Όγκος γεωμετρικών στερεών: τύποι και παραδείγματα

Ο όγκος ενός γεωμετρικού στερεού είναι ένα μέγεθος που αντιπροσωπεύει το χώρο που καταλαμβάνει αυτό το γεωμετρικό στερεό. Οι πιο συνηθισμένες μετρήσεις όγκου είναι οι κυβικές μονάδες, όπως τα κυβικά μέτρα m³, τα πολλαπλάσιά τους και τα υποπολλαπλάσια τους. Τα κύρια γεωμετρικά στερεά είναι τα πρίσματα, οι πυραμίδες, ο κώνος, ο κύλινδρος και η σφαίρα και καθένα από αυτά έχει συγκεκριμένους τύπους για τον υπολογισμό του όγκου.

Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ επίπεδων και χωρικών μορφών;

Περίληψη για τον όγκο των γεωμετρικών στερεών

• Κάθε γεωμετρικό στερεό έχει διαφορετικό τύπο για τον υπολογισμό του όγκου του.

• Ο όγκος ενός στερεού μετριέται σε κυβικές μονάδες, όπως κυβικά μέτρα, κυβικά εκατοστά κ.λπ.

• Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου πρίσματος:

V = Α_σι · Χ

• Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου της πυραμίδας:

• Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κυλίνδρου:

V = πr² · h

• Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου ενός κώνου:

• Τύπος για τον υπολογισμό του όγκου της σφαίρας:

μετρήσεις όγκου

Ονομάζουμε όγκο τον χώρο που είναι δεδομένο

γεωμετρικό στερεό κατάληψη, σύντομα, έχει νόημα μόνο να υπολογίζουμε τον όγκο των τρισδιάστατων αντικειμένων. Για να μετρήσουμε τον όγκο, χρησιμοποιούμε ως μονάδα μέτρησης το κυβικό μέτρο (m³) και τα πολλαπλάσιά του, που είναι:

• κυβικό δεκάμετρο (φράγμα³)

• κυβικό εκατόμετρο (hm³)

• κυβικό χιλιόμετρο (km³)

Υπάρχουν επίσης οι υποπολλαπλάσια του κυβικού μέτρου, που είναι:

• κυβικό δεκατόμετρο (dm³)

• κυβικό εκατοστό (cm³)

• κυβικό χιλιοστό (mm³)

Δείτε επίσης: Ποιες είναι οι μετρήσεις μήκους;

Πώς να υπολογίσετε τον όγκο των γεωμετρικών στερεών;

Η εύρεση του όγκου ενός γεωμετρικού στερεού είναι θεμελιώδης για πολλές καθημερινές δραστηριότητες, για για παράδειγμα, να γνωρίζουμε τη χωρητικότητα ενός υπόστεγου, να γνωρίζουμε τον χώρο που καταλαμβάνει ένα συγκεκριμένο έπιπλο στο Σπίτι.Υπολογίζουμε τον όγκο χρησιμοποιώντας συγκεκριμένους τύπους για καθένα από τα γεωμετρικά στερεά. Τώρα ας δούμε τους τύπους όγκου για τα κύρια γεωμετρικά στερεά χωρική γεωμετρία.

• όγκος πρίσματος

Ξεκινώντας με πρίσμα, ένα από τα πιο κοινά στερεά στην καθημερινή ζωή. Το πρίσμα είναι όλο γεωμετρικό στερεό που έχει δύο ίσες βάσεις και πλευρικές όψεις που σχηματίζονται από παραλληλεπίπεδα, για παράδειγμα, κουτιά παπουτσιών, κτίρια, μεταξύ άλλων αντικειμένων.

Για τον υπολογισμό του όγκου του πρίσματος, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε το εμβαδόν βάσης, το οποίο μπορεί να σχηματιστεί από οποιοδήποτε πολύγωνο. Ο όγκος πρίσματος υπολογίζεται από το γινόμενο του εμβαδού της βάσης και του ύψους του πρίσματος.

V_{πρίσματα} = Α_σι · Χ

Ο_σι → περιοχή βάσης
h → ύψος πρίσματος

Υπάρχουν δύο συγκεκριμένες περιπτώσεις πολύ επαναλαμβανόμενων πρισμάτων, δηλαδή ο κύβος και το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο.

→ όγκος κύβου

Ξεκινώντας με τον κύβο, γνωρίζουμε ότι είναι έχει όλες τις άκρες ίσες. Έτσι, για να υπολογίσουμε τον όγκο του κύβου, γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του τετράγωνο είναι ίσο με το τετράγωνο της άκρης. Για να υπολογίσουμε τον όγκο, πολλαπλασιάζουμε με το ύψος, το οποίο, στην περίπτωση του κύβου, είναι επίσης ίσο με τη μέτρηση της άκρης. Έτσι, ο όγκος του κύβου δίνεται από:

→ Ορθογώνιος παραλληλεπίπεδος όγκος

ο όγκος του πλακόστρωτο Το ορθογώνιο μπορεί να βρεθεί όταν πολλαπλασιάσουμε τις τρεις διαστάσεις του:

Παράδειγμα 1:

Υπολογίστε τον όγκο ενός κύβου πρίσματος του οποίου οι ακμές είναι 5 cm η καθεμία:

V = a³

V = 5³

V = 125 cm³

Παράδειγμα 2:

Υπολογίστε τον όγκο πρίσματος παρακάτω:

καθώς η βάση σου είναι α ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, η περιοχή βάσης είναι το γινόμενο μεταξύ 12 και 5. Για να βρούμε τον όγκο, θα πολλαπλασιάσουμε την περιοχή βάσης με το ύψος, οπότε πρέπει:

V = Α_σι · Χ

V = 12 · 5 · 15

V = 60 · 15

V = 900 cm³

→ Μάθημα βίντεο για την ένταση του πρίσματος

• όγκος της πυραμίδας

Ο πυραμίδα είναι το γεωμετρικό στερεό που έχει τη βάση που σχηματίζεται από ένα πολύγωνο και οι πλευρικές όψεις που σχηματίζονται από α τρίγωνο, συνδέοντας τις κορυφές της βάσης με ένα σημείο έξω από τη βάση που είναι γνωστό ως κορυφή πυραμίδας. Όπως το πρίσμα, η πυραμίδα μπορεί επίσης να έχει διαφορετικές βάσεις.

