Η Στατιστική είναι ο τομέας των Μαθηματικών που μελετά τη συλλογή, καταγραφή, οργάνωση και ανάλυση ερευνητικών δεδομένων.
Αυτό το θέμα χρεώνεται σε πολλούς διαγωνισμούς. Λοιπόν, εκμεταλλευτείτε τις ασκήσεις που σχολιάστηκαν και λύσατε για να λύσετε όλες τις αμφιβολίες σας.
Σχολίασε και επιλύθηκε ζητήματα
1) Enem - 2017
Η αξιολόγηση της απόδοσης των φοιτητών σε ένα πανεπιστημιακό μάθημα βασίζεται στον σταθμισμένο μέσο όρο των βαθμών που λαμβάνονται στα μαθήματα με τον αντίστοιχο αριθμό μονάδων, όπως φαίνεται στον πίνακα:
Όσο καλύτερη είναι η αξιολόγηση ενός μαθητή σε έναν συγκεκριμένο ακαδημαϊκό όρο, τόσο μεγαλύτερη είναι η προτεραιότητά του στην επιλογή θεμάτων για τον επόμενο όρο.
Ένας συγκεκριμένος μαθητής γνωρίζει ότι εάν λάβει μια αξιολόγηση «Καλό» ή «Άριστο», θα είναι σε θέση να εγγραφεί στα μαθήματα που επιθυμεί. Έχει ήδη λάβει τις εξετάσεις για 4 από τα 5 μαθήματα στα οποία είναι εγγεγραμμένος, αλλά δεν έχει ακόμη λάβει το τεστ για το θέμα I, όπως φαίνεται στον πίνακα.
Για να επιτύχει τον στόχο του, ο ελάχιστος βαθμός που πρέπει να επιτύχει στο μάθημα I είναι
α) 7.00.
β) 7.38.
γ) 7.50.
δ) 8.25.
ε) 9.00.
Για τον υπολογισμό του σταθμισμένου μέσου όρου, θα πολλαπλασιάσουμε κάθε βαθμό με τον αντίστοιχο αριθμό μονάδων και, στη συνέχεια, θα προσθέσουμε όλες τις τιμές που βρέθηκαν και τέλος, διαιρούμε με τον συνολικό αριθμό μονάδων.
Μέσω του πρώτου πίνακα, αναγνωρίζουμε ότι ο μαθητής πρέπει να φτάσει τουλάχιστον έναν μέσο όρο ίσο με 7 για να λάβει την «καλή» αξιολόγηση. Επομένως, ο σταθμισμένος μέσος όρος πρέπει να ισούται με αυτήν την τιμή.
Καλώντας τη σημείωση x που λείπει, ας λύσουμε την ακόλουθη εξίσωση:
Εναλλακτική λύση: δ) 8.25
2) Enem - 2017
Τρεις μαθητές, οι Χ, Υ και Ζ, εγγράφονται σε ένα μάθημα αγγλικών. Για να αξιολογήσει αυτούς τους μαθητές, ο δάσκαλος επέλεξε να λάβει πέντε εξετάσεις. Για να περάσει αυτό το μάθημα, ο μαθητής πρέπει να έχει τον αριθμητικό μέσο όρο των βαθμών των πέντε εξετάσεων μεγαλύτερο ή ίσο με 6. Στον πίνακα εμφανίζονται οι σημειώσεις που έλαβε κάθε μαθητής σε κάθε δοκιμή.
Με βάση τα δεδομένα του πίνακα και τις πληροφορίες που δίνονται, θα αποτύχετε
α) μόνο μαθητής Υ.
β) μόνο μαθητής Ζ.
γ) μόνο μαθητές Χ και Υ.
δ) μόνο μαθητές Χ και Ζ.
ε) μαθητές Χ, Υ και Ζ.
Ο αριθμητικός μέσος υπολογίζεται προσθέτοντας όλες τις τιμές και διαιρώντας με τον αριθμό των τιμών. Σε αυτήν την περίπτωση, ας προσθέσουμε τους βαθμούς κάθε μαθητή και διαιρούμε με πέντε.
Καθώς ο μαθητής θα περάσει με βαθμό ίσο ή μεγαλύτερο από 6, τότε οι μαθητές Χ και Υ θα περάσουν και ο μαθητής Ζ θα αποτύχει.
Εναλλακτική λύση: β) μόνο μαθητής Ζ.
