Παραλλαγή: τι είναι, τύποι και παραδείγματα

Η παραλλαγή είναι μια τεχνική μέτρησης που χρησιμοποιείται για να καθορίσει πόσους τρόπους υπάρχουν για να παραγγείλετε τα στοιχεία ενός πεπερασμένου συνόλου. Το να κάνετε μια ανταλλαγή είναι να εκτελέσετε μια ανταλλαγή και, σε προβλήματα συνδυασμού, σημαίνει ανταλλαγή των στοιχείων του τόπου, λαμβάνοντας υπόψη την παραγγελία τους.

Αυτές οι τεχνικές αποτελούν μέρος ενός πεδίου Μαθηματικών που ονομάζεται Combinatorial Analysis, το οποίο στοχεύει να γνωρίζει και να μετρά τους διαφορετικούς τρόπους οργάνωσης των συνόλων και των στοιχείων τους. Η απλή παραλλαγή και ένα με επαναλαμβανόμενα στοιχεία αντιμετωπίζουν αυτήν την κατηγορία προβλημάτων.

απλή παραλλαγή

Μια απλή παραλλαγή είναι η σειρά των στοιχείων ενός πεπερασμένου συνόλου, όταν είναι τα στοιχεία δεν επαναλαμβάνονται, είναι διακριτά. Χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό της ποσότητας αυτών των ειδών.

Το ποσό P με συνδρομή n των παραλλαγών ενός συνόλου στοιχείων n είναι ίση με n! (διαβάζει n παραγοντικά).

Ο τύπος για τον προσδιορισμό του αριθμού των απλών παραλλαγών είναι

instagram story viewer

P με n συνδρομητικό χώρο ίσο με n παραγοντικό χώρο

Εξετάστε ένα σύνολο με στοιχεία n. Για να τα οργανώσουμε σε μια ουρά, πρέπει να επιλέξουμε το πρώτο και για αυτό έχουμε n δυνατότητες. Για να διαλέξουμε το δεύτερο, έχουμε (n-1) δυνατότητες, μία ακόμη λιγότερο, γιατί έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει μια επιλογή κατά την επιλογή της πρώτης. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να παραμείνει μόνο ένα στοιχείο.

Διάταξη των στοιχείων και των δυνατοτήτων τους. — Παραγγελίες στοιχείων και τις δυνατότητές τους.

Για να προσδιορίσουμε τον συνολικό αριθμό παραλλαγών, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό των δυνατοτήτων που υπάρχουν στην επιλογή κάθε στοιχείου. Ετσι:

n σύμβολο πολλαπλασιασμού αριστερή παρένθεση n μείον 1 δεξιά παρένθεση σύμβολο πολλαπλασιασμού αριστερή παρένθεση n μείον 2 δεξί σύμβολο παρένθεσης πολλαπλασιασμός χώρος οριζόντιες ελλείψεις διαστήματος πολλαπλασιαστικός χώρος 3 διάστημα x διάστημα 2 διάστημα x χώρος 1

Η παραπάνω έκφραση ονομάζεται παραγοντική του n και χρησιμοποιούμε το σύμβολο όχι!.

Μάθε περισσότερα για παραγοντικό εδώ.

Παράδειγμα:

Οι διαφορετικοί τρόποι οργάνωσης των γραμμάτων μιας λέξης ονομάζονται αναγράμματα. Πόσα αναγράμματα υπάρχουν για τη λέξη DUCK;

Αυτές είναι οι δυνατότητες:

Έτσι, καθώς η λέξη PATO έχει 4 γράμματα, πρέπει

P με 4 συνδρομητικό χώρο ίσο με το διάστημα 4 παραγοντικό χώρο ίσο με το διάστημα 4 διάστημα x διάστημα 3 διάστημα x διάστημα 2 διάστημα x χώρο 1 χώρο ίσο με το διάστημα 24

Υπάρχουν 24 απλές παραλλαγές για τη λέξη DUCK.

Απλές ασκήσεις μεταμόρφωσης

ερώτηση 1

Υπολογίστε την τιμή του P με 7 συνδρομητές .

