Ενα πολυωνυμική εξίσωση χαρακτηρίζεται από το ότι έχει α πολυώνυμος ίσο με μηδέν. Μπορεί να χαρακτηριστεί από το βαθμό του πολυωνύμου, και όσο μεγαλύτερος είναι αυτός ο βαθμός, τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός δυσκολίας στην εύρεση της λύσης ή της ρίζας του.
Είναι επίσης σημαντικό, σε αυτό το πλαίσιο, να κατανοήσουμε ποιο είναι το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το οποίο δηλώνει ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση έχει τουλάχιστον μία μιγαδική λύση, με άλλα λόγια: μια εξίσωση του πρώτου βαθμού θα έχει τουλάχιστον μία λύση, μια εξίσωση του βαθμού δύο θα έχει τουλάχιστον δύο λύσεις, και ούτω καθεξής.
Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι κατηγορίες των πολυωνύμων;
Τι είναι η πολυωνυμική εξίσωση
Μια πολυωνυμική εξίσωση χαρακτηρίζεται από το ότι έχει ένα πολυώνυμο ίσο με μηδέν, επομένως, κάθε έκφραση τύπου P(x) = 0 είναι πολυωνυμική εξίσωση, όπου το P(x) είναι πολυώνυμο. Ακολουθεί η γενική περίπτωση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης και μερικά παραδείγματα.
Σκεψου τοόχι, έναn -1, ένα n -2, …, Ο1, ένα0 και x πραγματικούς αριθμούς
, και το n είναι θετικός ακέραιος, η ακόλουθη έκφραση είναι μια πολυωνυμική εξίσωση του βαθμού n.
- Παράδειγμα
Οι παρακάτω εξισώσεις είναι πολυώνυμα.
α) 3x4 + 4x2 – 1 = 0
β) 5x2 – 3 = 0
γ) 6x – 1 = 0
δ) 7x3 - Χ2 + 4x + 3 = 0
Όπως τα πολυώνυμα, έτσι και οι πολυωνυμικές εξισώσεις έχουν τον βαθμό τους. Για να προσδιορίσετε το βαθμό μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, απλώς βρείτε την υψηλότερη ισχύ της οποίας ο συντελεστής είναι διαφορετικός από το μηδέν. Επομένως, οι εξισώσεις των προηγούμενων στοιχείων είναι, αντίστοιχα:
α) Η εξίσωση είναι από τέταρτος βαθμός:3Χ4+ 4x2 – 1 = 0.
β) Η εξίσωση είναι από Λύκειο:5Χ2 – 3 = 0.
γ) Η εξίσωση είναι από πρώτου βαθμού:6Χ – 1 = 0.
δ) Η εξίσωση είναι του τρίτου βαθμού: 7Χ3- Χ2 + 4x + 3 = 0.
Πώς να λύσετε μια πολυωνυμική εξίσωση;
Η μέθοδος επίλυσης μιας πολυωνυμικής εξίσωσης εξαρτάται από τον βαθμό της. Όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός μιας εξίσωσης, τόσο πιο δύσκολη είναι η επίλυσή της. Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε τη μέθοδο επίλυσης πολυωνυμικών εξισώσεων του πρώτου βαθμού, δεύτερου βαθμού και δις.
Πολυωνυμική Εξίσωση Πρώτου Βαθμού
Μια πολυωνυμική εξίσωση πρώτου βαθμού περιγράφεται από α πολυώνυμο βαθμού 1. Άρα μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση πρώτου βαθμού, σε γενικές γραμμές, ως εξής.
Θεωρήστε δύο πραγματικούς αριθμούς ο και σι με ≠ 0, η ακόλουθη παράσταση είναι μια πολυωνυμική εξίσωση πρώτου βαθμού:
ax + b = 0
Για να λύσουμε αυτήν την εξίσωση, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το αρχή της ισοδυναμίας, δηλαδή ό, τι λειτουργεί από τη μια πλευρά της ισότητας πρέπει να λειτουργεί και από την άλλη πλευρά. Για να προσδιορίσουμε τη λύση μιας εξίσωσης πρώτου βαθμού, πρέπει απομονώστε το άγνωστο. Για αυτό, το πρώτο βήμα είναι η εξάλειψη του σι στην αριστερή πλευρά της ισότητας, και μετά αφαιρώκουπιά β και στις δύο πλευρές της ισότητας.
