Μια συνάρτηση ονομάζεται πολυωνυμική λειτουργία όταν ο νόμος σχηματισμού του είναι α πολυώνυμος. Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις ταξινομούνται ανάλογα με τον βαθμό του πολυωνύμου τους. Για παράδειγμα, εάν το πολυώνυμο που περιγράφει το νόμο σχηματισμού συνάρτησης έχει βαθμό 2, λέμε ότι πρόκειται για πολυωνυμική συνάρτηση του δεύτερου βαθμού.
Για να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή μιας πολυωνυμικής συνάρτησης, απλά αντικαταστήστε τη μεταβλητή με την επιθυμητή τιμή, μετατρέποντας το πολυώνυμο σε αριθμητική έκφραση. Στη μελέτη των πολυωνυμικών συναρτήσεων, η γραφική αναπαράσταση είναι αρκετά επαναλαμβανόμενη. Η πολυωνυμική συνάρτηση 1ου βαθμού έχει ένα γράφημα πάντα ίσο με μια ευθεία γραμμή. Η συνάρτηση 2ου βαθμού έχει ένα γράφημα ίσο με παραβολή.
Διαβάστε επίσης: Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ μιας εξίσωσης και μιας συνάρτησης;
Τι είναι μια πολυωνυμική συνάρτηση;
Μια συνάρτηση φά: R → R είναι γνωστό ως πολυώνυμη συνάρτηση όταν ο νόμος σχηματισμού είναι πολυώνυμος:
f (x) = αόχιΧόχι + τον-1Χν-1 + τον-2Χν-2 +… + Το2Χ2 + το1x + α0
Σε τι:
x → είναι η μεταβλητή.
n → είναι α φυσικός αριθμός.
οόχι, έναν-1, έναν-2, … Ο2,Ο1 και το0 → είναι συντελεστές.
Οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί που συνοδεύουν την πολυωνυμική μεταβλητή.
Παραδείγματα:
φά(x) = x5 + 3x4 - 3x3 + x² - x + 1
φά(x) = -2x³ + x - 7
φά(x) = x9
Πώς να προσδιορίσετε τον τύπο της πολυωνυμικής συνάρτησης;
Υπάρχουν διάφοροι τύποι πολυωνυμικών λειτουργιών. Αυτή είναι ταξινομούνται σύμφωνα με τον βαθμό του πολυωνύμου. Όταν ο βαθμός είναι 1, τότε η συνάρτηση είναι γνωστή ως συνάρτηση πολυώνυμου του βαθμού 1 ή συνάρτηση πολυώνυμου του 1ου βαθμού, ή επίσης συνάρτηση συγγενείας. Δείτε παρακάτω για παραδείγματα συναρτήσεων από βαθμό 1 έως βαθμό 6.
Δείτε επίσης: Τι είναι η λειτουργία εγχυτήρα;
βαθμός πολυωνυμικής λειτουργίας
Αυτό που καθορίζει τον βαθμό της πολυωνυμικής συνάρτησης είναι ο βαθμός του πολυωνύμου, έτσι μπορούμε να έχουμε μια πολυωνυμική λειτουργία οποιουδήποτε βαθμού.
Πολυώνυμη λειτουργία βαθμού 1
Για μια πολυωνυμική συνάρτηση να είναι είτε πολυωνύμου βαθμού 1 είτε 1ου βαθμού, ο νόμος του σχηματισμού της συνάρτησης πρέπει να είναι φά(x) = ax + b, με a και b να είναι πραγματικοί αριθμοί και ≠ 0. Ο πολυώνυμη λειτουργία βαθμού 1 Είναι επίσης γνωστό ως συναρπαστική συνάρτηση.
Παραδείγματα:
φά(x) = 2x - 3
φά(x) = -x + 4
φά(x) = -3χ
Πολυώνυμη λειτουργία βαθμού 2
Για μια πολυωνυμική συνάρτηση να είναι πολυωνύμου 2ου βαθμού ή πολυωνύμου 2ου βαθμού, το νόμος σχηματισμού λειτουργιών πρέπει να είναιφά(x) = ax² + bx + c, με a, b και c να είναι πραγματικοί αριθμοί και a 0. Ενας Πολυωνυμική λειτουργία 2ου βαθμού Μπορεί επίσης να είναι γνωστή ως τετραγωνική συνάρτηση.
Παραδείγματα:
φά(x) = 2x² - 3x + 1
φά(x) = - x² + 2x
φά(x) = 3x² + 4
φά(x) = x²
Πολυωνυμική λειτουργία βαθμού 3
Για μια πολυωνυμική συνάρτηση να είναι ένα πολυώνυμο 3ου ή 3ου βαθμού, το νόμος σχηματισμού λειτουργιών πρέπει να είναιφά(x) = ax³ + bx² + cx + d, με a και b να είναι πραγματικοί αριθμοί και ≠ 0. Η συνάρτηση του βαθμού 3 μπορεί επίσης να ονομαστεί κυβική συνάρτηση.
