Εξασκήστε τις γνώσεις σας για γραμμικά συστήματα, ένα σημαντικό μαθηματικό θέμα που περιλαμβάνει τη μελέτη ταυτόχρονων εξισώσεων. Με πολλές πρακτικές εφαρμογές, χρησιμοποιούνται για την επίλυση προβλημάτων που αφορούν διαφορετικές μεταβλητές.
Όλες οι ερωτήσεις επιλύονται βήμα προς βήμα, όπου θα χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές μεθόδους, όπως: αντικατάσταση, προσθήκη, εξάλειψη, κλιμάκωση και κανόνας Cramer.
Ερώτηση 1 (μέθοδος αντικατάστασης)
Να προσδιορίσετε το διατεταγμένο ζεύγος που λύνει το παρακάτω σύστημα γραμμικών εξισώσεων.
Απάντηση:
Απομόνωση του x στην πρώτη εξίσωση:
Αντικατάσταση του x στη δεύτερη εξίσωση:
Αντικατάσταση της τιμής του y στην πρώτη εξίσωση.
Έτσι, το διατεταγμένο ζεύγος που λύνει το σύστημα είναι:
Ερώτηση 2 (μέθοδος κλιμάκωσης)
Η λύση στο ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων είναι:
Απάντηση: x = 5, y = 1, z = 2
Το σύστημα είναι ήδη σε μορφή κλιμακίου. Η τρίτη εξίσωση έχει δύο μηδενικούς συντελεστές (y = 0 και x = 0), η δεύτερη εξίσωση έχει μηδενικό συντελεστή (x = 0) και η τρίτη εξίσωση δεν έχει μηδενικούς συντελεστές.
Σε ένα σύστημα κλιμακίου λύνουμε «από κάτω προς τα πάνω», δηλαδή ξεκινάμε από την τρίτη εξίσωση.
Προχωρώντας στην κορυφαία εξίσωση, αντικαθιστούμε z = 2.
Τέλος, αντικαθιστούμε z = 2 και y = 1 στην πρώτη εξίσωση, για να προκύψει x.
Λύση
x = 5, y = 1, z = 2
Ερώτηση 3 (κανόνας ή μέθοδος του Cramer)
Να λύσετε το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων:
Απάντηση: x = 4, y = 0.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer.
Βήμα 1: προσδιορίστε τις ορίζουσες D, Dx και Dy.
Ο πίνακας των συντελεστών είναι:
Καθοριστικός παράγοντας του:
D = 1. 1 - 2. (-1)
D = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3
Για τον υπολογισμό του Dx αντικαθιστούμε τη στήλη των όρων του x με τη στήλη των ανεξάρτητων όρων.
Dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12
Για τον υπολογισμό του Dy, αντικαθιστούμε τους όρους του y με τους ανεξάρτητους όρους.
Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0
βήμα 2: προσδιορίστε τα x και y.
Για να προσδιορίσουμε το x, κάνουμε:
Για να προσδιορίσουμε το y, κάνουμε:
ερώτηση 4
Ένας πωλητής μπλουζών και καπακιών σε μια αθλητική εκδήλωση πούλησε 3 μπλουζάκια και 2 καπέλα, συγκεντρώνοντας συνολικά 220,00 R$. Την επόμενη μέρα, πούλησε 2 πουκάμισα και 3 καπέλα, συγκεντρώνοντας 190,00 R$. Ποια θα ήταν η τιμή ενός T-shirt και η τιμή ενός καπέλου;
α) T-shirt: 60,00 BRL | Καπάκι: 40,00 BRL
β) T-shirt: BRL 40,00 | Καπάκι: 60,00 BRL
γ) T-shirt: BRL 56,00 | Καπάκι: BRL 26.00
δ) T-shirt: 50,00 BRL | Καπάκι: 70,00 BRL
ε) T-shirt: BRL 80,00 | Καπάκι: 30,00 BRL
Ας χαρακτηρίσουμε την τιμή των μπλουζών c και την τιμή των καπέλων β.