τσεκούρι + β - Β = 0 - Β
τσεκούρι = - β
Σημειώστε ότι η τιμή του αγνώστου x δεν είναι απομονωμένη, ο συντελεστής a πρέπει να εξαλειφθεί από την αριστερή πλευρά της ισότητας και για αυτό, ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές με ο.
- Παράδειγμα
Λύστε την εξίσωση 5x + 25 = 0.
Για να λύσουμε το πρόβλημα, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε την αρχή της ισοδυναμίας. Προκειμένου να διευκολυνθεί η διαδικασία, θα παραλείψουμε τη γραφή της πράξης στην αριστερή πλευρά της ισότητας, όντας ισοδυναμεί τότε να πούμε ότι θα «περάσουμε» τον αριθμό στην άλλη πλευρά, αλλάζοντας το πρόσημο (αντίστροφη πράξη).
Μάθετε περισσότερα σχετικά με την επίλυση αυτού του τύπου εξίσωσης μεταβαίνοντας στο κείμενό μας: Εξίσωση πρώτου βαθμού με άγνωστο.
Πολυωνυμική Εξίσωση Δεύτερου Βαθμού
Μια πολυωνυμική εξίσωση δεύτερου βαθμού έχει το χαρακτηριστικό α βαθμού δύο πολυώνυμο. Έτσι, θεωρήστε τους a, b και c πραγματικούς αριθμούς με a ≠ 0. Μια εξίσωση δεύτερου βαθμού δίνεται από:
τσεκούρι2 + bx + c = 0
Η λύση σας μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του bhaskara είτε με παραγοντοποίηση. Αν θέλετε να μάθετε περισσότερα για τις εξισώσεις αυτού του τύπου, διαβάστε: Εξδράση του μικρόδεύτερος σολrau.
→ Μέθοδος Bhaskara
Χρησιμοποιώντας τη μέθοδο του Bhaskara, οι ρίζες του δίνονται με τον ακόλουθο τύπο:
- Παράδειγμα
Να βρείτε τη λύση της εξίσωσης x2 – 3x + 2 = 0.
Σημειώστε ότι οι συντελεστές της εξίσωσης είναι, αντίστοιχα, a = 1, b = – 3 και c = 2. Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο, πρέπει:
→ Παραγοντοποίηση
Δείτε ότι είναι δυνατό να συντελεστεί η παράσταση x2 – 3x + 2 = 0 χρησιμοποιώντας την ιδέα του πολυωνυμική παραγοντοποίηση.
Χ2 – 3x + 2 = 0
(x – 2) · (x – 1) = 0
Παρατηρήστε τώρα ότι έχουμε ένα γινόμενο ίσο με μηδέν και ένα γινόμενο ίσο με μηδέν μόνο εάν ένας από τους παράγοντες είναι μηδέν, οπότε πρέπει:
x – 2 = 0
x = 2
ή
x - 1 = 0
x = 1
Δείτε ότι βρήκαμε τη λύση της εξίσωσης χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικές μεθόδους.
διτετράγωνη εξίσωση
Ο διτετράγωνη εξίσωση είναι ένα συγκεκριμένη περίπτωση πολυωνυμικής εξίσωσης τέταρτου βαθμού, συνήθως μια εξίσωση τέταρτου βαθμού θα γραφόταν με τη μορφή:
τσεκούρι4 + βχ3 + κουτί2 + dx + e = 0
όπου οι αριθμοί Α Β Γ Δ και και είναι πραγματικές με ≠ 0. Μια εξίσωση τέταρτου βαθμού θεωρείται δις όταν οι συντελεστές b = d = 0, δηλαδή η εξίσωση έχει τη μορφή:
τσεκούρι4 + κουτί2 + και = 0
Δείτε, στο παρακάτω παράδειγμα, πώς να λύσετε αυτήν την εξίσωση.
