Ο Αριθμητική Πρόοδος (P.A.) είναι μια ακολουθία αριθμών όπου η διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών όρων είναι πάντα η ίδια. Αυτή η σταθερή διαφορά ονομάζεται P.A.
Έτσι, από το δεύτερο στοιχείο της ακολουθίας και μετά, οι αριθμοί που εμφανίζονται είναι το αποτέλεσμα του αθροίσματος της σταθεράς με την τιμή του προηγούμενου στοιχείου.
Αυτό το διαφοροποιεί από τη γεωμετρική πρόοδο (PG), διότι σε αυτό, οι αριθμοί πολλαπλασιάζονται με την αναλογία, ενώ στην αριθμητική εξέλιξη, προστίθενται.
Οι αριθμητικές εξελίξεις μπορεί να έχουν έναν καθορισμένο αριθμό όρων (πεπερασμένο P.A.) ή έναν άπειρο αριθμό όρων (άπειρο P.A.).
Για να δείξουμε ότι μια ακολουθία συνεχίζεται επ 'αόριστον, χρησιμοποιούμε ελλείψεις, για παράδειγμα:
- η ακολουθία (4, 7, 10, 13, 16, ...) είναι ένα άπειρο Ρ.Α.
- η ακολουθία (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) είναι ένα πεπερασμένο Ρ.Α.
Κάθε όρος ενός Ρ.Α. προσδιορίζεται από τη θέση που κατέχει στη σειρά και για να αντιπροσωπεύει κάθε όρο χρησιμοποιούμε ένα γράμμα (συνήθως το γράμμα ο) ακολουθούμενο από έναν αριθμό που δείχνει τη θέση του στην ακολουθία.
Για παράδειγμα, ο όρος ο4 στο P.A (2, 4, 6, 8, 10) είναι ο αριθμός 8, καθώς είναι ο αριθμός που καταλαμβάνει την 4η θέση στην ακολουθία.
Ταξινόμηση ενός P.A.
Σύμφωνα με την αναλογία, οι αριθμητικές εξελίξεις ταξινομούνται σε:
- Συνεχής: όταν ο λόγος είναι μηδέν. Για παράδειγμα: (4, 4, 4, 4, 4 ...), όπου r = 0.
- Μεγαλώνει: όταν ο λόγος είναι μεγαλύτερος από το μηδέν. Για παράδειγμα: (2, 4, 6, 8,10 ...), όπου r = 2.
- φθίνων: όταν η αναλογία είναι μικρότερη από μηδέν (15, 10, 5, 0, - 5, ...), όπου r = - 5
ΙΔ. Ιδιότητες
1ο ακίνητο:
Σε ένα πεπερασμένο P.A., το άθροισμα των δύο όρων σε απόσταση από τα άκρα είναι ίσο με το άθροισμα των άκρων.
Παράδειγμα
2ο ακίνητο:
Λαμβάνοντας υπόψη τρεις διαδοχικούς όρους ενός P.A., ο μεσαίος όρος θα είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο όρων.
Παράδειγμα
3η ιδιοκτησία:
Σε ένα πεπερασμένο P.A. με περίεργο αριθμό όρων, ο κεντρικός όρος θα είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο μεταξύ των όρων που βρίσκονται σε απόσταση. Αυτή η ιδιότητα προέρχεται από την πρώτη.
Τύπος γενικού όρου
Οπου,
an: όρος που θέλουμε να υπολογίσουμε
a1: πρώτη θητεία του P.A.
n: θέση του όρου που θέλουμε να ανακαλύψουμε
r: λόγος
Επεξήγηση τύπου
Καθώς ο λόγος ενός P.A. είναι σταθερός, μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή του από οποιουσδήποτε διαδοχικούς όρους, δηλαδή:
Επομένως, μπορούμε να βρούμε την αξία του δεύτερου όρου του P.A. κάνοντας τα εξής:
Για να βρούμε τον τρίτο όρο θα χρησιμοποιήσουμε τον ίδιο υπολογισμό:
Αντικατάσταση της τιμής a2, που βρήκαμε νωρίτερα, έχουμε:
Εάν ακολουθήσουμε την ίδια συλλογιστική, μπορούμε να βρούμε:
Παρατηρώντας τα αποτελέσματα που βρέθηκαν, σημειώνουμε ότι κάθε όρος θα ισούται με το άθροισμα του πρώτου όρου με τον λόγο πολλαπλασιασμένο με την προηγούμενη θέση.
