διαχωριστική γραμμή και το κάθετη γραμμή σε ένα τμήμα που τέμνει το μέσο του. Μπορούμε να κατασκευάσουμε την κάθετη διχοτόμο ενός τμήματος χρησιμοποιώντας χάρακα και πυξίδα. Πάνω σε τρίγωνο, οι διχοτόμοι είναι ευθείες κάθετες στις πλευρές που περιέχουν τα μέσα τους. Έτσι, ένα τρίγωνο έχει τρεις κάθετες διχοτόμους. Το σημείο όπου συναντώνται αυτές οι διχοτόμοι ονομάζεται περίκεντρο και αποτελεί το κέντρο του κύκλου που περικλείεται στο τρίγωνο.
Διαβάστε επίσης: Απόσταση μεταξύ δύο σημείων — η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων στο καρτεσιανό επίπεδο
Θέματα αυτού του άρθρου
- 1 - Περίληψη για διχοτόμο
- 2 - Τι είναι η διχοτόμος;
- 3 - Πώς να φτιάξετε την κάθετη διχοτόμο;
- 4 - Πώς να βρείτε την διχοτόμο εξίσωση;
- 5 - Διχοτόμος τριγώνου
- 6 - Διαφορές μεταξύ διχοτόμου, μέσης, διχοτόμου και ύψους τριγώνου
- 7 - Λυμένες ασκήσεις σε διχοτόμο
Διχοτόμος είναι η ευθεία κάθετο σε τμήμα που διέρχεται από το μέσο.
Τα σημεία μιας κάθετης διχοτόμου έχουν ίση απόσταση από τα τελικά σημεία του τμήματος.
Η κάθετη διχοτόμος μπορεί να κατασκευαστεί με χάρακα και πυξίδα.
Η εξίσωση μιας κάθετης διχοτόμου μπορεί να προσδιοριστεί με βάση τις συντεταγμένες των τελικών σημείων του τμήματος.
Ένα τρίγωνο έχει τρεις κάθετες διχοτόμους, μία σε σχέση με κάθε πλευρά.
Το σημείο τομής των διχοτόμων ενός τριγώνου ονομάζεται περίκεντρο. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Η διχοτόμος ενός τριγώνου διαφέρει από τη διάμεσο, τη διχοτόμο και το ύψος ενός τριγώνου.
Μη σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη δημοσιότητα ;)
Με δεδομένο ένα τμήμα, η κάθετη διχοτόμος είναι η ευθεία κάθετη στο τμήμα που σε αναχαιτίζει μεσαίο σημείο.
Μια σημαντική συνέπεια αυτού του ορισμού είναι ότι όλα τα σημεία σε μια κάθετη διχοτόμο έχουν την ίδια απόσταση από τα τελικά σημεία του τμήματος. Στη μαθηματική συμβολολογία, αν το ΑΒ είναι τμήμα και το σημείο P ανήκει στη διχοτόμο, τότε PA = PB.
Για να κατασκευάσουμε την κάθετη διχοτόμο ενός τμήματος, χρειαζόμαστε μόνο χάρακα και πυξίδα. Τα βήματα για την κατασκευή είναι τα εξής:
Βήμα 1: Με δεδομένο ένα τμήμα ΑΒ, ανοίξτε την πυξίδα με μήκος μεγαλύτερο από το μισό τμήμα. Υπόδειξη: μια δυνατότητα είναι να χρησιμοποιήσετε το μήκος του ίδιου του τμήματος.
Βήμα 2: ζωγραφίστε ένα περιφέρεια με κέντρο στο ένα άκρο του τμήματος και ακτίνα με το μέτρο που επιλέχθηκε στο βήμα 1.
Βήμα 3: Επαναλάβετε το βήμα 2 για το άλλο άκρο του τμήματος.
Βήμα 4: Ενώστε τα σημεία τομής των κύκλων με τον χάρακα.
Εφόσον η κάθετη διχοτόμος είναι ευθεία γραμμή, μπορούμε να προσδιορίσουμε το α εξίσωση που περιγράφει τα σημεία σας, την ύπαρξη r η γραμμή που περιέχει ένα τμήμα ΑΒ χαρίστηκε, μικρό η διχοτόμος αυτού του τμήματος και Π (x, y) οποιοδήποτε σημείο της κάθετης διχοτόμου.
Υποθέτοντας ότι οι συντεταγμένες των σημείων ΕΝΑ είναι σι είναι γνωστά, μπορούμε να λάβουμε τον γωνιακό συντελεστή n της ευθείας r. Οπως και r είναι μικρό είναι κάθετες, η κλίση Μ της ευθείας μικρό (η κάθετη διχοτόμος) μπορεί επίσης να βρεθεί, καθώς είναι το αντίθετο του πολλαπλασιαστικού αντιστρόφου του n. Χρησιμοποιώντας την έκφραση για τη θεμελιώδη εξίσωση της ευθείας, \(y-y_0=m (x-x_0 )\), σε τι \(M(x\_0,y\_0)\) είναι το μέσο του ΑΒ, έχουμε συμπληρώσει την διχοτόμο εξίσωση.
