Οι λειτουργίες με πολύπλοκους αριθμούς σε τριγωνομετρική μορφή διευκολύνουν τον υπολογισμό που περιλαμβάνει τα στοιχεία αυτού του συνόλου. Ο πολλαπλασιασμός και ο διαχωρισμός των συμπλεγμάτων που είναι σε τριγωνομετρική μορφή γίνονται σχεδόν αμέσως, ενώ σε αλγεβρική μορφή η διαδικασία απαιτεί περισσότερους υπολογισμούς. Η ενίσχυση και η ακτινοβολία των συμπλεγμάτων σε τριγωνομετρική μορφή διευκολύνονται επίσης με τη χρήση των τύπων του Moivre. Ας δούμε πώς πραγματοποιείται η ριζοβολία αυτών των αριθμών:
Εξετάστε οποιονδήποτε σύνθετο αριθμό z = a + bi. Η τριγωνομετρική μορφή του z είναι:
Οι ρίζες n-index του z δίνονται από τον δεύτερο τύπο Moivre:
Παράδειγμα 1. Βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες του 2i.
Λύση: Πρώτα πρέπει να γράψουμε τον σύνθετο αριθμό σε τριγωνομετρική μορφή.
Όλος ο σύνθετος αριθμός έχει τη μορφή z = a + bi. Έτσι, πρέπει:
Γνωρίζουμε επίσης ότι:
Με τις τιμές ημιτονοειδούς και συνημίτου μπορούμε να συμπεράνουμε ότι:
Έτσι, η τριγωνομετρική μορφή του z = 2i είναι:
Τώρα, ας υπολογίσουμε τις τετραγωνικές ρίζες του z χρησιμοποιώντας τον τύπο του Moivre.
Εφόσον θέλουμε τις τετραγωνικές ρίζες του z, θα έχουμε δύο ξεχωριστές ρίζες z0 και ζ1.
Για k = 0, θα έχουμε
Για k = 1, θα έχουμε:
Ή
Παράδειγμα 2. Λάβετε τις κυβικές ρίζες του z = 1 ∙ (cosπ + i ∙ senπ)
Λύση: Καθώς ο σύνθετος αριθμός είναι ήδη σε τριγωνομετρική μορφή, απλώς χρησιμοποιήστε τον τύπο του Moivre. Από τη δήλωση έχουμε ότι ø = π και | z | = 1. Ετσι,
Θα έχουμε τρεις διαφορετικές ρίζες, z0, ζ1 και ζ2.
Για k = 0
Για k = 1
Ή ζ1 = - 1, αφού cos π = - 1 και sin π = 0.
Για k = 2
Από τον Marcelo Rigonatto
Ειδικός στη Στατιστική και Μαθηματική Μοντελοποίηση
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας
Σύνθετοι αριθμοί - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/radiciacao-numeros-complexos-na-forma-trigonometrica.htm