Κωνικός κορμός: τι είναι, στοιχεία, τύποι

Ο κορμός κώνου είναι το στερεό που σχηματίζεται από κάτω μέρος του κώνου κατά την εκτέλεση μιας τομής σε οποιοδήποτε ύψος παράλληλο προς τη βάση. όταν κόψουμε το κώνος σε οποιοδήποτε δεδομένο ύψος, χωρίζεται σε δύο γεωμετρικά στερεά, έναν κώνο μικρότερο από τον προηγούμενο και τον κορμό ενός κώνου.

Ο κορμός του κώνου έχει συγκεκριμένους τύπους έτσι ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός της συνολικής έκτασης και του όγκου αυτού του γεωμετρικού στερεού.

Διαβάστε επίσης: Ποια είναι τα στερεά του Πλάτωνα;

Στοιχεία κώνου κορμού

Ο κορμός ενός κώνου σχηματίζεται όταν δημιουργείτε μια τομή σε έναν κώνο.

Ο κορμός ενός κώνου είναι α ειδική περίπτωση στρογγυλά σώματα. Παίρνει το όνομά του επειδή, σε έναν κώνο, όταν κάνουμε ένα τμήμα παράλληλο με τη βάση, χωρίζεται σε δύο μέρη. Το κάτω μέρος είναι ο κορμός του κώνου.

Δεδομένου του κορμού ενός κώνου, υπάρχουν σημαντικά στοιχεία σε αυτό στερεός, στα οποία δίνονται συγκεκριμένα ονόματα.

R → ακτίνα της μεγαλύτερης βάσης

h → ύψος κώνου

r → ακτίνα της μικρότερης βάσης

g → trunk cone generatrix

Μπορούμε να δούμε ότι ο κορμός του κώνου αποτελείται από δύο πρόσωπα σε σχήμα κύκλου, οι οποίες είναι γνωστές ως βάσεις. Επιπλέον, ένα από αυτά έχει πάντα μικρότερη ακτίνα από το άλλο. Έτσι, r

Γεννήτρια κορμού

Δεδομένου ενός κωνικού κορμού, είναι δυνατόν υπολογίστε την τιμή γεννήτριας αυτού του στερεού χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Πυθαγόρας, όταν γνωρίζουμε τις ακτίνες της μεγαλύτερης και της μικρότερης βάσης, εκτός από το ύψος.

g² = h² + (R - r) ²

Παράδειγμα:

Βρείτε τη γεννήτρια ενός κώνου κορμού που έχει ύψος 8 cm, μια ακτίνα της βάσης μεγαλύτερη από 10 cm και την ακτίνα της βάσης μικρότερη από 4 cm.

Για να βρούμε τον κορμό του κώνου generatrix, πρέπει να:

h = 8
R = 10
r = 4

Αντικατάσταση στον τύπο:

g² = h² + (R - r) ²
g² = 8² + (10 - 4) ²
g² = 64 + 6²
g² = 64 + 36
g² = 100
g = √100
g = 10 εκ

Δείτε επίσης: Πώς να βρείτε το κέντρο ενός κύκλου;

Όγκος κώνου κορμού

Για να υπολογίσουμε τον όγκο του κορμού του κώνου, χρησιμοποιούμε τον τύπο:

Γνωρίζοντας τις τιμές ύψους, την ακτίνα της μεγαλύτερης βάσης και την ακτίνα της μικρότερης βάσης, είναι δυνατόν να υπολογιστεί ο όγκος του κορμού ενός κώνου.

Παράδειγμα:

Βρείτε τον όγκο ενός κορμού κορμού που έχει ύψος ίσο με 6 cm, ακτίνα της μεγαλύτερης βάσης ίση με 8 cm και ακτίνα της μικρότερης βάσης ίση με 4 cm. Χρησιμοποιήστε π = 3.1.

Σχεδιασμός του κορμού ενός κώνου

Ο πλάνισμα γεωμετρικού στερεού και το αναπαράσταση των προσώπων σας με δισδιάστατο τρόπο. Δείτε παρακάτω το σχέδιο του κορμού του κώνου.