Παράδειγμα:
Να προσδιορίσετε την διχοτόμο του τμήματος που προσδιορίζεται από τα σημεία Α(1,2) και Β(3,6).
Ανάλυση:
Αρχικά, ας πάρουμε την κλίση n της ευθείας r που περιέχει το τμήμα ΑΒ:
\(n_r=\frac{Δ y}{Δ x}=\frac{6-2}{3-1}=\frac{4}2 =2\)
Τώρα αναζητούμε το μέσο M του τμήματος ΑΒ:
\(M(x_0,y_0 )=M(\frac{1+3}{2},\frac{2+6}{2})=M(2,4)\)
Να θυμάστε ότι η κάθετη διχοτόμος μικρό η επιθυμητή είναι κάθετη στη γραμμή r (το οποίο περιέχει το τμήμα ΑΒ). Στη συνέχεια, ο γωνιακός συντελεστής Μ της ευθείας μικρό και ο γωνιακός συντελεστής n της ευθείας r σχετίζονται ως εξής:
\(m_s=\frac{-1}{n_r} \)
Επομένως, \( m_s=\frac{-1}2\).
Τέλος, χρησιμοποιούμε τη θεμελιώδη εξίσωση της ευθείας για να προσδιορίσουμε τη διχοτόμο s, μια ευθεία που έχει κλίση ίση με \(-\frac{1}2\) και διέρχεται από το σημείο (2,4):
\(y-y_0=m\cdot (x-x_0 )\)
\(y-4=-\frac{1}2\cdot (x-2)\)
\(y=-\frac{1}2 x+5\)
Οι τρεις πλευρές ενός τριγώνου είναι ευθύγραμμα τμήματα. Έτσι, ο όρος «διχοτόμος τριγώνου» αναφέρεται στη διχοτόμο μιας από τις πλευρές αυτού του γεωμετρικού σχήματος. Επομένως, το τρίγωνοέχει τρεις διχοτόμους. Δες παρακάτω:
Το σημείο όπου συναντώνται οι διχοτόμοι ενός τριγώνου ονομάζεται περίκεντρο., αφού είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται στο τρίγωνο (δηλαδή ο κύκλος που διέρχεται από τις τρεις κορυφές του τριγώνου).
Σπουδαίος:Καθώς το περίκεντρο είναι ένα σημείο κοινό με τις τρεις κάθετες διχοτόμους, η απόστασή του από καθεμία από τις κορυφές είναι η ίδια. Στη μαθηματική συμβολολογία, αν ρε είναι το περίκεντρο του τριγώνου αλφάβητο, έπειτα \(AD=BD=CD\).
Διχοτόμος, διάμεσος, διχοτόμος και ύψος τριγώνου είναι διαφορετικές έννοιες. Ας δούμε το καθένα ξεχωριστά και μετά μαζί.
Διχοτόμος τριγώνου: είναι η ευθεία κάθετη σε μια από τις πλευρές που τέμνει το μέσο της.
Διάμεσος τριγώνου: είναι το τμήμα με τα τελικά σημεία σε μια κορυφή του τριγώνου και στο μέσο της πλευράς απέναντι από την κορυφή.
Διχοτόμος τριγώνου: είναι το τμήμα που διαιρεί στο μισό του γωνίες πλευρές του τριγώνου, με άκρα σε μία από τις κορυφές και στην αντίθετη πλευρά.
Ύψος τριγώνου: είναι το τμήμα κάθετο σε μία από τις πλευρές με άκρο σε γωνία απέναντι από την πλευρά.
Στην παρακάτω εικόνα, επισημαίνουμε, σε σχέση με το τμήμα BC του τριγώνου, το ύψος (διακεκομμένη παύλα σε πορτοκαλί) η διχοτόμος (διακεκομμένη γραμμή σε μωβ), η διάμεσος (διακεκομμένη γραμμή σε πράσινο) και η κάθετη διχοτόμος (συμπαγής γραμμή σε το κόκκινο).
Σπουδαίος: Πάνω σε ισόπλευρο τρίγωνο, δηλαδή που έχει τις τρεις πλευρές και τις τρεις γωνίες ίσες, οι διχοτόμοι, οι διάμεσοι, οι διχοτόμοι και τα ύψη συμπίπτουν. Κατά συνέπεια, το αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου (περικέντρο, βαρύκεντρο, κέντρο και ορθόκεντρο) συμπίπτουν επίσης. Στην παρακάτω εικόνα, επισημαίνουμε, σε σχέση με το τμήμα BC, τη διχοτόμο, τη διάμεσο, τη διχοτόμο και το ύψος σε συνεχή μαύρη γραμμή. Το τονισμένο σημείο Ε είναι επομένως το περίκεντρο, το βαρύκεντρο, το κέντρο και το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC.
Δείτε επίσης: Μετρικές σχέσεις στο εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο — ποιες είναι αυτές;
ερώτηση 1
Εξετάστε τις παρακάτω δηλώσεις.
