το σύνολο των πρώτοι αριθμοί είναι αντικείμενο μελέτης σε μαθηματικά από την Αρχαία Ελλάδα. Ο Ευκλείδης, στο σπουδαίο έργο του «Τα στοιχεία», συζητούσε ήδη το θέμα, καταφέρνοντας να το αποδείξει σειρά είναι άπειρο. Όπως γνωρίζουμε, οι πρώτοι αριθμοί είναι αυτοί που έχουν τον αριθμό 1 ως διαιρέτη και οι ίδιοι, Η εύρεση πολύ μεγάλων πρώτων δεν είναι εύκολη υπόθεση και το κόσκινο του Ερατοσθένη το κάνει εύκολο. συνάντηση.
Πώς ξέρετε πότε ένας αριθμός είναι πρώτος;
Γνωρίζουμε ότι ένας πρώτος αριθμός είναι αόποιος έχει ως διαιρών τον αριθμό 1 και τον εαυτό του, άρα ένας αριθμός που στη λίστα διαιρετών του έχει αριθμούς διαφορετικούς από το 1 και από μόνος του δεν θα είναι πρώτος, βλέπε:
Παραθέτοντας τους διαιρέτες 11 και 30, έχουμε:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Σημειώστε ότι ο αριθμός 11 έχει μόνο τον αριθμό 1 και τον εαυτό του ως διαιρέτες, άρα το Ο αριθμός 11 είναι πρώτος αριθμός. Τώρα, κοιτάξτε τους διαιρέτες του αριθμού 30, έχει, εκτός από τον αριθμό 1 και τον εαυτό του, τους αριθμούς 2, 3, 5, 6 και 10 με διαιρέτες. Επομένως,
ο αριθμός 30 δεν είναι πρώτος.→ Παράδειγμα: Αναφέρετε τους πρώτους μικρότερους από 15.
Για αυτό, θα απαριθμήσουμε τους διαιρέτες όλων των αριθμών μεταξύ 2 και 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Έτσι, πρώτοι μικρότεροι από 15 είναι:
2, 3, 5, 7, 11 και 13
Ας το παραδεχτούμε, αυτή η εργασία δεν θα ήταν πολύ ευχάριστη, για παράδειγμα, αν γράφαμε όλους τους πρώτους αριθμούς μεταξύ 2 και 100. Για να το αποφύγουμε, θα μάθουμε να χρησιμοποιούμε, στο επόμενο θέμα, το κόσκινο του Ερατοσθένη.
Κόσκινο του Ερατοσθένη
Το κόσκινο του Ερατοσθένη είναι α εργαλείο που στοχεύει να διευκολύνει τον προσδιορισμό των πρώτων αριθμών. Το κόσκινο αποτελείται από τέσσερα βήματα, και είναι απαραίτητο, για να τα κατανοήσετε, να έχετε υπόψη σας το κριτήρια διαιρετότητας. Πριν ξεκινήσουμε το βήμα προς βήμα, πρέπει να δημιουργήσουμε έναν πίνακα από τον αριθμό 2 στον επιθυμητό αριθμό, αφού ο αριθμός 1 δεν είναι πρώτος. Τότε:
→ Βήμα 1: Από το κριτήριο διαιρετότητας με το 2, έχουμε ότι οι άρτιοι αριθμοί διαιρούνται όλοι με αυτό, δηλαδή ο Ο αριθμός 2 θα εμφανιστεί στη λίστα των διαιρετών, επομένως αυτοί οι αριθμοί δεν θα είναι πρώτοι και πρέπει να τους εξαιρέσουμε από το τραπέζι. Είναι αυτοί:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Βήμα 2: Από το κριτήριο της διαιρετότητας με το 3, γνωρίζουμε ότι ένας αριθμός διαιρείται με το 3 εάν ο άθροισμα από τα ψηφία του είναι επίσης. Επομένως, πρέπει να εξαιρέσουμε αυτούς τους αριθμούς από τον πίνακα, καθώς δεν είναι πρώτοι επειδή υπάρχει ένας αριθμός διαφορετικός από το 1 και τον ίδιο στη λίστα των διαιρετών. Επομένως, πρέπει να εξαιρέσουμε τους αριθμούς:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Βήμα 3: Από το κριτήριο της διαιρετότητας με το 5, γνωρίζουμε ότι όλοι οι αριθμοί που τελειώνουν σε 0 ή 5 διαιρούνται με το 5, επομένως πρέπει να τους εξαιρέσουμε από τον πίνακα.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Βήμα 4: Ομοίως, πρέπει να εξαιρέσουμε αριθμούς που είναι πολλαπλάσιοι του 7 από τον πίνακα.
