Εξάγωνο είναι το πολύγωνο που έχει 6 πλευρές. Είναι κανονικό όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες είναι ίσες μεταξύ τους. Είναι ακανόνιστο όταν δεν έχει αυτά τα χαρακτηριστικά. Η πρώτη περίπτωση είναι η πιο ευρέως μελετημένη, γιατί όταν το εξάγωνο είναι κανονικό, έχει συγκεκριμένες ιδιότητες και τύπους που μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε το εμβαδόν, την περίμετρο και το απόθεμά του.
Διαβάστε επίσης: Τι είναι ένα losangle;
Περίληψη για το εξάγωνο
Το εξάγωνο είναι ένα πολύγωνο 6 όψεων.
Είναι κανονικό όταν όλες οι πλευρές είναι ίσες.
Είναι ακανόνιστο όταν όλες οι πλευρές δεν είναι ίσες.
Σε ένα κανονικό εξάγωνο, κάθε εσωτερική γωνία είναι 120°.
Το άθροισμα του γωνίες Οι εξωτερικές ακμές ενός κανονικού εξαγώνου είναι πάντα 360°.
Για να υπολογίσουμε το εμβαδόν ενός κανονικού εξαγώνου, χρησιμοποιούμε τον τύπο:
\(A=\frac{3L^2\sqrt3}{2}\)
Ο περίμετρος ενός εξαγώνου είναι το άθροισμα των πλευρών του. Όταν είναι κανονικό, έχουμε:
P = 6L
Το απόθεμα ενός κανονικού εξαγώνου υπολογίζεται από τον τύπο:
\(a=\frac{\sqrt3}{2}L\)
Μη σταματάς τώρα… Υπάρχουν και άλλα μετά τη διαφήμιση ;)
Τι είναι το εξάγωνο;
Εξάγωνο είναι κάθε πολύγωνο που έχει 6 πλευρές, άρα 6 κορυφές και 6 γωνίες. Καθώς είναι πολύγωνο, είναι ένα κλειστό επίπεδο σχήμα με πλευρές που δεν τέμνονται. Το εξάγωνο είναι ένα επαναλαμβανόμενο σχήμα στη φύση, όπως στις κηρήθρες, στις δομές του οργανική χημεία, στα κοχύλια ορισμένων χελωνών και σε νιφάδες χιονιού.
Μάθημα βίντεο για τα πολύγωνα
εξάγωνα στοιχεία
Ένα εξάγωνο αποτελείται από 6 πλευρές, 6 κορυφές και 6 εσωτερικές γωνίες.
Κορυφές: σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, ΣΤ.
πλευρές: τα τμήματα \(\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{DE},\overline{EF},\ \overline{AF}\).
Εσωτερικές γωνίες: γωνίες α, β, γ, δ, στ.
Ταξινόμηση εξαγώνων
Τα εξάγωνα, όπως και άλλα πολύγωνα, μπορούν να ταξινομηθούν με δύο τρόπους.
κανονικό εξάγωνο
Το εξάγωνο είναι κανονικό όταν έχει όλες τις αντίστοιχες πλευρές του — κατά συνέπεια, οι γωνίες τους θα είναι επίσης αντίστοιχες. Το κανονικό εξάγωνο είναι το πιο σημαντικό από όλα, όντας το πιο ευρέως μελετημένο. Είναι δυνατό να υπολογιστούν αρκετές από τις πτυχές του, όπως η περιοχή, με συγκεκριμένους τύπους.
Παρατήρηση: Το κανονικό εξάγωνο μπορεί να χωριστεί σε 6 ισόπλευρα τρίγωνα, δηλαδή τρίγωνα με όλες τις πλευρές ίσες.
→ ακανόνιστο εξάγωνο
Ακανόνιστο εξάγωνο είναι αυτό που έχει πλευρές με διαφορετικά μέτρα. Μπορεί να είναι κυρτό ή μη κυρτό.
κυρτό ακανόνιστο εξάγωνο
το εξάγωνο είναι κυρτός όταν έχεις όλα τα εσωτερικές γωνίες μικρότερες από 180°.
→ Ακανόνιστο μη κυρτό εξάγωνο
Ένα εξάγωνο είναι μη κυρτό όταν έχει εσωτερικές γωνίες μεγαλύτερες από 180°.
εξάγωνες ιδιότητες
→ Αριθμός διαγωνίων σε ένα εξάγωνο
Το πρώτο σημαντικό ακίνητο είναι αυτό σε ένα κυρτό εξάγωνο, υπάρχουν πάντα 9 διαγώνιοι. Μπορούμε να βρούμε αυτές τις 9 διαγώνιους γεωμετρικά:
Μπορούμε επίσης να βρούμε τις διαγώνιους αλγεβρικά, χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
\(d=\frac{n\αριστερά (n-3\δεξιά)}{2}\)
Αν αντικαταστήσουμε το 6 στην εξίσωση, έχουμε:
\(d=\frac{6\cdot\αριστερά (6-3\δεξιά)}{2}\)
\(d=\frac{6\cdot3}{2}\)
\(d=\frac{18}{2}\)
\(d=9\)
Άρα ένα κυρτό εξάγωνο θα έχει πάντα 9 διαγώνιους.