Δείτε την απάντηση

Το P με 7 χώρο συνδρομής ισούται με το διάστημα 7 Το παραγοντικό διάστημα ισούται με το διάστημα 7 το σύμβολο πολλαπλασιασμού 6 το σύμβολο πολλαπλασιασμού 5 σύμβολο πολλαπλασιασμού 4 σύμβολο πολλαπλασιασμού 3 σύμβολο πολλαπλασιασμού 2 σύμβολο πολλαπλασιασμού 1 διάστημα ισούται με χώρο 5040

Ερώτηση 2

Σκεφτείτε μια σειρά προτεραιότητας για άτομα με προτεραιότητα, όπου, ανά πάσα στιγμή, υπάρχουν έξι άτομα. Πόσοι διαφορετικοί τρόποι θα μπορούσαν να κατατάξουν αυτά τα άτομα από το πρώτο στο τελευταίο;

Δείτε την απάντηση

Κάθε φόρμα παραγγελίας είναι μια απλή παραλλαγή, καθώς τα άτομα είναι μοναδικά και δεν επαναλαμβάνονται. Έτσι, με έξι άτομα, η απάντηση είναι μια παραλλαγή με 6 στοιχεία.

P με 6 χώρο συνδρομής ισούται με χώρο 6 σύμβολο πολλαπλασιασμού 5 σύμβολο πολλαπλασιασμού 4 σύμβολο πολλαπλασιασμού 3 σύμβολο πολλαπλασιασμού 2 σύμβολο πολλαπλασιασμού 1 χώρος ισούται με χώρο 720

ερώτηση 3

Σκεφτείτε τη λέξη FORK και απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις;

α) Πόσα είναι τα αναγράμματα της λέξης FORK;

Δείτε την απάντηση

Δεδομένου ότι τα γράμματα δεν επαναλαμβάνονται, αυτή είναι μια απλή περίπτωση παραλλαγής 5 στοιχείων.

P με 5 χώρο συνδρομής ισούται με το διάστημα 5 σύμβολο πολλαπλασιασμού 4 σύμβολο πολλαπλασιασμού 3 σύμβολο πολλαπλασιασμού 2 σύμβολο πολλαπλασιασμού 1 διάστημα ισούται με χώρο 120

β) Πόσα αναγράμματα ξεκινούν με το γράμμα Α;

Δείτε την απάντηση

Σε αυτήν την περίπτωση, διορθώνουμε το γράμμα A στην αρχή και υπολογίζουμε τις παραλλαγές με τα γράμματα GRFO, τα οποία είναι παραλλαγές 4 στοιχείων.

1 δυνατότητα για το γράμμα A x Το P με 4 χώρο συνδρομής ισούται με το διάστημα 4 σύμβολο πολλαπλασιασμού 3 σύμβολο πολλαπλασιασμού 2 σύμβολο πολλαπλασιασμού 1 διάστημα ισούται με το διάστημα 24 .

γ) Πόσα αναγράμματα υπάρχουν αν τα φωνήεντα είναι πάντα το ένα δίπλα στο άλλο;

Δείτε την απάντηση

Μια πιθανότητα θα ήταν το G R F A O.

Υπάρχουν τρεις τρόποι παραγγελίας των συμφώνων. P3 = 3 x 2 x 1 = 6

Υπάρχουν δύο τρόποι για να παραγγείλετε τα φωνήεντα. P2 = 2 x 1 = 2

Υπάρχουν ακόμα δύο ακόμη τρόποι για να οργανώσουν τις ομάδες (σύμφωνα και φωνήεντα) μεταξύ τους. P2 = 2 x 1 = 2

Τώρα πολλαπλασιάστε τα αποτελέσματα.

P3 x P2 x P2 = 6 x 2 x 2 = 24

Υπάρχουν λοιπόν 24 αναγράμματα όπου τα φωνήεντα είναι πάντα μαζί.

Παραλλαγή με επανάληψη

Μια παραλλαγή με επαναλαμβανόμενα στοιχεία συμβαίνει όταν σε ένα σύνολο στοιχείων n, μερικά από αυτά είναι ίδια.

Στον τύπο για τον προσδιορισμό του αριθμού των παραλλαγών με επανάληψη, διαιρούμε το παραγοντικό του συνολικού αριθμού των στοιχείων με το προϊόν των παραγόντων των επαναλαμβανόμενων στοιχείων.

