Ενας εξίσωση δεύτερου βαθμού είναι ολόκληρη η εξίσωση στη φόρμα τσεκούρι2 + bx + c = 0, με πραγματικούς αριθμούς a, b και c και ≠ 0. Για να λύσετε μια εξίσωση αυτού του τύπου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαφορετικές μεθόδους.
Χρησιμοποιήστε τα σχόλια των ασκήσεων παρακάτω για να καθαρίσετε όλες τις αμφιβολίες σας. Επίσης, φροντίστε να δοκιμάσετε τις γνώσεις σας με τις επιλυμένες ερωτήσεις του διαγωνισμού.
Σχολίασε ασκήσεις
Ασκηση 1
Η ηλικία της μαμάς μου πολλαπλασιάζεται με την ηλικία μου ισούται με 525. Εάν όταν γεννήθηκα η μητέρα μου ήταν 20 ετών, πόσο χρονών είμαι;
Λύση
Θεωρώντας την ηλικία μου ίση με Χ, μπορούμε τότε να θεωρήσουμε ότι η ηλικία της μητέρας μου είναι ίση με x + 20. Πώς ξέρουμε την αξία του προϊόντος της εποχής μας:
Χ. (x + 20) = 525
Εφαρμογή στις ιδιότητες διανομής πολλαπλασιασμού:
Χ2 + 20 x - 525 = 0
Έπειτα φτάνουμε σε μια πλήρη εξίσωση 2ου βαθμού, με a = 1, b = 20 και c = - 525.
Για να υπολογίσουμε τις ρίζες της εξίσωσης, δηλαδή τις τιμές του x όπου η εξίσωση είναι μηδέν, ας χρησιμοποιήσουμε τον τύπο του Bhaskara.
Πρώτον, πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του Δ:
Για τον υπολογισμό των ριζών, χρησιμοποιούμε:
Αντικαθιστώντας τις τιμές στον παραπάνω τύπο, θα βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης, ως εξής:
Καθώς η ηλικία μου δεν μπορεί να είναι αρνητική, περιφρονούμε την τιμή -35. Το αποτέλεσμα είναι λοιπόν 15 χρόνια.
Άσκηση 2
Ένα τετράγωνο, που απεικονίζεται στο παρακάτω σχήμα, έχει ορθογώνιο σχήμα και το εμβαδόν του είναι ίσο με 1 350 m2. Γνωρίζοντας ότι το πλάτος του αντιστοιχεί στο 3/2 του ύψους του, προσδιορίστε τις διαστάσεις του τετραγώνου.
Λύση
Λαμβάνοντας υπόψη ότι το ύψος του είναι ίσο με Χ, το πλάτος θα είναι τότε ίσο με 3 / 2χ. Η επιφάνεια ενός ορθογωνίου υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τη βάση του με την τιμή ύψους. Σε αυτήν την περίπτωση, έχουμε:
Φτάνουμε σε μια ατελή εξίσωση 2ου βαθμού, με a = 3/2, b = 0 και c = - 1350, μπορούμε να υπολογίσουμε αυτόν τον τύπο εξίσωσης απομονώνοντας το x και υπολογίζοντας την τιμή της τετραγωνικής ρίζας.
Καθώς η τιμή του x αντιπροσωπεύει το μέτρο του ύψους, θα αγνοήσουμε το - 30. Έτσι, το ύψος του ορθογωνίου είναι ίσο με 30 m. Για να υπολογίσουμε το πλάτος, ας πολλαπλασιάσουμε αυτήν την τιμή με 3/2:
Επομένως, το τετράγωνο πλάτος είναι ίσο με 45 μ και το ύψος του είναι ίσο με 30 μ.
Άσκηση 3
Έτσι, το x = 1 είναι η ρίζα της εξίσωσης 2αx2 + (2ος2 - α - 4) x - (2 + α2) = 0, οι τιμές του πρέπει να είναι:
α) 3 και 2
β) - 1 και 1
γ) 2 και - 3
δ) 0 και 2
ε) - 3 και - 2
Λύση
Για να βρείτε την τιμή του, ας αντικαταστήσουμε πρώτα το x με το 1. Με αυτόν τον τρόπο, η εξίσωση θα μοιάζει με αυτήν:
2.α.12 + (2ος2 - έως - 4). 1 - 2 - α2 = 0
2ο + 2ο2 - έως - 4 - 2 - έως2 = 0
ο2 + έως - 6 = 0
Τώρα, πρέπει να υπολογίσουμε τη ρίζα της πλήρους εξίσωσης 2ου βαθμού, για αυτό θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της Bhaskara.