Αυτός ο υπολογισμός εκφράζεται μέσω του τύπου του γενικού όρου του P.A., που μας επιτρέπει να γνωρίζουμε οποιοδήποτε στοιχείο μιας αριθμητικής προόδου.
Παράδειγμα
Υπολογίστε τον 10ο όρο του P.A.: (26, 31, 36, 41, ...)
Λύση
Πρώτον, πρέπει να αναγνωρίσουμε ότι:
ο1 = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10ος όρος).
Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στον τύπο του γενικού όρου, έχουμε:
οόχι = το1 + (n - 1). ρ
ο10 = 26 + (10-1). 5
ο10 = 26 + 9 .5
ο10 = 71
Επομένως, ο δέκατος όρος της υποδεικνυόμενης αριθμητικής προόδου είναι ίσος με 71.
Τύπος γενικού όρου από οποιονδήποτε όρο k
Συχνά, για να ορίσουμε οποιονδήποτε γενικό όρο, τον οποίο ονομάζουμε, δεν έχουμε τον πρώτο όρο a1, αλλά γνωρίζουμε οποιονδήποτε άλλο όρο, τον οποίο ονομάζουμε ak.
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο γενικού όρου από οποιονδήποτε όρο k:
Σημειώστε ότι η μόνη διαφορά ήταν η αλλαγή από το ευρετήριο 1 στον πρώτο τύπο σε k στο δεύτερο.
Να εισαι,
an: ο n-th όρος του P.A (ένας όρος σε οποιαδήποτε n θέση)
ak: ο όρος k-th ενός P.A (ένας όρος σε οποιαδήποτε θέση k)
r: ο λόγος
Άθροισμα όρων ενός P.A.
Για να βρείτε το άθροισμα των όρων ενός πεπερασμένου P.A., απλώς χρησιμοποιήστε τον τύπο:
Οπου,
μικρόόχι: άθροισμα των πρώτων n όρων του P.A.
ο1: πρώτη θητεία του P.A.
οόχι: καταλαμβάνει την ένατη θέση στην ακολουθία (ένας όρος στη θέση n)
όχι: θέση όρου
Διαβάστε επίσης PA και PG.
Η άσκηση λύθηκε
Ασκηση 1
PUC / RJ - 2018
Γνωρίζοντας ότι οι αριθμοί στην ακολουθία (y, 7, z, 15) βρίσκονται σε αριθμητική εξέλιξη, ποιο είναι το άθροισμα y + z;
α) 20
β) 14
γ) 7
δ) 3.5
ε) 2
Για να βρούμε την τιμή του z, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα που λέει ότι όταν έχουμε τρεις διαδοχικούς όρους, ο μεσαίος όρος θα είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των άλλων δύο. Έχουμε λοιπόν:
Εάν το z είναι ίσο με 11, τότε η αναλογία θα είναι ίση με:
r = 11 - 7 = 4
Με αυτόν τον τρόπο, θα ισούται με:
y = 7 - 4 = 3
Ως εκ τούτου:
y + z = 3 + 11 = 14
Εναλλακτική λύση: β) 14
Άσκηση 2
ΔΠΧΑ - 2017
Στο παρακάτω σχήμα, έχουμε μια ακολουθία ορθογωνίων, όλα ύψους α. Η βάση του πρώτου ορθογωνίου είναι b και τα επακόλουθα ορθογώνια είναι η τιμή βάσης του προηγούμενου συν μια μονάδα μέτρησης. Έτσι, η βάση του δεύτερου ορθογωνίου είναι b + 1 και το τρίτο b + 2 και ούτω καθεξής.
Εξετάστε τις παρακάτω δηλώσεις.
I - Η ακολουθία των ορθογωνικών περιοχών είναι μια αριθμητική εξέλιξη του λόγου 1.
II - Η ακολουθία των περιοχών των ορθογωνίων είναι μια αριθμητική εξέλιξη του λόγου α.
