ΕΝΑ εφαπτομένη γραμμή (συντομογραφία tg ή tan) είναι α τριγωνομετρική συνάρτηση. Για να προσδιορίσουμε την εφαπτομένη μιας γωνίας, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε διαφορετικές στρατηγικές: να υπολογίσουμε την αναλογία μεταξύ του ημιτόνου και του συνημιτόνου της γωνίας, εάν είναι γνωστά. χρησιμοποιήστε έναν πίνακα εφαπτομένων ή μια αριθμομηχανή. να υπολογίσετε την αναλογία μεταξύ του απέναντι σκέλους και του διπλανού, εάν η εν λόγω γωνία είναι μεταξύ άλλων εσωτερική (οξεία) ορθογωνίου τριγώνου.
Διαβάστε επίσης: Σε τι χρησιμεύει ο τριγωνομετρικός κύκλος;
περίληψη για την εφαπτομένη
Η εφαπτομένη είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση.
Η εφαπτομένη μιας εσωτερικής γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.
Η εφαπτομένη οποιασδήποτε γωνίας είναι ο λόγος του ημιτόνου και του συνημιτόνου αυτής της γωνίας.
Η λειτουργία \(f (x)=tg\ x\) ορίζεται για γωνίες Χ εκφράζεται σε ακτίνια, έτσι ώστε cos \(cos\ x≠0\).
Η γραφική παράσταση της εφαπτομένης συνάρτησης δείχνει κάθετες ασύμπτωτες για τις τιμές, όπου \(x= \frac{π}2+kπ\), με κ ολόκληρος, όπως \(x=-\frac{π}2\).
Ο νόμος των εφαπτομένων είναι μια έκφραση που συνδέει, σε οποιοδήποτε τρίγωνο, τις εφαπτομένες δύο γωνιών και τις πλευρές απέναντι από αυτές τις γωνίες.
Εφαπτομένη γωνίας
Αν το α είναι ένα γωνία εσωτερικό του α ορθογώνιο τρίγωνο, η εφαπτομένη του α είναι ο λόγος μεταξύ του μήκους του απέναντι σκέλους και του μήκους του διπλανού σκέλους:
Για οποιαδήποτε γωνία α, η εφαπτομένη είναι ο λόγος μεταξύ του sin α και του συνημιτόνου του α, όπου \(cos\ α≠0\):
\(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\)
Πρέπει να σημειωθεί ότι αν το α είναι γωνία στο 1ο ή 3ο τεταρτημόριο, η εφαπτομένη θα έχει θετικό πρόσημο. αλλά αν το α είναι γωνία του 2ου ή 4ου τεταρτημορίου, η εφαπτομένη θα έχει αρνητικό πρόσημο. Αυτή η σχέση προκύπτει άμεσα από τον κανόνα του πρόσημου μεταξύ των ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών για κάθε α.
Σπουδαίος: Σημειώστε ότι η εφαπτομένη δεν υπάρχει για τιμές του α όπου \(cos\ α=0\). Αυτό συμβαίνει για γωνίες 90°, 270°, 450°, 630° και ούτω καθεξής. Για να αναπαραστήσουμε αυτές τις γωνίες με γενικό τρόπο, χρησιμοποιούμε συμβολισμό ακτίνων: \(\frac{ π}2+kπ\), με κ ολόκληρος.
Εφαπτομένη αξιοσημείωτων γωνιών
Χρησιμοποιώντας την έκφραση \(tg\ α=\frac{sin\ α}{cos\ α}\), μπορούμε να βρούμε τις εφαπτομένες του αξιόλογες γωνίες, που είναι οι γωνίες των 30°, 45° και 60°:
\(tg\ 30°=\frac{sin\ 30°}{cos\ 30°}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=\frac{1}{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}\)
\(tg\ 45°=\frac{sin\ 45°}{cos\ 45°} = \frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt2}{2}}=1\)
\(tg\ 60°=\frac{sin\ 60°}{cos\ 60°}=\frac{\frac{\sqrt3}{2}}{\frac{1}2}=\sqrt3\)
Ενδιαφέρων: Εκτός από αυτά, μπορούμε να αναλύσουμε τις εφαπτομενικές τιμές για τις γωνίες των 0° και 90°, οι οποίες χρησιμοποιούνται επίσης ευρέως. Εφόσον η αμαρτία είναι 0° = 0, συμπεραίνουμε ότι το tan 0° = 0. Για τη γωνία 90°, αφού cos90° = 0, η εφαπτομένη δεν υπάρχει.
Πώς να υπολογίσετε την εφαπτομένη;
Για να υπολογίσουμε την εφαπτομένη, χρησιμοποιούμε τον τύπο tg α=sin αcos α, που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της εφαπτομένης οποιασδήποτε γωνίας. Ας δούμε μερικά παραδείγματα παρακάτω.
Παράδειγμα 1
Βρείτε την εφαπτομένη της γωνίας α στο ορθογώνιο τρίγωνο παρακάτω.