Παραδείγματα:
φά(x) = 2x³ - 3x² + 2x + 1
φά(x) = -5x³ + 4x² + 2x
φά(x) = 3x³ + 8x - 4
φά(x) = -7x³
Πολυωνυμική λειτουργία βαθμού 4
Τόσο για την πολυωνυμική συνάρτηση του βαθμού 4 όσο και για τους άλλους, η συλλογιστική είναι η ίδια.
Παραδείγματα:
φά(x) = 2χ4 + x³ - 5x² + 2x + 1
φά(x) = x4 + 2x³ - x
φά(x) = x4
Πολυωνυμική λειτουργία βαθμού 5
Παραδείγματα:
φά(x) = x5 - 2x4 + x3 - 3x² + x + 9
φά(x) = 3x5 + x3 – 4
φά(x) = -x5
Πολυωνυμική λειτουργία βαθμού 6
Παραδείγματα:
φά(x) = 2χ6 - 7χ5 + x4 - 5x3 + x² + 2x - 1
φά(x) = -x6 + 3x5 + 2x³ + 4x + 8
φά(x) = 3x6 + 2x² + 5x
φά(x) = x6
Αριθμητική τιμή της συνάρτησης
Γνωρίζοντας το νόμο για τον σχηματισμό ρόλων φά(x), για τον υπολογισμό της αριθμητικής τιμής του κατοχή για μια τιμή όχι, απλά υπολογίστε την τιμή του φά(όχι). Ως εκ τούτου, αντικαταστήσαμε τη μεταβλητή στο νόμο σχηματισμού.
Παράδειγμα:
δεδομένης της συνάρτησης φά(x) = x³ + 3x² - 5x + 4, βρίσκουμε την αριθμητική τιμή της συνάρτησης για x = 2.
Για να βρείτε την τιμή του φά(x) όταν x = 2, θα το κάνουμε φά(2).
φά(2) = 2³ + 3 · 2² – 5 · 2 + 4
φά(2) = 8 + 3 · 4 – 5 · 2 + 4
φά(2) = 8 + 12 – 10 + 4
φά(2) = 20 – 10 + 4
φά(2) = 10 + 4
φά(2) = 14
Μπορούμε να πούμε ότι η εικόνα της συνάρτησης ή η αριθμητική τιμή της συνάρτησης, όταν x = 2, είναι ίση με 14.
Δείτε επίσης: Αντίστροφη συνάρτηση - αποτελείται από το αντίστροφο της συνάρτησης f (x)
Γραφήματα πολυωνυμικής λειτουργίας
Για εκπροσώπηση στο Καρτεσιανό αεροπλάνο τη συνάρτηση, αντιπροσωπεύουμε, στον άξονα x, τις τιμές του x και την εικόνα του φά(x), κατά σημεία στο αεροπλάνο. Τα σημεία στο καρτεσιανό επίπεδο είναι του τύπου (όχι, φά(όχι)).
Παράδειγμα 1:
φά(x) = 2x - 1
Το γράφημα μιας συνάρτησης 1ου βαθμού είναι πάντα α ευθεία.
Παράδειγμα 2:
φά(x) = x² - 2x - 1
Το γράφημα συνάρτησης 2ου βαθμού είναι πάντα α παραβολή.
Παράδειγμα 3:
φά(x) = x³ - x
Το γράφημα της συνάρτησης 3ου βαθμού είναι γνωστό ως κυβικό.
Ισότητα πολυωνύμων
Για να είναι ίσες δύο πολυώνυμα, είναι απαραίτητο, όταν κάνετε το Σύγκριση ανάμεσα εσείς τα δικα σου όροι, οι συντελεστές είναι οι ίδιοι.
Παράδειγμα:
Λαμβάνοντας υπόψη τα ακόλουθα πολυώνυμα p (x) και g (x), και γνωρίζοντας ότι p (x) = g (x), βρείτε την τιμή των a, b, c και d.
p (x) = 2x³ + 5x² + 3x - 4
g (x) = ax³ + (a + b) x² + (c - 2) x + d
Δεδομένου ότι τα πολυώνυμα είναι τα ίδια, έχουμε ότι:
ax³ = 2x³
(a + b) x² = 5x²
(c - 2) x = 3x
d = -4
Σημειώστε ότι έχουμε ήδη την τιμή του d, δεδομένου ότι d = -4. Τώρα, υπολογίζοντας κάθε έναν από τους συντελεστές, πρέπει:
ax³ = 2x³
α = 2
Γνωρίζοντας την τιμή του a, ας βρούμε την τιμή του b:
(a + b) x² = 5x²
a + b = 5
α = 2
2 + b = 5
b = 5 - 2
b = 3
Εύρεση της τιμής του c:
(c - 2) x = 3x
c - 2 = 3
c = 3 + 2
c = 5
Δείτε επίσης: Πολωνυμική Εξίσωση - Εξίσωση που χαρακτηρίζεται από το ότι έχει ένα πολυώνυμο ίσο με 0
Πολυωνυμικές λειτουργίες
Δεδομένων δύο πολυωνύμων, είναι δυνατή η εκτέλεση των λειτουργιών του Επιπλέον, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός μεταξύ αυτών των αλγεβρικών όρων.
