει την απόσταση που καλύφθηκε κατά την προπόνηση. Λάβετε υπόψη ότι αυτό το τσιπ αποθηκεύει, στη μνήμη του, μέγιστο 9,5 km από το τρέξιμο / το περπάτημα, και πρέπει να τοποθετηθεί στην αρχή της προπόνησης και να απορριφθεί μετά την εξάντληση του χώρου αποθήκευσης δεδομένων. Εάν αυτός ο αθλητής χρησιμοποιεί το τσιπ από την πρώτη ημέρα της προπόνησης, για πόσες συνεχόμενες ημέρες θα μπορεί αυτό το τσιπ να αποθηκεύσει τα χιλιόμετρα αυτού του ημερήσιου προγράμματος προπόνησης;

Α) 7

Β) 8

Γ) 9

Δ) 12

Ε) 13

Ανάλυση

Εναλλακτική Β.

Αναλύοντας την κατάσταση, γνωρίζουμε ότι έχουμε ένα PA με λόγο 200 και ένα αρχικό τέλος ίσο με 300.

Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι το άθροισμα S_όχι = 9,5 km = 9500 μέτρα.

Με αυτά τα δεδομένα, ας βρούμε τον όρο α_όχι, που είναι ο αριθμός χιλιομέτρων που καταγράφηκε την τελευταία ημέρα αποθήκευσης.

Αξίζει επίσης να θυμόμαστε ότι οποιοσδήποτε όρος α_όχι μπορεί να γραφτεί ως:

ο_όχι = το₁ + (n - 1)ρ

Δεδομένης της εξίσωσης 200n² + 400n - 19000 = 0, μπορούμε να διαιρέσουμε όλους τους όρους με 200, απλοποιώντας την εξίσωση και βρίσκοντας: n² + 2n - 95 = 0.

Για τα δέλτα και τη Μπασκάρα, πρέπει:

α = 1

b = 2

c = -95

Δ = b² - 4ac

Δ = 2² – 4 · 1 · (-95)

Δ = 4 – 4 · (-95)

Δ = 4 + 380

Δ = 384

Γνωρίζουμε ότι το 8,75 αντιστοιχεί σε 8 ημέρες και μερικές ώρες. Σε αυτήν την περίπτωση, ο αριθμός των ημερών κατά τις οποίες μπορεί να πραγματοποιηθεί η μέτρηση είναι 8.

Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/progressoes.htm