Ο τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο διασποράς, όπως και η διακύμανση και ο συντελεστής διακύμανσης. Κατά τον προσδιορισμό της τυπικής απόκλισης, μπορούμε να καθορίσουμε ένα εύρος γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο (διαίρεση μεταξύ του αθροίσματος των αριθμών σε μια λίστα και του αριθμού των αριθμών που προστέθηκαν) όπου συγκεντρώνονται τα περισσότερα δεδομένα. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τυπικής απόκλισης, τόσο μεγαλύτερη είναι η μεταβλητότητα των δεδομένων, δηλαδή τόσο μεγαλύτερη η απόκλιση από τον αριθμητικό μέσο όρο.
Διαβάστε επίσης: Τρόπος, μέσος όρος και διάμεσος — τα κύρια μέτρα κεντρικών τάσεων
Θέματα αυτού του άρθρου
- 1 - Σύνοψη τυπικής απόκλισης
- 2 - Τι είναι η τυπική απόκλιση;
- 3 - Πώς να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση;
- 4 - Ποιοι είναι οι τύποι τυπικής απόκλισης;
- 5 - Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ τυπικής απόκλισης και διακύμανσης;
- 6 - Λυμένες ασκήσεις για την τυπική απόκλιση
Σύνοψη τυπικής απόκλισης
- Η τυπική απόκλιση είναι ένα μέτρο μεταβλητότητας.
- Ο συμβολισμός τυπικής απόκλισης είναι το πεζό ελληνικό γράμμα σίγμα (σ) ή το γράμμα s.
- Η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται για την επαλήθευση της μεταβλητότητας των δεδομένων γύρω από τον μέσο όρο.
- Η τυπική απόκλιση καθορίζει ένα εύρος \(\αριστερά[\mu-\sigma,\mu+\sigma\right]\), όπου βρίσκονται τα περισσότερα δεδομένα.
- Για να υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση, πρέπει να βρούμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\αριστερά (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
Τι είναι η τυπική απόκλιση;
Η τυπική απόκλιση είναι α μέτρο διασποράς που εγκρίθηκε στις στατιστικές. Η χρήση του συνδέεται με ερμηνεία διακύμανσης, που είναι και ένα μέτρο διασποράς.
Στην πράξη, η τυπική απόκλιση καθορίζει ένα διάστημα, με κέντρο τον αριθμητικό μέσο όρο, στο οποίο συγκεντρώνονται τα περισσότερα δεδομένα. Έτσι, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τυπικής απόκλισης, τόσο μεγαλύτερη είναι η παρατυπία των δεδομένων (περισσότερες πληροφορίες ετερογενής), και όσο μικρότερη είναι η τιμή της τυπικής απόκλισης, τόσο μικρότερη είναι η παρατυπία των δεδομένων (περισσότερες πληροφορίες ομοιογενής).
Μη σταματάς τώρα... Υπάρχουν περισσότερα μετά τη δημοσιότητα ;)
Πώς να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση;
Για να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση ενός συνόλου δεδομένων, πρέπει να βρούμε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης. Άρα, ο τύπος για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης είναι
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\αριστερά (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
- \(x_1,x_2,x_3,\lddots, x_N\) → εμπλεκόμενα δεδομένα.
- μ → αριθμητικός μέσος όρος των δεδομένων.
- N → ποσότητα δεδομένων.
- \( \sum_{i=1}^{N}\αριστερά (x_i-\mu\right)^2\ =\ \αριστερά (x_1-\mu\right)^2+\αριστερά (x_2-\mu\right )^2+\αριστερά (x_3-\mu\right)^2+...+\αριστερά (x_N-\mu\right)^2 \)
Το τελευταίο στοιχείο, που αναφέρεται στον αριθμητή του ριζικού, υποδεικνύει το άθροισμα των τετραγώνων της διαφοράς μεταξύ κάθε σημείου δεδομένων και του αριθμητικού μέσου όρου. Παρακαλούμε να σημειώσετε ότι η μονάδα μέτρησης για την τυπική απόκλιση είναι η ίδια μονάδα μέτρησης με τα δεδομένα Χ1,Χ2,Χ3,…,ΧΟχι.
Αν και η γραφή αυτού του τύπου είναι λίγο περίπλοκη, η εφαρμογή του είναι απλούστερη και πιο άμεση. Παρακάτω είναι ένα παράδειγμα του τρόπου χρήσης αυτής της έκφρασης για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης.
