Τριγωνομετρικές λειτουργίες του διπλού τόξου

Εξετάστε ένα τόξο της τριγωνομετρικής περιφέρειας που μετρά 45 °, το διπλό τόξο του είναι τόξο 90 °, αλλά αυτό δεν είναι σημαίνει ότι η τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων (ημίτονο, συνημίτονο και εφαπτομένη) του διπλού τόξου είναι διπλάσια από το τόξο, με παράδειγμα:
Εάν το τόξο ισούται με 30 °, το διπλό τόξο σας θα είναι 60 °. Sin 30 ° = 1/2, sin 60 ° = √3 / 2, οπότε συνειδητοποιούμε ότι παρόλο που το 60 ° είναι διπλό 30 °, το sin 60 ° δεν είναι διπλό sin 30 °. Μπορούμε να εφαρμόσουμε την ίδια κατάσταση με πολλά άλλα τόξα και τριγωνομετρικές συναρτήσεις, ωστόσο θα καταλήξουμε στο ίδιο συμπέρασμα.
Γενικά, θεωρήστε οποιοδήποτε τόξο του μέτρου β, το διπλό τόξο του θα είναι 2β, επομένως, sin β ≠ sin 2β, δηλαδή, sin 2β ≠ 2. αμαρτία β.
Έτσι, για να βρούμε την τιμή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων ενός διπλού τόξου (sin 2β, cos 2β και tg 2β) θα πρέπει να ακολουθήσουμε κάποιες σχέσεις, μεταξύ ενός τόξου β και του διπλού τόξου του 2β.
Αυτές οι σχέσεις θα γίνουν μέσω του τριγωνομετρικές συναρτήσεις προσθήκης τόξου

. Δες πως:
• Cos 2β
Σύμφωνα με την προσθήκη τόξων, το cos 2β ισούται με:
cos 2β = cos (β + β) = cos β. cos β - sin β. αμαρτία β
Συμμετέχοντας στους παρόμοιους όρους θα έχουμε:
cos 2β = cos (β + β) = cos² β - αμαρτία² β
Επομένως, ο υπολογισμός του cos 2β θα γίνει με τον ακόλουθο τύπο:
cos 2β = cos² β - αμαρτία² β
• Sen 2β
Σύμφωνα με την προσθήκη τόξων, το sin 2β ισούται με:
Sen 2β = sin (β + β) = sin β. cos β + sin β. cos β
Βάζοντας παρόμοιους όρους σε αποδεικτικά στοιχεία θα έχουμε:
Sen 2β = sin (β + β) = 2. αμαρτία β. cos β
Επομένως, ο υπολογισμός του sin 2β θα γίνει με τον ακόλουθο τύπο:
Sen 2β = 2. αμαρτία β. cos β
• tg 2β
Σύμφωνα με την προσθήκη τόξων, το tg 2β ισούται με:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 - tg x. tg β
Συμμετέχοντας στους παρόμοιους όρους θα έχουμε:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ 
1 - tg²β
Επομένως, ο υπολογισμός του tg 2β θα γίνει με τον ακόλουθο τύπο:
tg 2β = 2 tgβ 
1 - tg²β

από την Danielle de Miranda
Αποφοίτησε στα Μαθηματικά
Σχολική ομάδα της Βραζιλίας

Τριγωνομετρία - Μαθηματικά - Σχολείο της Βραζιλίας

Πηγή: Σχολείο της Βραζιλίας - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/funcoes-trigonometricas-arco-duplo.htm