3) Enem - 2017
Το γράφημα δείχνει το ποσοστό ανεργίας (σε%) για την περίοδο από τον Μάρτιο του 2008 έως τον Απρίλιο του 2009, που λαμβάνεται με βάση το δεδομένα που παρατηρήθηκαν στις μητροπολιτικές περιοχές του Ρεσίφε, του Σαλβαδόρ, του Μπέλο Οριζόντε, του Ρίο ντε Τζανέιρο, του Σάο Πάολο και του Πόρτο Χαρούμενος.
Η μέση τιμή αυτού του ποσοστού ανεργίας, την περίοδο από τον Μάρτιο του 2008 έως τον Απρίλιο του 2009, ήταν
α) 8,1%
β) 8,0%
γ) 7,9%
δ) 7,7%
ε) 7,6%
Για να βρούμε τη μέση τιμή, πρέπει να ξεκινήσουμε βάζοντας όλες τις τιμές σε τάξη. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τη θέση που διαιρεί το εύρος σε δύο με τον ίδιο αριθμό τιμών.
Όταν ο αριθμός των τιμών είναι μονός, ο διάμεσος είναι ο αριθμός που βρίσκεται ακριβώς στη μέση του εύρους. Όταν είναι ομοιόμορφο, ο διάμεσος είναι ίσος με τον αριθμητικό μέσο όρο των δύο κεντρικών τιμών.
Παρατηρώντας το γράφημα, αναγνωρίζουμε ότι υπάρχουν 14 τιμές που σχετίζονται με το ποσοστό ανεργίας. Δεδομένου ότι το 14 είναι ένας ζυγός αριθμός, ο διάμεσος θα ισούται με τον αριθμητικό μέσο όρο μεταξύ της 7ης και της 8ης τιμής.
Με αυτόν τον τρόπο, μπορούμε να τακτοποιήσουμε τους αριθμούς μέχρι να φτάσουμε σε αυτές τις θέσεις, όπως φαίνεται παρακάτω:
6,8; 7,5; 7,6; 7,6; 7,7; 7,9; 7,9; 8,1
Υπολογίζοντας τον μέσο όρο μεταξύ 7,9 και 8,1, έχουμε:
Εναλλακτική λύση: β) 8,0%
4) Fuvest - 2016
Ένα όχημα ταξιδεύει μεταξύ δύο πόλεων στη Serra da Mantiqueira, καλύπτοντας το πρώτο τρίτο του διαδρομή με μέση ταχύτητα 60 km / h, το επόμενο τρίτο στα 40 km / h και το υπόλοιπο της διαδρομής στα 20 χλμ / ώρα. Η τιμή που προσεγγίζει καλύτερα τη μέση ταχύτητα του οχήματος σε αυτό το ταξίδι, σε km / h, είναι
α) 32.5
β) 35
γ) 37.5
δ) 40
ε) 42.5
Πρέπει να βρούμε τη μέση τιμή ταχύτητας και όχι τον μέσο όρο των ταχυτήτων, σε αυτήν την περίπτωση, δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τον αριθμητικό μέσο αλλά τον αρμονικό μέσο.
Χρησιμοποιούμε τον αρμονικό μέσο όταν οι σχετικές ποσότητες είναι αντιστρόφως ανάλογες, όπως στην περίπτωση της ταχύτητας και του χρόνου.
Το αρμονικό μέσο είναι το αντίστροφο του αριθμητικού μέσου των αντίστροφων των τιμών, έχουμε:
Επομένως, η πλησιέστερη τιμή στις απαντήσεις είναι 32,5 km / h
Εναλλακτική λύση: α) 32.5
5) Enem - 2015
Σε μια επιλεκτική για τον τελικό της κολύμβησης ελεύθερης κολύμβησης 100 μέτρων, σε Ολυμπιακούς Αγώνες, οι αθλητές, στις αντίστοιχες λωρίδες τους, απέκτησαν τις ακόλουθες ώρες:
Ο μέσος όρος των χρόνων που εμφανίζονται στον πίνακα είναι
α) 20.70.
β) 20.77.
γ) 20.80.
δ) 20.85.
ε) 20.90.