- Παράδειγμα:
Για δύο εβδομάδες, καταγράφηκαν οι ακόλουθες θερμοκρασίες σε μια πόλη:
Καθημερινή |
Κυριακή |
Δεύτερος |
Τρίτος |
Τέταρτος |
Πέμπτος |
Παρασκευή |
Σάββατο |
εβδομάδα 1 |
29°C |
30°C |
31°C |
31,5°C |
28°C |
28,5°C |
29°C |
εβδομάδα 2 |
28,5°C |
27°C |
28°C |
29°C |
30°C |
28°C |
29°C |
Σε ποια από τις δύο εβδομάδες η θερμοκρασία παρέμεινε πιο κανονική σε αυτή την πόλη;
Ανάλυση:
Για να αναλύσουμε την κανονικότητα της θερμοκρασίας, πρέπει να συγκρίνουμε τις τυπικές αποκλίσεις των θερμοκρασιών που καταγράφηκαν στις εβδομάδες 1 και 2.
- Ας δούμε πρώτα την τυπική απόκλιση για την εβδομάδα 1:
Σημειώστε ότι ο μέσος όρος μ1 είναι Οχι1 αυτοί είναι
\(\mu_1=\frac{29+30+31+31,5+28+28,5+29}{7}\περίπου 29,57\)
\(N_1=7 \) (7 ημέρες την εβδομάδα)
Επίσης, πρέπει να υπολογίσουμε το τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ κάθε θερμοκρασίας και της μέσης θερμοκρασίας.
\(\αριστερά (29-29,57\δεξιά)^2=0,3249\)
\(\αριστερά (30-29,57\δεξιά)^2=0,1849\)
\(\αριστερά (31-29,57\δεξιά)^2=2,0449\)
\(\αριστερά (31,5-29,57\δεξιά)^2=3,7249\)
\(\αριστερά (28-29,57\δεξιά)^2=2,4649\)
\(\αριστερά (28,5-29,57\δεξιά)^2=1,1449\)
\(\αριστερά (29-29,57\δεξιά)^2=0,3249\)
Προσθέτοντας τα αποτελέσματα, έχουμε ότι ο αριθμητής του ριζικού στον τύπο τυπικής απόκλισης είναι
\(0,3249\ +\ 0,1849\ +2,0449+3,7249+2,4649+1,1449+0,3249\ =\ 10,2143\)
Άρα η τυπική απόκλιση της εβδομάδας 1 είναι
\(\sigma_1=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\αριστερά (x_i-\mu_1\right)^2}{N_1}}=\sqrt{\frac{10,2143} {7}}\ \περίπου 1,208\ °C\)
Σημείωση: Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι τις περισσότερες θερμοκρασίες της εβδομάδας 1 είναι στο διάστημα [28,36 °C, 30,77 °C], δηλαδή στο διάστημα \(\αριστερά[\mu_1-\sigma_1,\mu_1+\sigma_1\δεξιά]\).
- Τώρα ας δούμε την τυπική απόκλιση της εβδομάδας 2:
Ακολουθώντας το ίδιο σκεπτικό, έχουμε
\(\mu_2=\frac{28,5+27+28+29+30+28+29}{7}=28,5\)
\(N_2=7\)
\(\αριστερά (28,5-28,5\δεξιά)^2=0\)
\(\αριστερά (27-28,5\δεξιά)^2=2,25\)
\(\αριστερά (28-28,5\δεξιά)^2=0,25\)
\(\αριστερά (29-28,5\δεξιά)^2=0,25\)
\(\αριστερά (30-28,5\δεξιά)^2=2,25\)
\(\αριστερά (28-28,5\δεξιά)^2=0,25\)
\(\αριστερά (29-28,5\δεξιά)^2=0,25\)
\(0\ +\ 2,25\ +\ 0,25\ +\ 0,25+2,25+0,25+0,25\ =\ 5,5\)
Άρα η τυπική απόκλιση της εβδομάδας 2 είναι
\(\sigma_2=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{7}\αριστερά (x_i-\mu_1\right)^2}{N_2}}=\sqrt{\frac{5,5} {7}}\ \περίπου 0,89\ °C\)
Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι οι περισσότερες θερμοκρασίες της εβδομάδας 2 είναι εντός του εύρους \(\αριστερά[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\δεξιά]\), δηλαδή το εύρος \(\αριστερά[\mu_2-\sigma_2,\mu_2+\sigma_2\δεξιά]\).
συνειδητοποιώ ότι \(\sigma_2, δηλαδή, η τυπική απόκλιση της εβδομάδας 2 είναι μικρότερη από την τυπική απόκλιση της εβδομάδας 1. Επομένως, η εβδομάδα 2 παρουσίασε πιο κανονικές θερμοκρασίες από την εβδομάδα 1.
Ποιοι είναι οι τύποι τυπικής απόκλισης;
Οι τύποι τυπικής απόκλισης σχετίζονται με τον τύπο οργάνωσης δεδομένων. Στο προηγούμενο παράδειγμα, δουλέψαμε με την τυπική απόκλιση μη ομαδοποιημένων δεδομένων. Για να υπολογίσετε την τυπική απόκλιση ενός συνόλου από διαφορετικά οργανωμένα δεδομένα (ομαδοποιημένα δεδομένα, για παράδειγμα), θα πρέπει να προσαρμόσετε τον τύπο.
Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ τυπικής απόκλισης και διακύμανσης;
την τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης:
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}\αριστερά (x_i-\mu\right)^2}{N}}\)
\(V=\frac{\sum_{i=1}^{N}\αριστερά (x_i-\mu\right)^2}{N}\)
Όταν χρησιμοποιείται η διακύμανση για τον προσδιορισμό της μεταβλητότητας ενός συνόλου δεδομένων, το αποτέλεσμα έχει τη μονάδα δεδομένων στο τετράγωνο, γεγονός που καθιστά την ανάλυσή του δύσκολη. Έτσι, η τυπική απόκλιση, η οποία έχει την ίδια μονάδα με τα δεδομένα, είναι ένα πιθανό εργαλείο για την ερμηνεία του αποτελέσματος διακύμανσης.
Μάθετε περισσότερα:Απόλυτη συχνότητα — ο αριθμός των φορών που εμφανίστηκε η ίδια απόκριση κατά τη συλλογή δεδομένων
Λυμένες ασκήσεις τυπικής απόκλισης
ερώτηση 1
(FGV) Σε μια τάξη 10 μαθητών, οι βαθμοί των μαθητών σε μια αξιολόγηση ήταν:
6 |
7 |
7 |
8 |
8 |
8 |
8 |
9 |
9 |
10 |
Η τυπική απόκλιση αυτής της λίστας είναι περίπου
Α) 0,8.
Β) 0,9.
Γ) 1.1.
Δ) 1.3.
Ε) 1,5.
Ανάλυση:
Εναλλακτική Γ.
Σύμφωνα με την ανακοίνωση, Ν = 10. Ο μέσος όρος αυτής της λίστας είναι
\( \mu=\frac{6+7+7+8+8+8+8+9+9+10}{10}=8 \)
Επί πλέον,
\(\αριστερά (6-8\δεξιά)^2=4\)
\(\αριστερά (7-8\δεξιά)^2=1\)
\(\αριστερά (8-8\δεξιά)^2=0\)
\(\αριστερά (9-8\δεξιά)^2=1\)
\(\αριστερά (10-8\δεξιά)^2=4\)
\(4+1+1+0+0+0+0+1+1+4=12\)
Άρα η τυπική απόκλιση αυτής της λίστας είναι
\(\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{10}\left (x_i-8\right)^2}{10}}=\sqrt{\frac{12}{10} }\περίπου 1.1\)
Ερώτηση 2
Εξετάστε τις παρακάτω προτάσεις και βαθμολογήστε κάθε μία ως T (Σωστό) ή F (Λάθος).
Εγώ. Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης είναι η τυπική απόκλιση.
II. Η τυπική απόκλιση δεν έχει σχέση με τον αριθμητικό μέσο όρο.
III. Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι παραδείγματα μετρήσεων διασποράς.
Η σωστή σειρά, από πάνω προς τα κάτω, είναι
Α) V-V-F
Β) F-F-V
Γ) F-V-F
Δ) Φ-Φ-Φ
Ε) V-F-V
Ανάλυση:
Ε εναλλακτική.
Εγώ. Η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης είναι η τυπική απόκλιση. (αληθής)
II. Η τυπική απόκλιση δεν έχει σχέση με τον αριθμητικό μέσο όρο. (ψευδής)
Η τυπική απόκλιση υποδεικνύει ένα διάστημα γύρω από τον αριθμητικό μέσο όρο στο οποίο εμπίπτουν τα περισσότερα δεδομένα.
III. Η διακύμανση και η τυπική απόκλιση είναι παραδείγματα μετρήσεων διασποράς. (αληθής)
Της Maria Luiza Alves Rizzo
Μαθηματικός
Δείτε εδώ τις βασικές έννοιες και αρχές της στατιστικής. Δείτε επίσης πώς χωρίζεται η μελέτη της στατιστικής και ακολουθήστε μερικές από τις εφαρμογές της.
Κάντε κλικ και μάθετε τα μέτρα διασποράς που είναι γνωστά ως πλάτος και απόκλιση και δείτε παραδείγματα εφαρμογής αυτών των τρόπων ανάλυσης πληροφοριών.
Δείτε τον ορισμό και τον τρόπο εφαρμογής της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης, δύο σημαντικά μέτρα διασποράς.
Κάντε κλικ και μάθετε πώς να υπολογίζετε τον αριθμητικό μέσο όρο, ένα μέτρο κεντρικότητας του οποίου το αποτέλεσμα αντιπροσωπεύει μια λίστα πληροφοριών.
Η τετραγωνική ρίζα είναι μια μαθηματική πράξη που χρησιμοποιείται σε όλα τα σχολικά επίπεδα. Μάθετε τις ονοματολογίες και τους ορισμούς, καθώς και τη γεωμετρική τους ερμηνεία.
Ξέρετε τι είναι η διακύμανση; Μάθετε πώς να υπολογίζετε και πώς να χρησιμοποιείτε αυτό το ενδιαφέρον μέτρο διασποράς!