14, 21, 28, …, 546, …
– Γνωρίζοντας το κόσκινο του Ερατοσθένη, ας προσδιορίσουμε τους πρώτους μεταξύ 2 και 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ δεν είναι ξαδέρφια
→ πρώτοι αριθμοί
Άρα οι πρώτοι αριθμοί μεταξύ 2 και 100 είναι:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Διαβάστε επίσης: Υπολογισμός MMC και MDC: πώς να το κάνετε;
Αποσύνθεση πρωταρχικού παράγοντα
Ο αποσύνθεση πρωταρχικού παράγοντα είναι επίσημα γνωστό ως θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής. Αυτό το θεώρημα δηλώνει ότι οποιαδήποτε ακέραιος αριθμός διαφορετικό από το 0 και μεγαλύτερο από 1 μπορεί να αναπαρασταθεί από το γινόμενο των πρώτων αριθμών. Για να προσδιορίσουμε την παραγοντική μορφή ενός ακέραιου, πρέπει να κάνουμε διαδοχικές διαιρέσεις μέχρι να φτάσουμε στο αποτέλεσμα ίσο με 1. Δείτε το παράδειγμα:
→ Να προσδιορίσετε τη συντελεστή των αριθμών 8, 20 και 350.
Για να συντελεστεί ο αριθμός 8, πρέπει να τον διαιρέσουμε με τον πρώτο δυνατό πρώτο αριθμό, σε αυτήν την περίπτωση με το 2. Στη συνέχεια, εκτελούμε μια άλλη διαίρεση επίσης με τον πρώτο που είναι δυνατό, αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να φτάσουμε στον αριθμό 1 ως απάντηση στη διαίρεση. Κοίτα:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Επομένως, η συντελεστής μορφή του αριθμού 8 είναι 2 · 2 · 2 = 23. Για να διευκολυνθεί αυτή η διαδικασία, θα υιοθετήσουμε την ακόλουθη μέθοδο:
Επομένως, ο αριθμός 8 μπορεί να γραφτεί ως: 23.
→ Για τον συντελεστή του αριθμού 20, θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια μέθοδο, δηλαδή: να τον διαιρέσουμε με πρώτους αριθμούς.
Άρα ο αριθμός 20, στη συντελεστή του μορφή, είναι: 2 · 2 · 5 ή 22 · 5.
→ Αντίστοιχα, θα κάνουμε και με τον αριθμό 350.
Επομένως, ο αριθμός 350, στη συντελεστή του μορφή, είναι: 2 · 5 · 5 · 7 ή 2 · 52 · 7.
Δείτε επίσης: Επιστημονική σημείωση: σε τι χρησιμεύει;
λυμένες ασκήσεις
ερώτηση 1 – Απλοποιήστε την έκφραση:
Λύση
Αρχικά, ας συνυπολογίσουμε την έκφραση για να το κάνουμε πιο εύκολο.
Έτσι, 1024 = 210, και επομένως μπορούμε να αντικαταστήσουμε το ένα με το άλλο στην έκφραση της άσκησης. Ετσι:
από τον Robson Luiz
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-primos.htm