Αρχικά, ας βάλουμε όλες τις τιμές, συμπεριλαμβανομένων των επαναλαμβανόμενων αριθμών, σε αύξουσα σειρά:
20,50; 20,60; 20,60; 20,80; 20,90; 20,90; 20,90; 20,96
Σημειώστε ότι υπάρχει ένας ζυγός αριθμός τιμών (8 φορές), οπότε ο διάμεσος θα είναι ο αριθμητικός μέσος όρος μεταξύ της τιμής που βρίσκεται στην 4η θέση και της 5ης θέσης:
Εναλλακτική λύση: δ) 20.85.
6) Enem - 2014
Οι υποψήφιοι K, L, M, N και P ανταγωνίζονται για ένα άνοιγμα θέσεων εργασίας σε μια εταιρεία και έχουν λάβει εξετάσεις στα πορτογαλικά, τα μαθηματικά, τη νομοθεσία και την επιστήμη των υπολογιστών. Ο πίνακας δείχνει τις βαθμολογίες που έλαβαν οι πέντε υποψήφιοι.
Σύμφωνα με την προκήρυξη επιλογής, ο επιτυχημένος υποψήφιος θα είναι αυτός για τον οποίο ο μέσος όρος των βαθμών που έλαβε στα τέσσερα θέματα είναι ο υψηλότερος. Ο επιτυχημένος υποψήφιος θα είναι
α) Κ.
β) Λ.
ντο)
δ) Όχι.
ε) Ε
Πρέπει να βρούμε τη μέση τιμή κάθε υποψηφίου για να προσδιορίσουμε ποιο είναι το υψηλότερο. Γι 'αυτό, ας τακτοποιήσουμε τους βαθμούς του καθενός και να βρούμε τη μέση τιμή.
Υποψήφιος Κ:
Υποψήφιος L:
Υποψήφιος Μ:
Υποψήφιος Ν:
Υποψήφιος P:
Εναλλακτική λύση: δ) Ν
Δείτε επίσης Μαθηματικά στο Enem και Μαθηματικοί τύποι
7) Fuvest - 2015
Εξετάστε το γράφημα.
Με βάση τα δεδομένα στο γράφημα, μπορεί να δηλωθεί σωστά ότι η ηλικία
α) η μέση τιμή των μητέρων παιδιών που γεννήθηκαν το 2009 ήταν μεγαλύτερη από 27 χρόνια.
β) η μέση τιμή των μητέρων παιδιών που γεννήθηκαν το 2009 ήταν μικρότερη των 23 ετών.
γ) η μέση τιμή των μητέρων παιδιών που γεννήθηκαν το 1999 ήταν μεγαλύτερη από 25 έτη.
δ) ο μέσος όρος των μητέρων παιδιών που γεννήθηκαν το 2004 ήταν μεγαλύτερος από 22 ετών.
ε) ο μέσος όρος των μητέρων παιδιών που γεννήθηκαν το 1999 ήταν κάτω των 21 ετών.
Ας ξεκινήσουμε προσδιορίζοντας σε ποιο εύρος βρίσκεται η μέση τιμή των μητέρων των παιδιών που γεννήθηκαν το 2009 (ανοιχτό γκρι μπαρ).
Για αυτό, θα θεωρήσουμε ότι ο μέσος όρος των ηλικιών βρίσκεται στο σημείο όπου η συχνότητα αυξάνεται έως και 50% (μέση του εύρους).
Με αυτόν τον τρόπο, θα υπολογίσουμε τις συσσωρευμένες συχνότητες. Στον παρακάτω πίνακα, υποδεικνύουμε τις συχνότητες και τις σωρευτικές συχνότητες για κάθε διάστημα:
| ηλικιακά εύρη | Συχνότητα | Αθροιστική συχνότητα |
| κάτω των 15 ετών | 0,8 | 0,8 |
| 15 έως 19 ετών | 18,2 | 19,0 |
| 20 έως 24 ετών | 28,3 | 47,3 |
| 25 έως 29 ετών | 25,2 | 72,5 |
| 30 έως 34 ετών | 16,8 | 89,3 |
| 35 έως 39 ετών | 8,0 | 97,3 |
| 40 ετών και άνω | 2,3 | 99,6 |
| αγνοημένη ηλικία | 0,4 | 100 |
Σημειώστε ότι η αθροιστική συμμετοχή θα φτάσει το 50% στο διάστημα από 25 έως 29 χρόνια. Επομένως, τα γράμματα a και b είναι λανθασμένα καθώς δείχνουν τιμές εκτός αυτού του εύρους.
Θα χρησιμοποιήσουμε την ίδια διαδικασία για να βρούμε τη διάμεση τιμή του 1999. Τα δεδομένα βρίσκονται στον παρακάτω πίνακα:
| ηλικιακά εύρη | Συχνότητα | Αθροιστική συχνότητα |
| κάτω των 15 ετών | 0,7 | 0,7 |
| 15 έως 19 ετών | 20,8 | 21,5 |
| 20 έως 24 ετών | 30,8 | 52,3 |
| 25 έως 29 ετών | 23,3 | 75,6 |
| 30 έως 34 ετών | 14,4 | 90,0 |
| 35 έως 39 ετών | 6,7 | 96,7 |
| 40 ετών και άνω | 1,9 | 98,6 |
| αγνοημένη ηλικία | 1,4 | 100 |
Σε αυτήν την περίπτωση, ο διάμεσος εμφανίζεται στο εύρος των 20 έως 24 ετών. Επομένως, το γράμμα c είναι επίσης λάθος, καθώς παρουσιάζει μια επιλογή που δεν ανήκει στο εύρος.
Ας υπολογίσουμε τώρα τον μέσο όρο. Αυτός ο υπολογισμός πραγματοποιείται προσθέτοντας τα προϊόντα της συχνότητας με τη μέση ηλικία του διαστήματος και διαιρώντας την τιμή που βρέθηκε με το άθροισμα των συχνοτήτων.
Για τον υπολογισμό, θα αγνοήσουμε τις τιμές που σχετίζονται με τα διαστήματα "κάτω των 15 ετών", "40 ετών και άνω" και "αγνοούμενη ηλικία".
Έτσι, λαμβάνοντας τις τιμές του γραφήματος για το έτος 2004, έχουμε τον ακόλουθο μέσο όρο:
Ακόμα κι αν είχαμε εξετάσει τις ακραίες τιμές, ο μέσος όρος θα ήταν μεγαλύτερος από 22 χρόνια. Άρα η δήλωση είναι αλήθεια.
Για επιβεβαίωση, ας υπολογίσουμε τον μέσο όρο για το έτος 1999, χρησιμοποιώντας την ίδια διαδικασία όπως πριν:
Δεδομένου ότι η τιμή που βρέθηκε δεν είναι μικρότερη από 21 χρόνια, τότε αυτή η εναλλακτική θα είναι επίσης ψευδής.
Εναλλακτική λύση: δ) ο μέσος όρος των μητέρων παιδιών που γεννήθηκαν το 2004 ήταν μεγαλύτερος από 22 έτη.
8) UPE - 2014
Σε έναν αθλητικό διαγωνισμό, πέντε αθλητές αμφισβητούν τις τρεις πρώτες θέσεις του διαγωνισμού long jump. Η ταξινόμηση θα είναι σε φθίνουσα σειρά του αριθμητικού μέσου όρου των πόντων που θα αποκτήσουν μετά από τρία διαδοχικά άλματα στο τεστ. Σε περίπτωση ισοπαλίας, το κριτήριο που θα υιοθετηθεί θα είναι η αύξουσα σειρά της τιμής διακύμανσης. Το σκορ κάθε αθλητή εμφανίζεται στον παρακάτω πίνακα:
Με βάση τις πληροφορίες που παρουσιάστηκαν, η πρώτη, η δεύτερη και η τρίτη θέση του διαγωνισμού καταλήφθηκαν αντίστοιχα από τους αθλητές
α) Α; ΝΤΟ; ΚΑΙ
β) Β; ΡΕ; ΚΑΙ
γ) ΚΑΙ; ΡΕ; σι
δ) Β; ΡΕ; ΝΤΟ
και το; ΣΙ; ρε
Ας ξεκινήσουμε υπολογίζοντας τον αριθμητικό μέσο όρο κάθε αθλητή:
Εφόσον όλοι είναι δεμένοι, θα υπολογίσουμε τη διακύμανση:
Καθώς η ταξινόμηση γίνεται με φθίνουσα σειρά διακύμανσης, τότε η πρώτη θέση θα είναι ο αθλητής Α, ακολουθούμενος από τον αθλητή Γ και Ε.
Εναλλακτική λύση: α) Α; ΝΤΟ; ΚΑΙ
Λάβετε περισσότερες γνώσεις με τα περιεχόμενα:
- Τυπική απόκλιση
- Διακύμανση και τυπική απόκλιση
- Ασκήσεις πιθανότητας