Συνολική επιφάνεια κορμού

Γνωρίζοντας το επίπεδο ενός κωνικού κορμού, είναι δυνατόν να υπολογιστεί η τιμή της συνολικής επιφάνειας αυτού του γεωμετρικού στερεού. Γνωρίζουμε ότι αποτελείται από δύο βάσεις σε σχήμα κύκλου και επίσης από την πλευρική του περιοχή. Η συνολική επιφάνεια του κορμού ενός κώνου είναι το άθροισμα των περιοχών αυτών των τριών περιοχών:

Ο_Τ = Α_σι + Α_σι + Α_εκεί

Ο_Τ → συνολική έκταση

Ο_σι → μεγαλύτερη επιφάνεια βάσης

Ο_σι → μικρότερη βασική έκταση

Ο_μεγάλο → πλαϊνή περιοχή

Σημειώστε ότι οι βάσεις είναι κύκλοι και ότι η πλευρική περιοχή ξεκινά από έναν κύκλο, οπότε:

Ο_εκεί = πg (R + r)

Ο_σι = πR²

Ο_σι = πr²

Παράδειγμα:

Υπολογίστε τη συνολική επιφάνεια του κορμού του κώνου που έχει ύψος ίσο με 12 cm, ακτίνα βάσης μεγαλύτερη ίσο με 10 cm και ακτίνα βάσης μικρότερη από 5 cm. Χρησιμοποιήστε π = 3.

Πρώτα θα βρούμε το generatrix για τον υπολογισμό της πλευρικής περιοχής:

g² = 12² + (10 - 5) ²
g² = 12² + 5²
g² = 144 + 25
g² = 169
g = √169
g = 13

Ο_εκεί = πg (R + r)
Ο_εκεί = 3 · 13 (10 + 5)
Ο_εκεί = 39 · 15
Ο_εκεί = 39 · 15
Ο_εκεί = 585 cm²

Τώρα θα υπολογίσουμε την επιφάνεια κάθε μιας από τις βάσεις:

Ο_σι = πR²
Ο_σι = 3 · 10²
Ο_σι = 3 · 100
Ο_σι = 300 cm²

Ο_σι = πr²
Ο_σι= 3 · 5²
Ο_σι= 3 · 25
Ο_σι= 75 cm²

Ο_Τ = Α_σι + Α_σι + Α_εκεί
Ο_Τ = 300+ 75 + 585 = 960 cm²

Δείτε επίσης: Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ κύκλου και περιφέρειας;

Οι ασκήσεις λύθηκαν

Ερώτηση 1 - (Enem 2013) Ένας μάγειρας, ειδικός στην κατασκευή κέικ, χρησιμοποιεί ένα καλούπι με τη μορφή που φαίνεται στο σχήμα:

Προσδιορίζει την αναπαράσταση δύο τρισδιάστατων γεωμετρικών σχημάτων. Αυτά τα στοιχεία είναι:

Α) κρούστα κώνου και κύλινδρο.

Β) έναν κώνο και έναν κύλινδρο.

Γ) κορμός πυραμίδας και κυλίνδρου.

Δ) δύο κωνικοί κορμοί.

Ε) δύο κύλινδροι.

Ανάλυση

Εναλλακτική Δ. Αναλύοντας τα γεωμετρικά στερεά, τα δύο έχουν δύο κυκλικές όψεις διαφορετικών μεγεθών, οπότε είναι κώνους.

Ερώτηση 2 - (Nucepe) Πώς είναι και τι είναι κυρίως ένα φλιτζάνι, όλοι γνωρίζουμε: σερβίρετε ποτά, ειδικά ζεστά. Αλλά από πού προήλθε η ιδέα της δημιουργίας ενός "γυαλιού με λαβή";

Το τσάι, το οποίο έχει ανατολίτικη προέλευση, σερβίρεται αρχικά σε στρογγυλά, χειροποίητα αγγεία. Σύμφωνα με την παράδοση, αυτό ήταν ακόμη μια προειδοποίηση για όσους διεξήγαγαν την τελετή κατανάλωσης: Εάν το δοχείο έκαψε τα δάχτυλά σας, ήταν πολύ ζεστό για να πιει. Στην ιδανική θερμοκρασία, δεν ενοχλούσε, ακόμη και με άμεση επαφή με την πορσελάνη.

Πηγή: http://www.mexidodeideias.com.br/viagem/a-historia-da-xicara. Πρόσβαση στις 01/06/2018.

Ένα φλυτζάνι τσαγιού έχει σχήμα ίσιο κορμό, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Ποιος είναι ο κατά προσέγγιση μέγιστος όγκος υγρού που μπορεί να περιέχει;

Α) 168 cm³

Β) 172 cm³

Γ) 166 cm³

Δ) 176 cm³

Ε) 164 cm³

Ανάλυση

Εναλλακτική Δ.

Για να βρείτε τον όγκο, ας υπολογίσουμε πρώτα την τιμή καθεμιάς από τις ακτίνες. Για να το κάνετε αυτό, απλώς διαιρέστε τη διάμετρο με δύο.

R = 8/2 = 4

r = 4/2 = 2

Εκτός από την ακτίνα, γνωρίζουμε ότι h = 6.

Έτσι, πρέπει:

Η πλησιέστερη τιμή είναι 176 cm³.

Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/tronco-cone.htm