Επομένως, η σωστή εναλλακτική λύση είναι η γράμμα Γ.
Ερωτήσεις διαγωνισμού
1) Epcar - 2017
Εξετάστε, σε ℝ, την εξίσωση (Μ+2) x2 - 2Μx + (Μ - 1) = 0 στη μεταβλητή x, όπου Μ είναι ένας πραγματικός αριθμός διαφορετικός από - 2.
Ελέγξτε τις παρακάτω δηλώσεις και βαθμολογήστε τις ως V (TRUE) ή F (FALSE).
() Για όλα τα m> 2 η εξίσωση έχει ένα κενό σύνολο λύσεων.
() Υπάρχουν δύο πραγματικές τιμές του m για την εξίσωση να αποδεχτούν ίσες ρίζες.
() Στην εξίσωση, εάν Δ> 0, τότε το m μπορεί να αναλάβει μόνο θετικές τιμές.
Η σωστή ακολουθία είναι
α) V - V - V
β) F - V - F
γ) F - F - V
δ) V - F - F
Ας δούμε καθεμία από τις δηλώσεις:
Για όλα τα m> 2 η εξίσωση έχει ένα κενό σύνολο λύσεων
Δεδομένου ότι η εξίσωση είναι του δεύτερου βαθμού σε ℝ, δεν θα έχει λύση όταν το δέλτα είναι μικρότερο από το μηδέν. Υπολογίζοντας αυτήν την τιμή, έχουμε:
Έτσι, η πρώτη δήλωση είναι αλήθεια.
Υπάρχουν δύο πραγματικές τιμές του m για να αναγνωρίσει η εξίσωση ίσων ριζών.
Η εξίσωση θα έχει ίσες πραγματικές ρίζες όταν Δ = 0, δηλαδή:
- 4m + 8 = 0
m = 2
Επομένως, η δήλωση είναι ψευδής καθώς υπάρχει μόνο μία τιμή m όπου οι ρίζες είναι πραγματικές και ίσες.
Στην εξίσωση, εάν Δ> 0, τότε το m μπορεί να λάβει μόνο θετικές τιμές.
Για Δ> 0, έχουμε:
Εφόσον υπάρχουν στο σύνολο των άπειρων πραγματικών αριθμών αρνητικοί αριθμοί μικρότεροι από 2, η δήλωση είναι επίσης ψευδής.
Εναλλακτική d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Η Λόρα πρέπει να λύσει μια εξίσωση 2ου βαθμού στο «σπίτι», αλλά συνειδητοποιεί ότι κατά την αντιγραφή από τον πίνακα στο σημειωματάριο, ξέχασε να αντιγράψει τον συντελεστή x. Για την επίλυση της εξίσωσης, την ηχογράφησε ως εξής: 4x2 + ax + 9 = 0. Δεδομένου ότι ήξερε ότι η εξίσωση είχε μόνο μία λύση, και αυτή ήταν θετική, μπόρεσε να προσδιορίσει την τιμή ενός, που είναι
α) - 13
β) - 12
γ) 12
δ) 13
Όταν μια εξίσωση του 2ου βαθμού έχει μία μόνο λύση, το δέλτα, από τον τύπο της Bhaskara, είναι ίσο με μηδέν. Έτσι, για να βρείτε την αξία του ο, απλώς υπολογίστε το δέλτα, ισούμενο με την τιμή του στο μηδέν.
Άρα αν a = 12 ή a = - 12 η εξίσωση θα έχει μόνο μία ρίζα. Ωστόσο, πρέπει να ελέγξουμε ποιες από τις τιμές του ο το αποτέλεσμα θα είναι μια θετική ρίζα.
Για αυτό, ας βρούμε τη ρίζα, για τις τιμές του Ο.
Έτσι για ένα = -12 η εξίσωση θα έχει μόνο μία ρίζα και θετική.
Εναλλακτική β: -12
3) Enem - 2016
Μια σήραγγα πρέπει να σφραγίζεται με ένα κάλυμμα από σκυρόδεμα. Η διατομή της σήραγγας και το κάλυμμα από σκυρόδεμα έχουν το περίγραμμα μιας αψίδας παραβολής και τις ίδιες διαστάσεις. Για να προσδιορίσει το κόστος της εργασίας, ένας μηχανικός πρέπει να υπολογίσει την περιοχή κάτω από το εν λόγω παραβολικό τόξο. Χρησιμοποιώντας τον οριζόντιο άξονα στο επίπεδο του εδάφους και τον άξονα συμμετρίας της παραβολής ως κατακόρυφο άξονα, έλαβε την ακόλουθη εξίσωση για την παραβολή:
y = 9 - x2, όπου τα x και y μετρώνται σε μέτρα.