Ανάλυση:
Όσον αφορά τη γωνία α, η πλευρά του μέτρου 6 είναι η απέναντι πλευρά και η πλευρά του μέτρου 8 είναι η διπλανή πλευρά. Σαν αυτό:
\(tg\ α=\frac{6}8=0,75\)
Παράδειγμα 2
Γνωρίζοντας ότι \(αμαρτία\ 35°≈0,573\) και συν\(35°≈0,819\), βρείτε την κατά προσέγγιση τιμή για την εφαπτομένη 35°.
Ανάλυση:
Εφόσον η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι ο λόγος μεταξύ του ημιτόνου και του συνημιτόνου αυτής της γωνίας, έχουμε:
\(tg\ 35°=\frac{sin\ 35°}{cos\ 35°}= \frac{0,573}{0,819}\)
\(tg\ 35°≈0,700\)
συνάρτηση εφαπτομένης
Η συνάρτηση fx=tg x ορίζεται για γωνίες Χ εκφράζεται σε ακτίνια, έτσι ώστε \(cos\ x≠0\). Αυτό σημαίνει ότι το πεδίο ορισμού της εφαπτομένης συνάρτησης εκφράζεται ως εξής:
\(D(tg)=\{x∈ \mathbb{R}:x≠\frac{π}2+kπ, k∈ \mathbb{Z} \}\)
Επιπλέον, όλα πραγματικούς αριθμούς είναι η εικόνα της εφαπτομένης συνάρτησης.
→ Γράφημα της εφαπτομένης συνάρτησης
Σημειώστε ότι το γράφημα της εφαπτομενικής συνάρτησης έχει κάθετες ασύμπτωτες για τις τιμές όπου \(x= \frac{π}2+kπ\), με κ ολόκληρος, όπως \( x=-\frac{π}2\). Για αυτές τις αξίες του Χ, η εφαπτομένη δεν ορίζεται (δηλαδή η εφαπτομένη δεν υπάρχει).
Δείτε επίσης: Τι είναι ο τομέας, το εύρος και η εικόνα;
νόμος των εφαπτομένων
Ο νόμος των εφαπτομένων είναι α έκφραση που συνδέει, σε α τρίγωνο οποιαδήποτε, οι εφαπτομένες δύο γωνιών και οι πλευρές απέναντι από αυτές τις γωνίες. Για παράδειγμα, θεωρήστε τις γωνίες α και β του τριγώνου ABC παρακάτω. Σημειώστε ότι η πλευρά CB = a είναι απέναντι από τη γωνία α και ότι η πλευρά AC = b είναι απέναντι από τη γωνία β.
Ο νόμος των εφαπτομένων λέει ότι:
\(\frac{a-b}{a+b}=\frac{tg\ [\frac{1}2(α-β)]}{tg\ [\frac{1}2 (α+β)]}\)
τριγωνομετρικές αναλογίες
Στο τριγωνομετρικές αναλογίες είναι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις που δουλεύονται στο ορθογώνιο τρίγωνο. Ερμηνεύουμε αυτούς τους λόγους ως σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών αυτού του τύπου τριγώνου.
Λυμένες ασκήσεις στην εφαπτομένη
ερώτηση 1
Έστω θ μια γωνία του δεύτερου τεταρτημορίου τέτοια ώστε η αμαρτία\(sin\ θ≈0,978\), άρα το tgθ είναι περίπου:
Α) -4.688
Β) 4.688
Γ) 0,2086
Δ) -0,2086
Ε) 1
Ανάλυση
Εναλλακτική Α
αν \(sin\ θ≈0,978\), στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη θεμελιώδη ταυτότητα της τριγωνομετρίας:
\(sin^2 θ+cos^2 θ=1\)
\(0,978^2+cos^2 θ=1\)
\(cos^2 θ=1-0,956484\)
\(cos\ θ=±\sqrt{0.043516}\)
Εφόσον το θ είναι γωνία του δεύτερου τεταρτημορίου, τότε το cosθ είναι αρνητικό, επομένως:
\(cos\ θ≈- 0,2086\)
Σύντομα:
\(tg\ θ=\frac{sin\ θ}{cos\ θ}=\frac{0,978}{-0,2086}=-4,688\)
Ερώτηση 2
Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC με σκέλη AB = 3 cm και AC = 4 cm. Η εφαπτομένη της γωνίας Β είναι:
ΕΝΑ) \(\frac{3}4\)
ΣΙ) \(\frac{3}5\)
W) \(\frac{4}3\)
ΡΕ) \(\frac{4}5\)
ΚΑΙ) \(\frac{5}3\)
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ
Με τη δήλωση, το πόδι απέναντι από τη γωνία \(\καπέλο{B}\) είναι το AC με διάσταση 4 cm και το πόδι δίπλα στη γωνία \(\καπέλο{B}\) είναι ΑΒ με μέτρο 3 cm. Σαν αυτό:
\(tg\hat{C}=\frac{4}3\)
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