P με n συνδρομή με αριστερή παρένθεση a κόμμα space b comma space c κόμμα space οριζόντια έλλειψη δεξιά παρένθεση superscript τέλος του διάστημα υπεργράφου ίσο με τον αριθμητή n παραγοντικό πάνω από τον παρονομαστή ένα παραγοντικό σύμβολο πολλαπλασιασμού κλάσμα

P με συνδρομή n είναι ο αριθμός των παραλλαγών των n στοιχείων.

a κόμμα διάστημα b κόμμα διάστημα γ κόμμα διάστημα οριζόντιες ελλείψεις είναι οι αριθμοί των στοιχείων κάθε τύπου που επαναλαμβάνονται.

n παραγοντική είναι το παραγοντικό του συνολικού αριθμού στοιχείων n.

Παραδείγματα

Ας προσδιορίσουμε πόσες παραλλαγές υπάρχουν για τη λέξη EGG. Για να το κάνουμε ευκολότερο, ας χρωματίσουμε τα γράμματα. Ας δούμε τα αναγράμματα της λέξης EGG.

N a p r a t i c a l space a s spaces and g u i n t s space p e rm u t at i tio n s space and q u i v a ls s space a space a p e n u m a s space. O V O O V O space Καθώς είμαι χώρος με O O V O V O V T a m διάστημα με διάστημα V O O V O O

Ο αριθμός των απλών παραλλαγών με 3 στοιχεία δίνεται από

P με 3 χώρο συνδρομής ισούται με χώρο 3 παραγοντικός χώρος ισούται με χώρο 3 χώρος x διάστημα 2 χώρος x διάστημα 1 χώρος ισούται με χώρο 6

Ωστόσο, ορισμένες παραλλαγές επαναλαμβάνονται και δεν μπορούμε να τις μετρήσουμε δύο φορές. Για αυτό πρέπει να διαιρέσουμε την τιμή του P με 3 συνδρομητή (επειδή η λέξη έχει τρία γράμματα), από P με 2 συνδρομητή (επειδή το γράμμα O επαναλαμβάνεται δύο φορές).

P με χώρο n συνδρομής ίσο με τον αριθμητή διαστήματος 3 παραγοντικό πάνω από τον παρονομαστή 2 παραγοντικό άκρο του κλάσματος χώρου ίσο με τον αριθμητή διαστήματος 3 σημάδι του πολλαπλασιασμός 2 σύμβολο πολλαπλασιασμού 1 πάνω από τον παρονομαστή 2 σύμβολο πολλαπλασιασμού 1 άκρο του κλασματικού χώρου ισούται με το διάστημα 6 πάνω από 2 το διάστημα ισούται με χώρος 3

Έτσι, ο αριθμός των παραλλαγών για τα γράμματα της λέξης OVO είναι ίσος με 3.

Ας δούμε αυτό το άλλο παράδειγμα όπου θα καθορίσουμε τον αριθμό των παραλλαγών για τα γράμματα της λέξης BANANA.

P με 6 συνδρομητή με αριστερή παρένθεση Ένα κόμμα Ν δεξιά παρενθετική superscript τέλος του υπεργράφου ισούται με τον αριθμητικό παράγοντα 6 πάνω από τον παρονομαστή 3 το παραγοντικό σημείο πολλαπλασιασμού 2 το παραγοντικό τέλος του κλάσμα

Οπου:

P με 6 συνδρομητή με αριστερή παρένθεση Ένα κόμμα Ν δεξιά παρενθετική superscript τέλος του υπεργράφου σημαίνει παραλλαγή με 6 στοιχεία όπου τα γράμματα Α και Ν επαναλαμβάνονται.

3! για το γράμμα Α επαναλαμβάνεται τρεις φορές.

2! για το γράμμα Ν επαναλαμβάνεται δύο φορές.

Μια συμβουλή για να κάνετε τον υπολογισμό ευκολότερο είναι να αναπτύξετε το 6! μέχρι να φτάσετε στο 3!, απλοποιώντας με τον παρονομαστή. Δείτε την εξέλιξη.