Για την πρώτη μέρα έχουμε:
3c + 2b = 220
Για δεύτερη μέρα έχουμε:
2c + 3b = 190
Σχηματίζουμε δύο εξισώσεις με δύο αγνώστους η καθεμία, c και b. Άρα έχουμε ένα σύστημα 2x2 γραμμικών εξισώσεων.
Ανάλυση
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer:
1ο βήμα: ορίζουσα του πίνακα των συντελεστών.
2ο βήμα: ορίζουσα Dc.
Αντικαθιστούμε τη στήλη του c με τον πίνακα ανεξάρτητων όρων.
3ο βήμα: ορίζουσα Δβ.
4ο βήμα: προσδιορίστε την τιμή των c και b.
Απάντηση:
Η τιμή του T-shirt είναι 56,00 R$ και το καπάκι 26,00 R$.
ερώτηση 5
Ένας κινηματογράφος χρεώνει 10,00 R$ ανά εισιτήριο για ενήλικες και 6,00 R$ ανά εισιτήριο για παιδιά. Σε μια μέρα, πουλήθηκαν 80 εισιτήρια και η συνολική είσπραξη ήταν 700,00 R$. Πόσα εισιτήρια για κάθε τύπο πωλήθηκαν;
α) Ενήλικες: 75 | Παιδιά: 25
β) Ενήλικες: 40 | Παιδιά: 40
γ) Ενήλικες: 65 | Παιδιά: 25
δ) Ενήλικες: 30 | Παιδιά: 50
ε) Ενήλικες: 25 | Παιδιά: 75
Θα το ονομάσουμε ως ο η τιμή του εισιτηρίου για ενήλικες και w για παιδιά.
Σε σχέση με τον συνολικό αριθμό εισιτηρίων έχουμε:
a + c = 80
Σχετικά με την τιμή που προκύπτει έχουμε:
10a + 6c = 700
Σχηματίζουμε ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων με δύο εξισώσεις και δύο αγνώστους, δηλαδή ένα σύστημα 2x2.
Ανάλυση
Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο αντικατάστασης.
Απομόνωση του α στην πρώτη εξίσωση:
a = 80 - c
Αντικατάσταση του a στη δεύτερη εξίσωση:
10.(80 - γ) + 6c = 700
800 -10c + 6c = 700
800 - 700 = 10c - 6c
100 = 4c
c = 100/4
c = 25
Αντικαθιστώντας το c στη δεύτερη εξίσωση:
6a + 10c = 700
6α+10. 25 = 700
6ε + 250 = 700
6a = 700 - 250
6a = 450
a = 450/6
α = 75
ερώτηση 6
Ένα κατάστημα πουλά μπλουζάκια, σορτς και παπούτσια. Την πρώτη μέρα, πουλήθηκαν 2 μπλουζάκια, 3 σορτς και 4 ζευγάρια παπούτσια, συνολικού ύψους 350,00 R$. Τη δεύτερη μέρα, πουλήθηκαν 3 μπλουζάκια, 2 σορτς και 1 ζευγάρι παπούτσια, συνολικού ύψους 200,00 R$. Την τρίτη μέρα, πουλήθηκαν 1 μπλουζάκι, 4 σορτς και 2 ζευγάρια παπούτσια, συνολικού ύψους 320,00 R$. Πόσο θα κόστιζε ένα μπλουζάκι, ένα σορτς και ένα ζευγάρι παπούτσια;
α) T-shirt: BRL 56,00 | Βερμούδες: 24,00 R$ | Παπούτσια: 74,00 BRL
β) T-shirt: BRL 40,00 | Βερμούδες: 50,00 R$ | Παπούτσια: 70,00 BRL
γ) T-shirt: BRL 16.00 | Βερμούδες: 58,00 R$ | Παπούτσια: BRL 36,00
δ) T-shirt: 80,00 BRL | Βερμούδες: 50,00 R$ | Παπούτσια: 40,00 BRL
ε) T-shirt: BRL 12.00 | Βερμούδες: 26,00 R$ | Παπούτσια: 56,00 BRL
- c είναι η τιμή των πουκάμισων.
- b είναι η τιμή του σορτς?
- s είναι η τιμή των παπουτσιών.