III - Η ακολουθία των περιοχών των ορθογωνίων είναι μια γεωμετρική εξέλιξη του λόγου α.
IV - Η περιοχή του ένατου ορθογωνίου (Αόχι) μπορεί να ληφθεί με τον τύπο Αόχι = α. (b + n - 1).
Ελέγξτε την εναλλακτική που περιέχει τις σωστές δηλώσεις.
εκεί.
β) II.
γ) III.
δ) II και IV.
ε) III και IV.
Υπολογίζοντας την περιοχή των ορθογωνίων, έχουμε:
Α = α. σι
Ο1 = α. (b + 1) = α. β + α
Ο2 = α. (b + 2) = α. ΣΙ. + 2ος
Ο3 = α. (b + 3) = α. β + 3α
Από τις εκφράσεις που βρέθηκαν, σημειώνουμε ότι η ακολουθία σχηματίζει ένα ΡΑ αναλογίας ίσο με Ο. Συνεχίζοντας την ακολουθία, θα βρούμε την περιοχή του ένατου ορθογωνίου, το οποίο δίνεται από:
Οόχι= α. b + (n - 1) .α
Οόχι = α. β + α. στο
βάζοντας το ο ως αποδεικτικά στοιχεία, έχουμε:
Οόχι = α (b + n - 1)
Εναλλακτική λύση: δ) II και IV.
Άσκηση 3
UERJ
Παραδεχτείτε τη διεξαγωγή ενός πρωταθλήματος ποδοσφαίρου στο οποίο οι προειδοποιήσεις που λαμβάνουν οι αθλητές αντιπροσωπεύονται μόνο με κίτρινες κάρτες. Αυτές οι κάρτες μετατρέπονται σε πρόστιμα, σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια:
- Οι δύο πρώτες κάρτες που λαμβάνονται δεν δημιουργούν πρόστιμα.
- Η τρίτη κάρτα δημιουργεί πρόστιμο 500,00 R $.
- Οι ακόλουθες κάρτες δημιουργούν πρόστιμα των οποίων οι αξίες αυξάνονται πάντα κατά 500,00 R $ σε σχέση με την αξία του προηγούμενου προστίμου.
Ο πίνακας δείχνει τα πρόστιμα που σχετίζονται με τα πρώτα πέντε φύλλα που εφαρμόστηκαν σε έναν αθλητή.
Σκεφτείτε έναν αθλητή που έλαβε 13 κίτρινες κάρτες κατά τη διάρκεια του πρωταθλήματος. Το συνολικό ποσό, ως εκ τούτου, των προστίμων που δημιουργούνται από όλες αυτές τις κάρτες είναι:
α) 30.000
β) 33 000
γ) 36 000
δ) 39.000
Σωστή απάντηση: β) 33 000
Από την τρίτη κίτρινη κάρτα και μετά, το ποσό του προστίμου αυξάνεται σε P.A. με αναλογία 500,00 R $. Λαμβάνοντας υπόψη τον πρώτο όρο, a1, με την αξία της τρίτης κάρτας, 500,00 R $.
Για να προσδιορίσουμε το συνολικό ποσό των προστίμων, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του αθροίσματος των όρων των P.A.
Δεδομένου ότι ο αθλητής έχει 13 κίτρινες κάρτες, αλλά οι δύο πρώτες δεν δημιουργούν πρόστιμα, θα κάνουμε ένα P.A με όρους 13-2, δηλαδή 11 όρους.
Έτσι, έχουμε τις ακόλουθες τιμές:
a1 = 500
η = 11
r = 500
Για να βρούμε την τιμή του nth όρου, a11, χρησιμοποιούμε τον τύπο γενικού όρου.
an = a1 + (n-1) .r
a21 = 500 + (11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500
Εφαρμογή του τύπου του αθροίσματος των όρων ενός P.A.
Λύστε περισσότερες ασκήσεις σε:
Αριθμητική Πρόοδος - Ασκήσεις
Μάθετε περισσότερα διαβάζοντας επίσης:
- Αριθμητική ακολουθία
- Γεωμετρική εξέλιξη
- Γεωμετρική Πρόοδος - Ασκήσεις
- Μαθηματικοί τύποι