Είναι γνωστό ότι η περιοχή κάτω από μια παραβολή όπως αυτή είναι ίση με τα 2/3 της περιοχής του ορθογωνίου των οποίων οι διαστάσεις είναι, αντίστοιχα, ίσες με τη βάση και το ύψος της εισόδου της σήραγγας.
Ποια είναι η επιφάνεια του μπροστινού καλύμματος από σκυρόδεμα, σε τετραγωνικά μέτρα;
α) 18
β) 20
γ) 36
δ) 45
ε) 54
Για να επιλύσουμε αυτό το ζήτημα, πρέπει να βρούμε τις μετρήσεις της βάσης και του ύψους της εισόδου της σήραγγας, όπως Το πρόβλημα μας λέει ότι η περιοχή του μπροστινού μέρους είναι ίση με τα 2/3 της περιοχής του ορθογωνίου με αυτές τις διαστάσεις.
Αυτές οι τιμές θα βρεθούν από την εξίσωση 2ου βαθμού που δίνεται. Η παραβολή αυτής της εξίσωσης έχει απορρίψει την κοιλότητα, επειδή ο συντελεστής ο είναι αρνητικό. Παρακάτω είναι μια περίληψη αυτής της παραβολής.
Από το γράφημα, μπορούμε να δούμε ότι το μέτρο της βάσης της σήραγγας θα βρεθεί με τον υπολογισμό των ριζών της εξίσωσης. Το ύψος του θα είναι ίσο με τη μέτρηση της κορυφής.
Για τον υπολογισμό των ριζών, παρατηρούμε ότι η εξίσωση 9 - x2 είναι ελλιπής, οπότε μπορούμε να βρούμε τις ρίζες της εξισώνοντας την εξίσωση στο μηδέν και απομονώνοντας το x:
Επομένως, η μέτρηση της βάσης της σήραγγας θα είναι ίση με 6 m, δηλαδή, η απόσταση μεταξύ των δύο ριζών (-3 και 3).
Κοιτάζοντας το γράφημα, βλέπουμε ότι το σημείο κορυφής αντιστοιχεί στην τιμή στον άξονα y που το x είναι μηδέν, οπότε έχουμε:
Τώρα που γνωρίζουμε τις μετρήσεις της βάσης και του ύψους της σήραγγας, μπορούμε να υπολογίσουμε την έκτασή της:
Εναλλακτική γ: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Για ποια τιμή του "a" κάνει η εξίσωση (x - 2). (2ax - 3) + (x - 2). (- ax + 1) = 0 έχουν δύο ρίζες και ίσες;
έως 1
β) 0
γ) 1
δ) 2
Για μια εξίσωση 2ου βαθμού να έχει δύο ίσες ρίζες, είναι απαραίτητο το Δ = 0, δηλαδή, b2-4ac = 0. Πριν υπολογίσουμε το δέλτα, πρέπει να γράψουμε την εξίσωση στη φόρμα ax2 + bx + c = 0.
Μπορούμε να ξεκινήσουμε εφαρμόζοντας τη διανομή ιδιοκτησίας. Ωστόσο, σημειώνουμε ότι (x - 2) επαναλαμβάνεται και στους δύο όρους, οπότε ας το δείξουμε:
(x - 2) (2ax -3 - ax + 1) = 0
(x - 2) (ax -2) = 0
Τώρα, διανέμοντας το προϊόν, έχουμε:
τσεκούρι2 - 2x - 2ax + 4 = 0
Υπολογίζοντας το Δ και ισούται με μηδέν, βρίσκουμε:
Έτσι όταν a = 1, η εξίσωση θα έχει δύο ίσες ρίζες.
Εναλλακτική γ: 1
Για να μάθετε περισσότερα, δείτε επίσης:
- Εξίσωση δευτέρου βαθμού
- Εξίσωση πρώτου βαθμού
- Τετραγωνική λειτουργία
- Τετραγωνική λειτουργία - Ασκήσεις
- Γραμμική συνάρτηση
- Ασκήσεις σχετικής λειτουργίας