Πυραμίδες εξαγωνικής και τετράγωνης βάσης αντίστοιχα.

Για να υπολογίσετε το όγκος πυραμίδας, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης. Ο όγκος της πυραμίδας δίνεται από τον τύπο:

Παράδειγμα:

Υπολογίστε τον όγκο μιας πυραμίδας που έχει τετράγωνη βάση με πλευρές 6 μέτρα και ύψος 10 μέτρα.

Καθώς η βάση της πυραμίδας είναι τετράγωνο, το εμβαδόν της θα είναι η τετραγωνισμένη πλευρά, οπότε πρέπει:

Διαβάστε επίσης: Κορμός πυραμίδας - σχήμα που λαμβάνεται από διατομή σε πυραμίδα

• όγκος κυλίνδρου

Ο κύλινδρος είναι το γεωμετρικό στερεό που έχει δύο κυκλικές βάσεις ίδιας ακτίνας. βαθμολογήθηκε ένα στρογγυλό σώμα Λόγω του στρογγυλεμένου σχήματός του, αυτό το γεωμετρικό στερεό είναι αρκετά επαναλαμβανόμενο σε συσκευασίες όπως η σοκολάτα και άλλα προϊόντα.

Για να υπολογίσετε το όγκος ενός κυλίνδρου, χρειαζόμαστε μόνο τη μέτρηση της ακτίνας και του ύψους του:

Παράδειγμα:

Υπολογίστε τον όγκο του παρακάτω κυλίνδρου (χρησιμοποιήστε π = 3,1):

V = πr² h

V = 3,1 · 3² · 8

V = 3,1 · 9 · 8

V = 3,1 · 72

V = 223,2 cm³

→ Μάθημα βίντεο για τον όγκο του κυλίνδρου

• όγκος κώνου

Ο κώνος ταξινομείται επίσης ως στρογγυλό σώμα. Αυτός έχει μια βάση που σχηματίζεται από έναν κύκλο και μια κορυφή. Για να υπολογίσετε το όγκος κώνου, είναι επίσης απαραίτητο να γνωρίζουμε το ύψος και την ακτίνα της βάσης του:

Παράδειγμα:

Υπολογίστε τον όγκο του κώνου:

• όγκος σφαίρας

Ο μπάλα είναι επίσης μια κοινή μορφή στην καθημερινή ζωή, όπως οι μπάλες που χρησιμοποιούμε για να παίξουμε ορισμένα αθλήματα, εκτός από το ότι είναι μια κοινή μορφή στη φύση. Για τον υπολογισμό του όγκου της σφαίρας, είναι απαραίτητο μόνο να γνωρίζουμε την ακτίνα της.:

Παράδειγμα:

Υπολογίστε τον όγκο της σφαίρας που έχει ακτίνα ίση με 2 μέτρα (χρησιμοποιήστε π = 3,1):

Δείτε επίσης: Ποια είναι τα στοιχεία μιας σφαίρας;

Λυμένες ασκήσεις για όγκο γεωμετρικών στερεών

Ερώτηση 1 - (Fei) Από ένα ξύλινο δοκάρι με τετράγωνο τμήμα πλευράς L = 10 cm, αφαιρέστε μια σφήνα ύψους h = 15 cm, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο όγκος της σφήνας είναι:

Α) 250 cm³

Β) 500 cm³

Γ) 750 cm³

Δ) 1000 cm³

Ε) 1250 cm³

Ανάλυση

Εναλλακτική Γ

Δεδομένου ότι η βάση είναι ένα τρίγωνο, γνωρίζουμε ότι:

Τώρα θα υπολογίσουμε τον όγκο πρίσματος:

V = Α_σι · Χ

V = 75 · 10

V = 750 cm³

Ερώτηση 2 - (FGV) Ο όγκος μιας σφαίρας ακτίνας r δίνεται από V = 4/3 π r³. Μια δεξαμενή σφαιρικού σχήματος έχει όγκο 36 π κυβικά μέτρα. Έστω Α και Β δύο σημεία στη σφαιρική επιφάνεια της δεξαμενής και έστω m η μεταξύ τους απόσταση. Η μέγιστη τιμή των m σε μέτρα είναι:

Α) 5,5

Β) 5

Γ) 6

Δ) 4,5

Ε) 4

Ανάλυση

Εναλλακτική Γ

Η μεγαλύτερη απόσταση μεταξύ δύο σημείων σε μια σφαίρα είναι η διάμετρος αυτής της σφαίρας. Εφόσον γνωρίζουμε τον όγκο της σφαίρας, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την ακτίνα της:

Εφόσον η μεγαλύτερη δυνατή απόσταση είναι ίση με τη διάμετρο, δηλαδή μετρά τη διπλάσια ακτίνα, άρα d = 6.

Του Ραούλ Ροντρίγκες ντε Ολιβέιρα
Καθηγητής μαθηματικών

Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/volume-de-solidos-geometricos.htm