Σωστή απάντηση: 3/9.
Η τελεία, το μέρος που επαναλαμβάνεται μετά το κόμμα, είναι 3. Έτσι, το δεκαδικό μπορεί να γραφτεί ως: .
Μπορούμε να το λύσουμε με δύο τρόπους:
Μέθοδος 1: κλασματική
Προσθέτουμε ολόκληρο το μέρος με ένα κλάσμα, όπου αριθμητής θα είναι η περίοδος και, στον παρονομαστή, ένα ψηφίο 9 για κάθε ψηφίο διαφορετικό από την περίοδο.
Στη συγκεκριμένη περίπτωση, το ακέραιο μέρος είναι μηδέν, οπότε η απάντηση είναι .
Μέθοδος 2: αλγεβρική
Βήμα 1: εξισώνουμε το δεκαδικό με x, λαμβάνοντας την εξίσωση I.
Βήμα 2: πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 10, βγάζοντας την εξίσωση II.
Βήμα 3: αφαιρούμε από την εξίσωση II την εξίσωση I.
Βήμα 4: Απομονώνουμε το x και βρίσκουμε το κλάσμα παραγωγής.
Σωστή απάντηση: 13/9.
Η τελεία, το μέρος που επαναλαμβάνεται μετά το κόμμα, είναι 4. Έτσι, το δεκαδικό μπορεί να γραφτεί ως: .
Μπορούμε να το λύσουμε με δύο τρόπους:
Μέθοδος 1: κλασματική
Προσθέτουμε ολόκληρο το μέρος με ένα κλάσμα, όπου αριθμητής θα είναι η περίοδος και, στον παρονομαστή, ένα ψηφίο 9 για κάθε ψηφίο διαφορετικό από την περίοδο.
Μέθοδος 2: αλγεβρική
Βήμα 1: εξισώνουμε το δεκαδικό με x, λαμβάνοντας την εξίσωση I.
Βήμα 2: πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 10, βγάζοντας την εξίσωση II.
Βήμα 3: αφαιρούμε από την εξίσωση II την εξίσωση I.
Βήμα 4: Απομονώνουμε το x και βρίσκουμε το κλάσμα παραγωγής.
Σωστή απάντηση: 41/99
Η τελεία, το μέρος που επαναλαμβάνεται μετά το κόμμα, είναι 41. Έτσι, το δεκαδικό μπορεί να γραφτεί ως: .
Μπορούμε να το λύσουμε με δύο τρόπους:
Μέθοδος 1: κλασματική
Προσθέτουμε ολόκληρο το μέρος με ένα κλάσμα, όπου αριθμητής θα είναι η περίοδος και, στον παρονομαστή, ένα ψηφίο 9 για κάθε ψηφίο διαφορετικό από την περίοδο.
Μέθοδος 2: αλγεβρική
Βήμα 1: εξισώνουμε το δεκαδικό με x, λαμβάνοντας την εξίσωση I.
Βήμα 2: πολλαπλασιάζουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 100, παίρνοντας την εξίσωση II. (γιατί υπάρχουν δύο ψηφία στο δεκαδικό).
Βήμα 3: αφαιρούμε από την εξίσωση II την εξίσωση I.
Βήμα 4: Απομονώνουμε το x και βρίσκουμε το κλάσμα παραγωγής.
Σωστή απάντηση: 2505/990
Μπορούμε να ξαναγράψουμε ως εξής: , όπου 30 είναι η περίοδος. Αυτό είναι σύνθετο δεκαδικό.
Βήμα 1: ίσο με x.
βήμα 2: Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 10, παίρνοντας την εξίσωση I.
Δεδομένου ότι το δέκατο είναι σύνθετο, αυτό θα το κάνει απλό.
βήμα 3: πολλαπλασιάστε την εξίσωση I επί 100 και στις δύο πλευρές της ισότητας, λαμβάνοντας την εξίσωση II.
βήμα 3: Αφαιρέστε την εξίσωση I από το II.
βήμα 4: Απομονώστε το x και κάντε τη διαίρεση.
Σωστή απάντηση: 2025/990
Μπορούμε να ξαναγράψουμε ως εξής: , όπου 45 είναι η περίοδος.
Βήμα 1: ίσο με x.
βήμα 2: πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 10, λαμβάνοντας την εξίσωση I.
Δεδομένου ότι το δέκατο είναι σύνθετο, αυτό θα το κάνει απλό.
βήμα 3: πολλαπλασιάστε την εξίσωση I επί 100 και στις δύο πλευρές της ισότητας, λαμβάνοντας την εξίσωση II.
βήμα 3: Αφαιρέστε την εξίσωση I από το II.
βήμα 4: Απομονώστε το x και κάντε τη διαίρεση.
Σωστή απάντηση: α) 2
Κάνοντας τη διαίρεση, βρίσκουμε:
Σημειώστε ότι το δεκαδικό μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
Η περίοδος επαναλαμβάνεται κάθε 6 ψηφία και το πλησιέστερο ακέραιο πολλαπλάσιο του 50ου δεκαδικού ψηφίου θα είναι:
6 x 8 = 48
Έτσι, το τελευταίο ψηφίο 3 της περιόδου θα καταλαμβάνει το 48ο δεκαδικό ψηφίο. Επομένως, στην επόμενη επανάληψη, το πρώτο ψηφίο 2 θα καταλάβει την 50η θέση.
Σωστή απάντηση: β) 89
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το κλάσμα παραγωγής και, στη συνέχεια, να απλοποιηθεί και να προστεθεί αριθμητής και παρονομαστής.
Μπορούμε να ξαναγράψουμε ως εξής: , όπου 36 είναι η περίοδος.
Βήμα 1: ίσο με x.
βήμα 2: πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 1000, λαμβάνοντας την εξίσωση I.
Δεδομένου ότι το δέκατο είναι σύνθετο, αυτό θα το κάνει απλό.
βήμα 3: πολλαπλασιάστε την εξίσωση I επί 100 και στις δύο πλευρές της ισότητας, λαμβάνοντας την εξίσωση II.
βήμα 4: Αφαιρέστε την εξίσωση I από το II.
βήμα 5: απομονώστε το x.
Μόλις καθοριστεί το κλάσμα παραγωγής, πρέπει να το απλοποιήσουμε. Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25, με το 9 και πάλι με το 9.
Απλά προσθέστε 1 + 88 = 89.
Σωστή απάντηση: α) 670
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί το κλάσμα παραγωγής και, στη συνέχεια, να απλοποιηθεί και να αφαιρεθεί ο αριθμητής και ο παρονομαστής.
Μπορούμε να ξαναγράψουμε ως εξής: , όπου 012 είναι η περίοδος.
Βήμα 1: ίσο με x λαμβάνοντας την εξίσωση I.
βήμα 2: πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης επί 1000, λαμβάνοντας την εξίσωση II.
βήμα 3: Αφαιρέστε την εξίσωση I από το II.
βήμα 4: Απομονώστε το x και κάντε τη διαίρεση.
Μόλις καθοριστεί το κλάσμα παραγωγής, πρέπει να το απλοποιήσουμε. Διαίρεση αριθμητή και παρονομαστή με το 3.
Άρα απλώς αφαιρέστε 1 003 - 333 = 670.