Εγώ. Η διχοτόμος ενός τριγώνου είναι το τμήμα που ξεκινά από μια κορυφή και διασχίζει το μέσο της απέναντι πλευράς.
II. Το σημείο όπου συναντώνται οι διχοτόμοι ενός τριγώνου ονομάζεται περίκεντρο. Αυτό το σημείο είναι το κέντρο του κύκλου που περικλείεται στο τρίγωνο και απέχει από τις κορυφές.
III. Η διχοτόμος ενός τμήματος είναι η κάθετη ευθεία που τέμνει το τμήμα στο μέσο.
Ποια εναλλακτική περιέχει τις σωστές;
Α) Μόνο εγώ.
Β) ΙΙ, μόνο.
Γ) III, μόνο.
Δ) I και II.
Ε) II και III.
Ανάλυση:
Εναλλακτική Ε
Η πρόταση I είναι η μόνη λανθασμένη, καθώς περιγράφει τη διάμεσο ενός τριγώνου.
Ερώτηση 2
(Enem — προσαρμογή) Τα τελευταία χρόνια, η τηλεόραση έχει υποστεί μια πραγματική επανάσταση όσον αφορά την ποιότητα της εικόνας, τον ήχο και τη διαδραστικότητα με τον θεατή. Αυτός ο μετασχηματισμός οφείλεται στη μετατροπή του αναλογικού σήματος σε ψηφιακό. Ωστόσο, πολλές πόλεις εξακολουθούν να μην διαθέτουν αυτή τη νέα τεχνολογία. Επιδιώκοντας να φέρει αυτά τα οφέλη σε τρεις πόλεις, ένας τηλεοπτικός σταθμός σκοπεύει να κατασκευάσει έναν νέο πύργο μετάδοσης που στέλνει σήμα στις κεραίες A, B και C, που ήδη υπάρχουν σε αυτές τις πόλεις. Οι θέσεις των κεραιών αντιπροσωπεύονται στο καρτεσιανό επίπεδο:
Ο πύργος πρέπει να βρίσκεται σε ίση απόσταση από τις τρεις κεραίες. Το κατάλληλο μέρος για την κατασκευή αυτού του πύργου αντιστοιχεί στο σημείο των συντεταγμένων
Α) (65, 35).
Β) (53, 30).
C) (45, 35).
Δ) (50, 20).
Ε) (50, 30).
Ανάλυση:
Εναλλακτική Ε
Σημειώστε ότι η θέση για τον πύργο πρέπει να είναι η περιφέρεια του τριγώνου που σχηματίζεται από τα σημεία Α, Β και Γ, καθώς είναι η ίση απόσταση των τριών κεραιών.
Οι συντεταγμένες για τον πύργο Τ είναι\( (x_t, y_t )\). Εφόσον το T ανήκει στη διχοτόμο του ΑΒ (δίνεται από την ευθεία x = 50), η οριζόντια θέση του πύργου πρέπει να είναι \(x_t=50\).
Για τον προσδιορισμό της οριζόντιας συντεταγμένης \(y_t\) του πύργου, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την έκφραση για την απόσταση μεταξύ δύο σημείων δύο φορές. Καθώς ο πύργος απέχει, για παράδειγμα, από τις κορυφές A και C (AT = CT), έχουμε:
\(\sqrt{(30-50)^2+(20-y_t )^2}=\sqrt{(60-50)^2+(50-y_t )^2}\)
Απλοποιώντας, παίρνουμε \(y_t=30\).
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Μάθετε ποιο είναι το απόθεμα ενός πολυγώνου και πώς να υπολογίσετε το μέτρο του. Γνωρίστε επίσης τους κύριους τύπους για αυτόν τον υπολογισμό.
Δείτε εδώ τα κύρια χαρακτηριστικά της περιφέρειας και μάθετε πώς να υπολογίζετε το εμβαδόν και το μήκος της. Δείτε επίσης πώς να γράψετε την εξίσωση ενός κύκλου.
Προσδιορισμός της εφαπτομένης της γωνίας κλίσης της ευθείας.
Η μικρότερη απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή. Δείτε πώς να υπολογίσετε αυτήν την απόσταση και μάθετε πώς να δημιουργήσετε μια μαθηματική σχέση για να την προσδιορίσετε
Μάθετε ποια είναι η γενική εξίσωση της γραμμής και πώς να τη βρείτε, εκτός από τον έλεγχο της γραφικής αναπαράστασης μιας γραμμής από την εξίσωσή της.
Μάθετε πώς να υπολογίζετε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος χρησιμοποιώντας Αναλυτική Γεωμετρία!
Δείτε εδώ τα αξιοσημείωτα σημεία ενός τριγώνου και μάθετε τις κύριες ιδιότητές του. Δείτε επίσης πώς αυτά τα σημεία μπορούν να διευκολύνουν την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.
Κατανοήστε τι είναι οι κάθετες ευθείες και μάθετε ποια είναι η προϋπόθεση για δύο ευθείες που αναπαριστώνται στο Καρτεσιανό επίπεδο να είναι κάθετες ή όχι.