- Παράδειγμα
Λύστε την εξίσωση x4 – 10x2 + 9 = 0.
Για να λύσουμε την εξίσωση, θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη άγνωστη αλλαγή και όποτε η εξίσωση είναι δις, θα κάνουμε αυτήν την αλλαγή.
Χ2 =σελ
Από την διτετράγωνη εξίσωση παρατηρήστε ότι x4 = (χ2)2 και επομένως πρέπει:
Χ4 – 10x2 + 9 = 0
(Χ2)2 – 10Χ2 + 9 = 0
Για2 – 10p + 9 = 0
Δείτε ότι τώρα έχουμε μια πολυωνυμική εξίσωση δεύτερου βαθμού και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο του Bhaskara, ως εξής:
Ωστόσο, πρέπει να θυμόμαστε ότι, στην αρχή της άσκησης, έγινε μια άγνωστη αλλαγή, επομένως πρέπει να εφαρμόσουμε την τιμή που βρέθηκε στην αλλαγή.
Χ2 =σελ
Για p = 9 έχουμε ότι:
Χ2 = 9
x' = 3
ή
x’’ = – 3
Για p = 1
Χ2 = 1
x' = 1
ή
x’’ = – 1
Επομένως, το σύνολο λύσεων της διτετράγωνης εξίσωσης είναι:
S = {3, –3, 1, –1}
Διαβάστε επίσης: Η πρακτική συσκευή του Briot-Ruffini – διαίρεση πολυωνύμων
Θεμελιώδες Θεώρημα Άλγεβρας (TFA)
Το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας (TFA), που αποδείχθηκε από τον Gauss το 1799, δηλώνει ότι κάθε πολυωνυμική εξίσωση ως εξής έχει τουλάχιστον μία σύνθετη ρίζα.
Η ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης είναι η λύση της, δηλαδή η άγνωστη τιμή είναι αυτή που κάνει την ισότητα αληθινή. Για παράδειγμα, μια εξίσωση πρώτου βαθμού έχει μια ρίζα ήδη καθορισμένη, όπως και μια εξίσωση δεύτερου βαθμού, η οποία έχει τουλάχιστον δύο ρίζες, και μια εξίσωση, η οποία έχει τουλάχιστον τέσσερις ρίζες.
λυμένες ασκήσεις
ερώτηση 1 – Να προσδιορίσετε την τιμή του x που κάνει αληθή την ισότητα.
2x – 8 = 3x + 7
Ανάλυση
Σημειώστε ότι για να λύσετε την εξίσωση, είναι απαραίτητο να την οργανώσετε, δηλαδή να αφήσετε όλα τα άγνωστα στην αριστερή πλευρά της ισότητας.
2x – 8 = 3x + 7
2x – 3x = 7 + 8
– x = 15
Με την αρχή της ισοδυναμίας, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ισότητας με τον ίδιο αριθμό, και αφού θέλουμε να βρούμε την τιμή του x, θα πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές με –1.
(–1)– x = 15(–1)
x = – 15
Ερώτηση 2 – Ο Μάρκος έχει 20 R$ περισσότερα από τον Ζοάο. Μαζί, καταφέρνουν να αγοράσουν δύο ζευγάρια sneakers, που κοστίζουν 80 R$ το κάθε ζευγάρι και δεν έχουν απομείνει χρήματα. Πόσα ρεάλ έχει ο Γιάννης;
Ανάλυση
Ας υποθέσουμε ότι ο Mark έχει x reais, όπως ο John έχει 20 reais περισσότερο, έτσι έχει x + 20.
Σημεία → x πραγματικές
João → (x + 20) ρεάλ
πώς αγόρασαν δύο ζευγάρια αθλητικά παπούτσια που κοστίζουν 80 ρεάλ το καθένα, οπότε αν βάλουμε τα μέρη του καθενός μαζί, θα πρέπει:
x + (x + 20) = 2 · 80
x + x = 160 – 20
2x = 140
Επομένως, ο Μάρκος είχε 70 ρεάλ και ο Ζοάο 90 ρεάλ.
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/equacao-polinomial.htm