Πρόσθεση
Η προσθήκη δύο πολυωνύμων υπολογίζεται από το άθροισμα εσείςρπαρόμοια χέρια. Για να είναι παρόμοιοι δύο όροι, το κυριολεκτικό μέρος (γράμμα με εκθετικό) πρέπει να είναι το ίδιο.
Παράδειγμα:
Έστω p (x) = 3x² + 4x + 5 και q (x) = 4x² - 3x + 2, υπολογίστε την τιμή του p (x) + q (x).
3x² + 4x + 5 + 4x² - 3x + 2
Επισήμανση παρόμοιων όρων:
3x² + 4χ + 5 + 4x² – 3x + 2
Τώρα ας προσθέσουμε τους συντελεστές παρόμοιων όρων:
(3 + 4) x² + (4 - 3) x + 7
7x² + x + 7
Πολυωνυμική αφαίρεση
Η αφαίρεση είναι πολύ παρόμοια με την προσθήκη, ωστόσο, πριν από την εκτέλεση της λειτουργίας, γράφουμε το αντίθετο πολυώνυμο.
Παράδειγμα:
Δεδομένα: p (x) = 2x² + 4x + 3 και q (x) = 5x² - 2x + 1, υπολογίστε p (x) - q (x).
Το αντίθετο πολυώνυμο του q (x) είναι -q (x), το οποίο δεν είναι τίποτα περισσότερο από το πολυώνυμο q (x) με το αντίθετο κάθε όρου.
q (x) = 5x² - 2x + 1
-q (x) = -5x² + 2x - 1
Έτσι, θα υπολογίσουμε:
2x² + 4x + 3 - 5x² + 2x - 1
Απλοποιώντας παρόμοιους όρους, έχουμε:
(2 - 5) x² + (4 + 2) x + (3 - 1)
-3x² + 6x + 2
Πολυωνυμικός πολλαπλασιασμός
Ο πολλαπλασιασμός του πολυωνύμου απαιτεί το εφαρμογή διανεμητικής ιδιοκτησίας, δηλαδή, πολλαπλασιάζουμε κάθε όρο του πρώτου πολυωνύμου με κάθε όρο του δεύτερου όρου.
Παράδειγμα:
(x + 1) · (x² + 2x - 2)
Εφαρμόζοντας τη διανομή ιδιοκτησίας, πρέπει:
x · x² + x · 2x + x · (-2) + 1 · x² + 1 · 2x + 1 · (-2)
Χ3 + 2x² + -2x - 2 + x² + 2x + -2
x³ + 3x² - 4
πολυωνυμική διαίρεση
Για τον υπολογισμό του διαχωρισμός μεταξύ δύο πολυωνύμων, χρησιμοποιούμε την ίδια μέθοδο που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τη διαίρεση δύο αριθμών, τη μέθοδο κλειδιών.
Παράδειγμα:
Υπολογίστε p (x): q (x), γνωρίζοντας ότι p (x) = 15x² + 11x + 2 και q (x) = 3x + 1.
Διαβάστε επίσης: Εύκολη συσκευή Briot-Ruffini - Μια άλλη μέθοδος για τον υπολογισμό της διαίρεσης των πολυώνυμων
λύσεις ασκήσεις
Ερώτηση 1 - Το ημερήσιο κόστος παραγωγής μιας αυτοκινητοβιομηχανίας για την παραγωγή ορισμένης ποσότητας ανταλλακτικών δίνεται από τον νόμο περί σχηματισμού φά(x) = 25x + 100, όπου x είναι ο αριθμός των τεμαχίων που παράγονται εκείνη την ημέρα. Γνωρίζοντας ότι, σε μια δεδομένη ημέρα, παρήχθησαν 80 κομμάτια, το κόστος παραγωγής αυτών των κομματιών ήταν:
Α) 300 BRL
Β) 2100 BRL
Γ) BRL 2000
Δ) 1800 BRL
Ε) 1250 BRL
Ανάλυση
Εναλλακτική Β
φά(80) = 25 · 80 + 100
φά(80) = 2000 + 100
φά(80) = 2100
Ερώτηση 2 - Ο βαθμός της συνάρτησης h (x) = φά(Χ) · σολ(x), γνωρίζοντας αυτό φά (x) = 2x² + 5x και σολ(x) = 4x - 5, είναι:
ΠΡΟΣ 1
Β) 2
Γ) 3
Δ) 4
Ε) 5
Ανάλυση
Εναλλακτική Γ
Πρώτα θα βρούμε το πολυώνυμο που είναι το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού μεταξύ φά(Χ και σολ(Χ):
φά(Χ) · σολ(x) = (2x² + 5x) · (4x - 5)
φά(Χ) · σολ(x) = 8x³ - 10x² + 20x - 25x
Σημειώστε ότι αυτό είναι ένα πολυώνυμο του βαθμού 3, οπότε ο βαθμός της συνάρτησης h (x) είναι 3.
Του Raul Rodrigues de Oliveira
Καθηγητής μαθηματικών
Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcao-polinomial.htm
