Ο όγκος σφαίρας είναι ο χώρος που καταλαμβάνει αυτό γεωμετρικό στερεό. Μέσα από την ακτίνα του μπάλα — δηλαδή από την απόσταση μεταξύ του κέντρου και της επιφάνειας — είναι δυνατός ο υπολογισμός του όγκου του.
Διαβάστε επίσης: Όγκος γεωμετρικών στερεών
Περίληψη για τον όγκο της σφαίρας
Η σφαίρα είναι α στρογγυλό σώμα που προκύπτει περιστρέφοντας ένα ημικύκλιο γύρω από έναν άξονα που περιέχει τη διάμετρο.
Όλα τα σημεία σε μια σφαίρα βρίσκονται σε απόσταση ίση ή μικρότερη από το r από το κέντρο της σφαίρας.
Ο όγκος της σφαίρας εξαρτάται από το μέτρο της ακτίνας.
Ο τύπος για τον όγκο της σφαίρας είναι \(V=\frac{4·π·r^3}3\)
Μάθημα βίντεο για τον όγκο της σφαίρας
Τι είναι η σφαίρα;
Θεωρούμε ένα σημείο Ο στο διάστημα και ένα τμήμα με μέτρο r. η σφαίρα είναι η στερεό που σχηματίζεται από όλα τα σημεία που βρίσκονται σε απόσταση ίση ή μικρότερη από το r από το Ο. Ονομάζουμε O το κέντρο της σφαίρας και r την ακτίνα της σφαίρας.
η σφαίρα μπορεί επίσης να χαρακτηριστεί ως στερεό της επανάστασης. Σημειώστε ότι η περιστροφή ενός ημικύκλου γύρω από έναν άξονα που περιέχει τη διάμετρό του σχηματίζει μια σφαίρα:
Τύπος όγκου σφαίρας
Για να υπολογίσουμε τον όγκο V μιας σφαίρας, χρησιμοποιούμε τον παρακάτω τύπο, όπου r είναι η ακτίνα της σφαίρας:
\(V=\frac{4·π·r^3}{3}\)
Είναι σημαντικό να παρατηρήσετε το μονάδα μέτρησης ακτίνα για τον προσδιορισμό της μονάδας μέτρησης για τον όγκο. Για παράδειγμα, εάν το r δίνεται σε cm, τότε ο όγκος πρέπει να δίνεται σε cm³.
Πώς να υπολογίσετε τον όγκο της σφαίρας;
Ο υπολογισμός του όγκου της σφαίρας εξαρτάται μόνο από τη μέτρηση της ακτίνας. Ας δούμε ένα παράδειγμα.
Παράδειγμα: Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση π = 3, βρείτε τον όγκο μιας μπάλας του μπάσκετ που έχει διάμετρο 24 εκατοστά.
Δεδομένου ότι η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας, r = 12 cm. Εφαρμόζοντας τον τύπο για τον όγκο της σφαίρας, έχουμε
\(V=\frac{4·π·12^3}3\)
\(V=\frac{4 · π·1728}3\)
\(V=6 912\ cm^3\)
περιφέρειες σφαίρας
Θεωρήστε μια σφαίρα με κέντρο O και ακτίνα r. Σαν αυτό, μπορούμε να θεωρήσουμε τρεις περιοχές αυτής της σφαίρας:
Η εσωτερική περιοχή σχηματίζεται από τα σημεία των οποίων η απόσταση από το κέντρο είναι μικρότερη από την ακτίνα. Αν το P ανήκει στην εσωτερική περιοχή της σφαίρας, τότε
\(D(P, O)
Η περιοχή επιφάνειας σχηματίζεται από τα σημεία των οποίων η απόσταση από το κέντρο είναι ίση με την ακτίνα. Αν το P ανήκει στην περιοχή επιφάνειας της σφαίρας, τότε
\(D(P, O)=r\)
Η εξωτερική περιοχή σχηματίζεται από τα σημεία των οποίων η απόσταση από το κέντρο είναι μεγαλύτερη από την ακτίνα. Αν το P ανήκει στην εσωτερική περιοχή της σφαίρας, τότε
\(D(P, O)>r\)
Κατά συνέπεια, τα σημεία στην εξωτερική περιοχή της σφαίρας δεν ανήκουν στη σφαίρα.
Μάθετε περισσότερα: Σφαιρικό κάλυμμα — στερεό που λαμβάνεται όταν μια σφαίρα τέμνεται από ένα επίπεδο
Άλλοι τύποι σφαίρας
ΕΝΑ περιοχή σφαίρας — δηλαδή η μέτρηση της επιφάνειάς του — έχει επίσης γνωστό τύπο. Αν r είναι η ακτίνα της σφαίρας, το εμβαδόν της Α υπολογίζεται από
\(A=4·π·r^2\)
Σε αυτή την περίπτωση, είναι επίσης σημαντικό να σημειώσετε τη μονάδα μέτρησης για την ακτίνα για να υποδείξετε τη μονάδα μέτρησης για την περιοχή. Για παράδειγμα, αν το r είναι σε cm, τότε το A πρέπει να είναι σε cm².
Λυμένες ασκήσεις για τον όγκο της σφαίρας
ερώτηση 1
Ποια είναι η ακτίνα μιας σφαίρας που έχει όγκο 108 κυβικά εκατοστά; (Χρησιμοποιήστε π = 3).
α) 2 cm
β) 3 cm
γ) 4 cm
δ) 5 cm
ε) 6 cm
Ανάλυση
Εναλλακτική Β.
Σκεφτείτε ότι r είναι η ακτίνα της σφαίρας. Γνωρίζοντας ότι V = 108, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον όγκο της σφαίρας:
\(V=\frac{4·π·r^3}3\)
\(108=\frac{4·3·r^3}3\)
\(108=4·r^3\)
\(r^3=27\)
\(r = 3\ cm\)
Ερώτηση 2
Μια αρχαία σφαιρική δεξαμενή έχει διάμετρο 20 μέτρα και όγκο V1. Επιθυμείται η κατασκευή δεύτερης δεξαμενής, όγκου V2, με διπλάσιο όγκο από την παλιά δεξαμενή. Έτσι, ο V2 είναι το ίδιο με
Ο) \(\frac{3000·π}{8} m^3\)
ΣΙ) \(\frac{3000·π}{4} m^3\)
w) \(\frac{2000·π}{3} m^3\)
ρε) \(\frac{4000·π}{3} m^3\)
Είναι) \(\frac{8000·π}{3} m^3\)
Ανάλυση
Ε εναλλακτική.
Καθώς η διάμετρος είναι διπλάσια της ακτίνας, η παλιά δεξαμενή έχει ακτίνα r = 10 μέτρα. Επομένως
\(V_1=\frac{4·π·r^3}3\)
\(V_1=\frac{4·π·10^3}3\)
\(V_1=\frac{4000·π}3\ m^3\)
Σύμφωνα με τη δήλωση, \(V_2=2·V_1\), δηλ
\(V_2=\frac{8000·π}3 m^3\)
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-da-esfera.htm