Μάθετε περισσότερα: Ορθογώνιο μπλοκ διαγώνιο — τμήμα που συνδέει δύο από τις κορυφές του που δεν βρίσκονται στην ίδια όψη
→ Εσωτερικές γωνίες εξαγώνου
Σε ένα εξάγωνο, το το άθροισμα των εσωτερικών γωνιών του είναι 720°. Για να εκτελέσετε αυτό το άθροισμα, απλώς αντικαταστήστε το 6 στον τύπο:
\(S_i=180\αριστερά (n-2\δεξιά)\)
\(S_i=180\αριστερά (6-2\δεξιά)\)
\(S_i=180\cdot4\)
\(S_i=720\)
Σε ένα κανονικό εξάγωνο, οι εσωτερικές γωνίες θα είναι πάντα 120° η καθεμία, επειδή
720°: 6 = 120°
→ Εξωτερικές γωνίες κανονικού εξαγώνου
Όσο για τις εξωτερικές γωνίες, γνωρίζουμε ότι το Το άθροισμά τους είναι πάντα ίσο με 360°. Δεδομένου ότι υπάρχουν 6 εξωτερικές γωνίες, καθεμία από αυτές θα έχει 60°, όπως
360°: 6 = 60°
→ Κανονικό εξάγωνο απόθεμα
Απόθεμα κανονικού πολυγώνου θεωρείται ότι είναιευθύγραμμο τμήμα συνδέοντας το κέντρο του πολυγώνου με το μεσαίο σημείο στην πλευρά σου. Όπως γνωρίζουμε, το κανονικό εξάγωνο αποτελείται από 6 ισόπλευρα τρίγωνα, οπότε το απόθεμα αντιστοιχεί στο ύψος ενός από αυτά τα ισόπλευρα τρίγωνα. Η τιμή αυτού του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
→ περίμετρος του εξαγώνου
Για να υπολογίσετε την περίμετρο ενός εξαγώνου, απλώς εκτελέστε το άθροισμα των 6 πλευρών του. Όταν το εξάγωνο είναι κανονικό, οι πλευρές του είναι ίσες, επομένως είναι δυνατόν να υπολογιστεί η περίμετρος του εξαγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο:
P = 6L
→ κανονική εξάγωνη περιοχή
Καθώς γνωρίζουμε ότι το κανονικό εξάγωνο αποτελείται από 6 ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές μέτρηση L, είναι δυνατόν να εξαχθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού του, χρησιμοποιώντας τον υπολογισμό του περιοχή του ενός τρίγωνο ισόπλευρο πολλαπλασιασμένο επί 6.
\(A=6\cdot\frac{L^2\sqrt3}{4}\)
Σημειώστε ότι είναι δυνατό να απλοποίηση διαίρεση με 2, δημιουργώντας τον τύπο για τον υπολογισμό του εμβαδού του εξαγώνου:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
Εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο
Λέμε ότι ένα πολύγωνο εγγράφεται στο α περιφέρεια όταν αυτός είναι μέσα στον κύκλο και οι κορυφές του είναι σημεία αυτού. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε το κανονικό εξάγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο. Όταν κάνουμε αυτήν την αναπαράσταση, μπορούμε να επαληθεύσουμε ότι το μήκος της ακτίνας του κύκλου είναι ίσο με το μήκος της πλευράς του εξαγώνου.
Επίσης γνωρίζω: Κύκλος και περιφέρεια — Ποια είναι η διαφορά;
Εξάγωνο περιγεγραμμένο σε κύκλο
Λέμε ότι ένα πολύγωνο περιγράφεται από κύκλο όταν το η περιφέρεια βρίσκεται μέσα σε αυτό το πολύγωνο. Μπορούμε να αναπαραστήσουμε το περιγεγραμμένο κανονικό εξάγωνο. Στην περίπτωση αυτή, ο κύκλος εφάπτεται στο μέσο κάθε πλευράς του εξαγώνου, γεγονός που καθιστά την ακτίνα του κύκλου ίση με το απόθεμα του εξαγώνου.
εξαγωνικό πρίσμα
Ο Επιπεδομετρία αποτελεί τη βάση για τις μελέτες του Χωρική Γεωμετρία. Ο μπορεί να υπάρχει εξάγωνο στη βάση των γεωμετρικών στερεών, όπως στα πρίσματα.