Για την πρώτη μέρα:
2c + 3b + 4s = 350
Για δεύτερη μέρα:
3c + 2b + s = 200
Για τρίτη μέρα:
c + 4b + 2s = 320
Έχουμε τρεις εξισώσεις και τρεις άγνωστους, σχηματίζοντας ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων 3x3.
Χρησιμοποιώντας τον κανόνα του Cramer.
Ο πίνακας των συντελεστών είναι
Η ορίζουσα του είναι D = 25.
Ο πίνακας στηλών των απαντήσεων είναι:
Για να υπολογίσουμε το Dc, αντικαθιστούμε τον πίνακα αποκρίσεων στήλης με την πρώτη στήλη στον πίνακα των συντελεστών.
dc = 400
Για τον υπολογισμό του Db:
Db = 1450
Για τον υπολογισμό των Ds:
Ds = 900
Για να προσδιορίσουμε τα c, b και s, διαιρούμε τις ορίζουσες Dc, Db και Ds με την κύρια ορίζουσα D.
ερώτηση 7
Ένα εστιατόριο προσφέρει τρεις επιλογές πιάτων: κρέας, σαλάτα και πίτσα. Την πρώτη μέρα, πουλήθηκαν 40 πιάτα με κρέας, 30 πιάτα με σαλάτες και 10 πίτσες, συνολικού ύψους 700,00 R$ σε πωλήσεις. Τη δεύτερη ημέρα, πουλήθηκαν 20 πιάτα με κρέας, 40 πιάτα με σαλάτες και 30 πίτσες, συνολικού ύψους 600,00 R$ σε πωλήσεις. Την τρίτη ημέρα, πουλήθηκαν 10 πιάτα με κρέας, 20 πιάτα με σαλάτες και 40 πίτσες, συνολικού ύψους 500,00 R$ σε πωλήσεις. Πόσο θα κόστιζε κάθε πιάτο;
α) κρέας: 200,00 BRL | σαλάτα: 15,00 R$ | πίτσα: 10,00 BRL
β) κρέας: 150,00 R$ | σαλάτα: 10,00 R$ | πίτσα: 60,00 BRL
γ) κρέας: 100,00 BRL | σαλάτα: 15,00 R$ | πίτσα: 70,00 BRL
δ) κρέας: 200,00 BRL | σαλάτα: 10,00 R$ | πίτσα: BRL 15.00
ε) κρέας: 140,00 BRL | σαλάτα: 20,00 R$ | πίτσα: 80,00 BRL
Χρησιμοποιώντας:
- γ για κρέας?
- s για σαλάτα?
- σ για πίτσα.
Την πρώτη μέρα:
Στη δεύτερη μέρα:
Την τρίτη μέρα:
Η τιμή κάθε πιάτου μπορεί να ληφθεί λύνοντας το σύστημα:
Ανάλυση
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο εξάλειψης.
Πολλαπλασιάστε 20c + 40s + 30p = 6000 επί 2.
Αφαιρέστε τη δεύτερη εξίσωση πίνακα που προκύπτει από την πρώτη.
Στον παραπάνω πίνακα, αντικαθιστούμε αυτήν την εξίσωση με τη δεύτερη.
Πολλαπλασιάζουμε την τρίτη εξίσωση παραπάνω επί 4.
Αφαιρώντας την τρίτη από την πρώτη εξίσωση, παίρνουμε:
Αντικαθιστώντας την εξίσωση που προκύπτει από την τρίτη.
Αφαιρώντας τις εξισώσεις δύο και τρεις, έχουμε:
Από την τρίτη εξίσωση, παίρνουμε p = 80.
Αντικαθιστώντας το p στη δεύτερη εξίσωση:
50s + 50,80 = 5000
50s + 4000 = 5000
50 = 1000
s = 1000/50 = 20
Αντικαθιστώντας τις τιμές των s και p στην πρώτη εξίσωση:
40c + 30,20 + 10,80 = 7000
40c + 600 + 800 = 7000
40c = 7000 - 600 - 800
40c = 5600
c = 5600 / 40 = 140
Λύση
p=80, s=20 και c=140
ερώτηση 8
(UEMG) Στο σχέδιο, το σύστημα αντιπροσωπεύει ένα ζεύγος γραμμών
α) σύμπτωση.
β) διακριτές και παράλληλες.
γ) παράλληλες γραμμές στο σημείο ( 1, -4/3 )
δ) παράλληλες γραμμές στο σημείο ( 5/3, -16/9 )
Πολλαπλασιάζοντας την πρώτη εξίσωση επί δύο και προσθέτοντας τις δύο εξισώσεις:
Αντικατάσταση του x στην εξίσωση Α:
ερώτηση 9
(PUC-MINAS) Ορισμένο εργαστήριο έστειλε 108 παραγγελίες στα φαρμακεία Α, Β και Γ. Είναι γνωστό ότι ο αριθμός των παραγγελιών που στάλθηκαν στο φαρμακείο Β ήταν διπλάσιος από τον συνολικό αριθμό των παραγγελιών που στάλθηκαν στα άλλα δύο φαρμακεία. Επιπλέον, τρεις παραγγελίες πάνω από το μισό ποσό που αποστέλλεται στο φαρμακείο Α στάλθηκαν στο φαρμακείο Γ.
Με βάση αυτές τις πληροφορίες, είναι ΣΩΣΤΟ να αναφέρεται ότι ο συνολικός αριθμός των παραγγελιών που στάλθηκαν στα φαρμακεία Β και Γ ήταν
α) 36
β) 54
γ) 86
δ) 94
Σύμφωνα με την ανακοίνωση έχουμε:
A + B + C = 108.
Επίσης, ότι η ποσότητα του Β ήταν διπλάσια από αυτή του Α + Γ.
B = 2 (A + C)
Τρεις παραγγελίες στάλθηκαν στο φαρμακείο Γ, περισσότερες από τις μισές ποσότητες στάλθηκαν στο φαρμακείο Α.
C = A/2 + 3
Έχουμε εξισώσεις και τρεις άγνωστους.
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντικατάστασης.
Βήμα 1: αντικαταστήστε το τρίτο με το δεύτερο.
Βήμα 2: Αντικαταστήστε το αποτέλεσμα που προέκυψε και την τρίτη εξίσωση στην πρώτη.
Βήμα 3: Αντικαταστήστε την τιμή του A για να προσδιορίσετε τις τιμές των B και C.
B = 3A + 6 = 3,22 + 6 = 72
Για το C:
Βήμα 4: Προσθέστε τις τιμές των B και C.
72 + 14 = 86
ερώτηση 10
(UFRGS 2019) Έτσι ώστε το σύστημα των γραμμικών εξισώσεων δυνατό και καθορισμένο, είναι αναγκαίο και επαρκές αυτό
α) α ∈ R.
β) α = 2.
γ) α = 1.
δ) α ≠ 1.
γ) α ≠ 2.
Ένας από τους τρόπους ταξινόμησης ενός συστήματος ως εφικτού και προσδιορισμού είναι μέσω της μεθόδου του Cramer.
Η προϋπόθεση για αυτό είναι οι ορίζουσες να είναι διαφορετικές από το μηδέν.
Κάνοντας την ορίζουσα D του κύριου πίνακα ίση με μηδέν:
Για να μάθετε περισσότερα σχετικά με τα γραμμικά συστήματα:
- Γραμμικά συστήματα: τι είναι, τύποι και πώς να λυθούν
- Συστήματα Εξισώσεων
- Κλιμάκωση Γραμμικών Συστημάτων
- Ο κανόνας του Cramer
Για περισσότερες ασκήσεις:
- Συστήματα Εξισώσεων 1ου Βαθμού
ΑΣΘ, Ραφαήλ. Ασκήσεις σε λυμένα γραμμικά συστήματα.Όλα έχουν σημασία, [ν.δ.]. Διαθέσιμο σε: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Πρόσβαση σε:
Δείτε και εσείς
- Γραμμικά συστήματα
- Κλιμάκωση Γραμμικών Συστημάτων
- Συστήματα Εξισώσεων
- 11 ασκήσεις για τον πολλαπλασιασμό μήτρας
- Εξίσωση δεύτερου βαθμού
- Ασκήσεις ανισότητας
- 27 Ασκήσεις Βασικών Μαθηματικών
- Ο κανόνας του Cramer