Για να βρείτε τον όγκο του α πρίσμα, υπολογίζουμε το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους. Δεδομένου ότι η βάση του είναι ένα εξάγωνο, είναι Ενταση ΗΧΟΥ μπορεί να υπολογιστεί από:
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Διαβάστε επίσης: Όγκος γεωμετρικών στερεών — πώς να υπολογίσετε;
Πυραμίδα εξαγωνικής βάσης
Εκτός από το εξαγωνικό πρίσμα, υπάρχουν και οι πυραμίδες εξαγωνική βάση.
για να ανακαλύψετε το όγκος μιας πυραμίδας της εξαγωνικής βάσης, υπολογίζουμε το γινόμενο του εμβαδού της βάσης, του ύψους και διαιρούμε με το 3.
\(V=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h: 3\)
Σημειώστε ότι πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με το τρία, κάτι που επιτρέπει το α απλοποίηση. Έτσι, ο όγκος μιας εξαγωνικής πυραμίδας υπολογίζεται από τον τύπο:
\(V=\frac{L^2\sqrt3}{2}\cdot h\)
Λυμένες ασκήσεις σε εξάγωνο
ερώτηση 1
Μια γη έχει σχήμα σαν ένα κανονικό εξάγωνο. Θέλετε να περιβάλετε αυτήν την περιοχή με συρματοπλέγματα, έτσι ώστε το σύρμα να περιστρέφεται γύρω από την περιοχή 3 φορές. Γνωρίζοντας ότι, συνολικά, δαπανήθηκαν 810 μέτρα σύρματος για την περίφραξη ολόκληρης της γης, η περιοχή αυτού του εξαγώνου μετρά περίπου:
(Χρήση \(\sqrt3=1,7\))
Α) 5102 m²
Β) 5164 m²
Γ) 5200 m²
Δ) 5225 m²
Ε) 6329 m²
Ανάλυση:
Εναλλακτική Β
Η περίμετρος του κανονικού εξαγώνου είναι
\(P=6L\)
Καθώς έγιναν 3 γύροι, δαπανήθηκαν συνολικά 270 μέτρα για να ολοκληρωθεί ένας μόνο γύρος, καθώς γνωρίζουμε ότι:
810: 3 = 270
Έχουμε λοιπόν:
\(6L=270\)
\(L=\frac{270}{6}\)
\(L=45\ μέτρα\)
Γνωρίζοντας το μήκος της πλευράς, θα υπολογίσουμε το εμβαδόν:
\(A=3\cdot\frac{L^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{{45}^2\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot\frac{2025\sqrt3}{2}\)
\(A=3\cdot1012.5\sqrt3\)
\(A=3037,5\sqrt3\)
\(A=3037.5\cdot1.7\)
\(A=5163,75m^2\)
Στρογγυλοποιώντας, παίρνουμε:
\(A\περίπου 5164 m^2\)
Ερώτηση 2
(PUC - RS) Για μηχανικό γρανάζι, θέλετε να φτιάξετε ένα εξάρτημα με κανονικό εξαγωνικό σχήμα. Η απόσταση μεταξύ των παράλληλων πλευρών είναι 1 cm, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Η πλευρά αυτού του εξαγώνου έχει μέγεθος ______ cm.
Ο) \(\frac{1}{2}\)
ΣΙ) \(\frac{\sqrt3}{3}\)
ΝΤΟ) \(\sqrt3\)
ΡΕ) \(\frac{\sqrt5}{5}\)
Ε) 1
Ανάλυση:
Εναλλακτική Β
Όσον αφορά το κανονικό εξάγωνο, γνωρίζουμε ότι το απόθεμά του είναι το μέτρο από το κέντρο έως το μέσο μιας από τις πλευρές. Έτσι, το απόθεμα είναι το ήμισυ της απόστασης που υποδεικνύεται στην εικόνα. Άρα, πρέπει:
\(2a=1cm\)
\(a=\frac{1}{2}\)
Το απόθεμα είναι τότε ίσο με \(\frac{1}{2}\). Υπάρχει σχέση μεταξύ των πλευρών του εξαγώνου και του αποθέματος, γιατί σε ένα κανονικό εξάγωνο, έχουμε:
\(a=\frac{L\sqrt3}{2}\)
Εφόσον γνωρίζουμε την αξία του αποθέματος, μπορούμε να το αντικαταστήσουμε \(a=\frac{1}{2}\) στην εξίσωση:
\(\frac{1}{2}=\frac{L\sqrt3}{2}\)
\(1=L\sqrt3\)
\(L\sqrt3=1\)
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\)
Εξορθολογισμός του κλάσματος:
\(L=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt3}{\sqrt3}\)
\(L=\frac{\sqrt3}{3}\)
Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών
